Вход через социальные сети

Вписанные и описанные многогранники

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Arthrotec | Order Cod Saturday


Looking for a arthrotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 6 30.04.2017 at 02:28 by paleanglodvo
scientist Celebrex | Buy On-Line


Looking for a celebrex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 6 29.04.2017 at 23:19 by produtobutteryzt
scientist Benoquin | Buy Cream 20%


Looking for a benoquin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 5 29.04.2017 at 20:42 by produtobutteryzt
scientist Norvasc | Buy 10 Mg


Looking for a norvasc? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 29.04.2017 at 16:53 by paleanglodvo
scientist Diovan | Buy Blood Pressure Medicine


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 10 29.04.2017 at 11:24 by produtobutteryzt
scientist Nitrofurantoin | Buy


Looking for a nitrofurantoin? Not a problem!

Guaranteed...

- paleanglodvo 15 29.04.2017 at 09:51 by paleanglodvo
scientist Alesse | Order Online


Looking for a alesse? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 11 29.04.2017 at 08:35 by paleanglodvo
scientist Mobic | Buy Australia


Looking for a mobic? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 9 29.04.2017 at 06:51 by produtobutteryzt
scientist Mobic | Buy Meloxicam In Australia


Looking for a mobic? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 10 29.04.2017 at 02:32 by paleanglodvo
scientist Famvir | Buy Tablets Online


Looking for a famvir? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 12 28.04.2017 at 23:59 by paleanglodvo
scientist Xanax | Buy Alprazolam 0.5Mg


Looking for a xanax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 11 28.04.2017 at 21:09 by paleanglodvo
scientist Clomipramine | Buy


Looking for a clomipramine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 14 28.04.2017 at 19:52 by produtobutteryzt
scientist Celexa | Buy Generic Online


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 12 28.04.2017 at 19:52 by produtobutteryzt
scientist Cipro | Buy Online India


Looking for a cipro? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 13 28.04.2017 at 18:43 by groanstrawln
scientist Zolpidem | Mail Order


Looking for a zolpidem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 8 28.04.2017 at 16:06 by groanstrawln
scientist Bactrim | Buy For Dogs


Looking for a bactrim? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 16 28.04.2017 at 12:14 by paleanglodvo
scientist Bactrim | Purchase Online


Looking for a bactrim? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 13 28.04.2017 at 12:01 by sprucewoodcheckmn
scientist Ventolin | Buy Epinephrine Inhaler


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 19 28.04.2017 at 11:03 by groanstrawln
scientist Acyclovir | Purchase


Looking for a acyclovir? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 19 28.04.2017 at 10:43 by sprucewoodcheckmn
scientist Acyclovir | Buy Aciclovir Tablets 200Mg Uk


Looking for a acyclovir? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 20 28.04.2017 at 06:51 by sprucewoodcheckmn
scientist Zanaflex | Buy Uk


Looking for a zanaflex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 7 28.04.2017 at 03:58 by groanstrawln
scientist Avanafil | Order Reviews


Looking for a avanafil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 12 28.04.2017 at 02:14 by groanstrawln
scientist Minomycin | Order Medicines


Looking for a minomycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 18 27.04.2017 at 20:33 by paleanglodvo
scientist Clonidine | Purchase


Looking for a clonidine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 20 27.04.2017 at 17:59 by produtobutteryzt
scientist Tegretol | Buy Online Uk


Looking for a tegretol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 15 27.04.2017 at 16:17 by sprucewoodcheckmn
  • 170страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 125 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 125 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 276 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 2 016 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 361 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 329 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 3 126 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 464 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 908 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 910 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 125 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 614 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 822 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 602 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 057 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 089 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 991 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 854 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 164 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 3 623 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 669 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 6 193 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 821 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 9 336 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 2 321 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Вписанные и описанные многогранники

Глава 5. Тела вращения

5.6. Вписанные и описанные многогранники

Определение 5.11. 

Выпуклый многогранник называется вписанным , если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника.

Определение 5.12. 

Выпуклый многогранник называется описанным , если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника.

