Вход через социальные сети

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Promethazine | Buy Pills


Looking for a promethazine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 3 27.03.2017 at 05:10 by paleanglodvo
scientist Reminyl | Paypal Saturday Delivery Austria


Looking for a reminyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 3 27.03.2017 at 03:55 by groanstrawln
scientist Inderal | Buy Canada


Looking for a inderal? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 5 27.03.2017 at 00:02 by produtobutteryzt
scientist Nolvadex | How To Buy 10Mg


Looking for a nolvadex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 4 26.03.2017 at 22:01 by groanstrawln
scientist Naprosyn | Discount Order Online


Looking for a naprosyn? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 7 26.03.2017 at 21:01 by groanstrawln
scientist Remeron | Buy Soltab


Looking for a remeron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 12 26.03.2017 at 17:29 by produtobutteryzt
scientist Flomax | Buy Tamsulosin 0


Looking for a flomax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 16 26.03.2017 at 11:41 by groanstrawln
scientist Famvir | No Prescription Fedex


Looking for a famvir? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 10 26.03.2017 at 11:04 by groanstrawln
scientist Erythromycin | Prescription Cheap Buy


Looking for a erythromycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 31 26.03.2017 at 11:03 by groanstrawln
scientist Ditropan | Get Visa Without Prescription


Looking for a ditropan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 11 26.03.2017 at 07:42 by groanstrawln
scientist Diovan | Order Online Saturday Delivery


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 14 26.03.2017 at 07:41 by groanstrawln
scientist Dramamine | Buy Online Uk


Looking for a dramamine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 14 26.03.2017 at 07:39 by produtobutteryzt
scientist Differin | Cheapest Online Delivery


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 10 26.03.2017 at 06:42 by groanstrawln
scientist Olanzapine | Purchase Medication


Looking for a olanzapine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 10 26.03.2017 at 06:40 by produtobutteryzt
scientist Fosamax | Purchase Osteoporosis


Looking for a fosamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 15 26.03.2017 at 01:49 by produtobutteryzt
scientist Suprax | Buy 400 Mg Online


Looking for a suprax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 24 25.03.2017 at 23:43 by produtobutteryzt
scientist Altace | Order Side


Looking for a altace? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 15 25.03.2017 at 21:40 by produtobutteryzt
scientist Prinivil | Purchase Manufacturer


Looking for a prinivil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 15 25.03.2017 at 13:00 by produtobutteryzt
scientist Aldactone | Purchase Online Without Prescription


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 16 25.03.2017 at 00:17 by groanstrawln
scientist Accutane | Order Pharmacy


Looking for a accutane? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 21 24.03.2017 at 23:02 by groanstrawln
scientist Proventil | To Buy


Looking for a proventil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 27 24.03.2017 at 19:13 by produtobutteryzt
scientist Ditropan | Purchase


Looking for a ditropan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 23 24.03.2017 at 18:10 by produtobutteryzt
scientist Clonazepam | Purchase Online Seho1p


Looking for a clonazepam? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 20 24.03.2017 at 15:09 by paleanglodvo
scientist Lamisil | Purchase 250Mg Tablets


Looking for a lamisil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 21 24.03.2017 at 13:56 by produtobutteryzt
scientist Cyklokapron | Buy Price


Looking for a cyklokapron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 35 24.03.2017 at 13:55 by produtobutteryzt
  • 162страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 135 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 162 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 2 005 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 248 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 623 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 593 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 770 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 408 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 591 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 415 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 779 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 817 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 745 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 633 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 903 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 818 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 182 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 876 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 062 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 8 074 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 866 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 144 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 545 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 166 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 466 27.09.2016 at 02:25 by zam2
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

6.1. Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

                                                                               ê x n - a ê < e .                                                                              (6.1)

Записывают это следующим образом:  или x n ® a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

                                                                           a- e < x n < a + e ,                                                                             (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- e , a+ e ), т.е. попадают в какую угодно малую e -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x ® a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x n )} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “ на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x ® a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e , можно найти такое d >0 (зависящее от e ), что для всех x, лежащих в d -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 <
½ x-a ½ < d , значения функции f(x) будут лежать в e -окрестности числа А, т.е. ê f(x)-A ê < e .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде

                                                                                .                                                                 (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x n )} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существуют пределы  

                                                (6.4)

                                                          (6.5)

                                                    (6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ¥ / ¥ , 0 × ¥ , ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.                                                                                    (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

                                                                                                                        (6.8)

                                                                                                                     (6.9)

Теорема 3.     

                                                                                                                                                                                    (6.10)

                                                                                                                                                                         (6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

                                                                                                                                                                  (6.12)

                                                                                                                                                                      (6.13)

                                                                                                                                                                    (6.14)

в частности,

                                                                                                 

Eсли x ® a и при этом x > a, то пишут x ® a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x ® a и при этом x ® a-0. Числа  и  называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и достаточно, чтобы .  Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если

                                                                                               .                                                                         (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o )= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o, если

,

и непрерывной слева в точке x o, если

.

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o ). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если  существует и не равен f(x o ), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если  равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x ® +0 имеет предел, равный + ¥ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

                                        100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

                                        100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

                                        100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e >0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ x n -1 ½ < e .

Возьмем любое e >0. Так как ½ x n -1 ½ = ½ (n+1)/n - 1 ½ = 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что .

Пример 3 . 2. Найти предел последовательности, заданной общим членом  .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ® ¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем x n, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

.

Пример 3.3 . . Найти .

Решение.  .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3 . 4. Найти  ( ).

Решение. Применять теорему о пределе разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ¥ - ¥ . Преобразуем формулу общего члена:

.

Пример 3 . 5. Дана функция f(x)=2 1/x. Доказать, что  не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е.  Покажем, что величина f(x n )= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда  Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю.  Поэтому  не существует.

Пример 3 . 6. Доказать, что  не существует.

Решение. Пусть x 1, x 2,..., x n,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n )} = {sin x n } при различных x n
® ¥ ?

Если x n = p n, то sin x n = sin p n = 0 при всех n и  Если же
x n =2
p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно . Таким образом,   не существует.

Пример 3 . 7. Найти  .

Решение. Имеем:  . Обозначим t = 5x. При x ® 0 имеем: t ® 0. Применяя формулу (3.10), получим  .

Пример 3 . 8. Вычислить .

Решение. Обозначим y= p -x. Тогда при x ® p , y ® 0.Имеем:

sin 3x = sin 3( p -y) = sin (3 p -3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4( p -y) = sin (4 p -4y)= - sin 4y.

.

Пример 3 . 9. Найти .

Решение. Обозначим arcsin x=t. Тогда x=sin t и при x ® 0 t ® 0. .

Пример 3 . 10. Найти 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1. Применяя теорему 1 о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя:                               .

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому, по теореме 1 о пределе частного, получаем:    .

2. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида 0/0. Теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Для “раскрытия неопределенности” преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на x-2, получим при x ¹ 2 равенство:

Так как , то, по теореме о пределе частного, найдем

3. Числитель и знаменатель при x ® ¥ являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно не применима. Разделим числитель и знаменатель на x 2 и к полученной функции применим теорему о пределе частного:

.

Пример 3 . 11. Найти .

Решение. Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю: , x-9 ® 0, т.е. имеем неопределенность вида .

Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения , получим

.

Пример 3 . 12. Найти .

Решение.  .