Вход через социальные сети

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 208 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 603 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 492 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 146 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 249 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 383 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 511 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 508 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 910 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 3 852 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 767 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 743 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 270 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 897 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 537 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 509 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 868 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 039 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 310 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 001 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 669 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 711 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 513 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 280 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 792 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 208 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 603 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 492 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 27 146 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 2 249 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 383 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 511 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 508 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 910 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 3 852 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 767 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 743 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 5 270 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 897 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 537 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 509 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 868 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 039 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 310 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 001 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 669 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 711 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 513 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 280 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 792 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

6.1. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

                                                                               ê x n - a ê < e .                                                                              (6.1)

Записывают это следующим образом:  или x n ® a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

                                                                           a- e < x n < a + e ,                                                                             (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- e , a+ e ), т.е. попадают в какую угодно малую e -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x ® a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x n )} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x ® a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e , можно найти такое d >0 (зависящее от e ), что для всех x, лежащих в d -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 <
½ x-a ½ < d , значения функции f(x) будут лежать в e -окрестности числа А, т.е. ê f(x)-A ê < e .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде

                                                                                .                                                                 (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существуют пределы  

                                                (6.4)

                                                          (6.5)

                                                    (6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ¥ / ¥ , 0 × ¥ , ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.                                                                                    (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

                                                                                                                        (6.8)

                                                                                                                     (6.9)

Теорема 3.     

                                                                                                                                                                                    (6.10)

                                                                                                                                                                         (6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

                                                                                                                                                                  (6.12)

                                                                                                                                                                      (6.13)

                                                                                                                                                                    (6.14)

в частности,

                                                                                                 

Eсли x ® a и при этом x > a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x ® a и при этом x ® a-0. Числа  и  называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы .  Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если

                                                                                               .                                                                         (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o )= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если

,

и непрерывной слева в точке x o, если

.

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o ). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если  существует и не равен f(x o ), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если  равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x ® +0 имеет предел, равный + ¥ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

                                        100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

                                        100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

                                        100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e >0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ x n -1 ½ < e .

Возьмем любое e >0. Так как ½ x n -1 ½ = ½ (n+1)/n - 1 ½ = 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что .

Пример 3 . 2. Найти предел последовательности, заданной общим членом  .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ® ¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

.

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.  .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3 . 4. Найти  ( ).

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥ . Преобразуем формулу общего члена:

.

Пример 3 . 5. Дана функция f(x)=2 1/x. Доказать, что  не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е.  Покажем, что величина f(x n )= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда  Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю.  Поэтому  не существует.

Пример 3 . 6. Доказать, что  не существует.

Решение. Пусть x 1, x 2,..., x n,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n )} = {sin x n } при различных x n
® ¥ ?

Если x n = p n, то sin x n = sin p n = 0 при всех n и  Если же
x n =2
p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно . Таким образом,   не существует.

Пример 3 . 7. Найти  .

Решение. Имеем:  . Обозначим t = 5x. При x ® 0 имеем: t ® 0. Применяя формулу (3.10), получим  .

Пример 3 . 8. Вычислить .

Решение. Обозначим y= p -x. Тогда при x ® p , y ® 0.Имеем:

sin 3x = sin 3( p -y) = sin (3 p -3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4( p -y) = sin (4 p -4y)= - sin 4y.

.

Пример 3 . 9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x ® 0 t ® 0. .

Пример 3 . 10. Найти 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя:                               .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем:    .

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:

Так как , то, по теореме о пределе частного, найдем

3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

.

Пример 3 . 11. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: , x-9 ® 0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

.

Пример 3 . 12. Найти .

Решение.  .