При рассмотрении понятий вписанной и описанной сферы обнаруживается аналогия с понятием вписанной и описанной окружности. Однако, если в любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность, то не всякий многогранник является вписанным или описанным. Несмотря на это, оказывается, что пространственный аналог треугольника – треугольная пирамида, тем не менее, всегда имеет единственную вписанную и описанную сферу. Докажем это.

Теорема 5.6. Теорема об описанной сфере треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет единственную описанную сферу.

Доказательство
1
Рисунок 5.6.1.

Поступим аналогично доказательству существования единственной окружности, описанной около данного треугольника. В данной пирамиде ABCD построим плоскости, перпендикулярные соответственно ребрам AB , AC и AD и проходящие через их середины. Эти плоскости будут равноудалены от точек A  и  B , A  и  C , A  и  D соответственно, поскольку геометрическим местом точек, равноудаленных от концов данного отрезка, является плоскость, проходящая через его середину и перпендикулярная ему. Обозначим точку пересечения этих плоскостей через O . Докажем, что эта точка существует и единственна. Действительно, две из этих плоскостей пересекаются по прямой l , поскольку они перпендикулярны двум непараллельным прямым. Эта прямая перпендикулярна к плоскости ABC . Плоскость, перпендикулярная AD , не параллельна l и не содержит ее, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l , то есть лежит в плоскости ABC . Итак, точка O равноудалена от всех вершин треугольной пирамиды, значит эта точка является центром описанной сферы. Тем самым доказано существование такой сферы.

Докажем теперь ее единственность. Заметим, что центр любой другой сферы, проходящей через все вершины пирамиды, равноудален от всех этих вершин и, значит, принадлежит всем плоскостям, проходящим через середины ребер перпендикулярно последним. А это и означает, что центр такой сферы и точка O совпадают.

Теорема 5.7. Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет единственную вписанную сферу.

Доказательство

Теорема 5.8. 

Для того, чтобы пирамида была вписанной в сферу, необходимо и достаточно, чтобы ее основанием был вписанный в окружность многоугольник.

Следствие 5.9.1. 

Любая правильная пирамида является вписанной.

Теорема 5.9. 

Пусть центр сферы, описанной вокруг пирамиды, лежит на прямой, проходящей через высоту пирамиды. Тогда

  1. b 2  = 2 RH ,

  2. r 2  =  H (2 R  –  H ),

где R – радиус описанной сферы, H и b – соответственно высота и боковое ребро пирамиды, а r – радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

Доказательство

Чертеж 5.6.1.

Пусть PO – высота пирамиды, O' – центр описанной сферы (чертеж 5.6.1). Поскольку O'   in   PO , то O – центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды. PK – диаметр описанной сферы, Δ APK – прямоугольный. Согласно свойствам прямоугольного треугольника, имеем:

  1. AO 2  =  PO  ·  KO , или r 2  =  H (2 R  –  H );

  2. PA 2  =  PK  ·  KO , или b 2  = 2 RH .

Теорема 5.10. 

Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен V = frac{1}{3}rS где S – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.

Доказательство

Соединим центр вписанной сферы со всеми вершинами многогранника. При этом многогранник делится на несколько пирамид (их количество равно количеству граней многогранника). Высота каждой из этих пирамид равна r, а площадь основания – это площадь некоторой грани многогранника, поэтому
V = frac{1}{3}(rS_1 + rS_2 + rS_3 + ... + rS_m ) ( m – количество граней),
V = frac{1}{3}r(S_1 + S_2 + S_3 + ... + S_m ) = frac{1}{3}rS что и требовалось доказать.

Поскольку центр вписанной сферы одинаково удален от всех граней многогранника, он лежит на пересечении биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника.

Теорема 5.11. 

В правильную n -угольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство

Чертеж 5.6.2.

На чертеже 5.6.2 изображена n -я часть правильной n -угольной пирамиды, где PC – апофема боковой грани PAB ; CO' – биссектриса угла PCO . Ясно, что точка O' одинаково удалена от всех граней пирамиды и является центром вписанной сферы: OO'  =  r – радиус вписанной сферы.

Из Δ O'OC имеем: O'O  =  r  =  OC  tg (α/2), или r  =  r 1  tg (α/2), где r 1 – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, α – двугранный угол при ребре основания.