Вход через социальные сети

Трехгранный угол

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Effexor | Xr Canada Cheap


Looking for a effexor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 24.03.2017 at 11:21 by groanstrawln
scientist Bentyl | Best Price Pharmaceutical Visa


Looking for a bentyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 24.03.2017 at 11:20 by paleanglodvo
scientist Avapro | Low Cost Aprovel Visa


Looking for a avapro? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 24.03.2017 at 10:43 by paleanglodvo
scientist Cleocin | Buy Cheap Canada Online


Looking for a cleocin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 24.03.2017 at 04:27 by paleanglodvo
scientist Ambien | Mail Order Cheap


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 24.03.2017 at 02:10 by paleanglodvo
scientist Vasotec | Coumadin Purchase Buy Fedex


Looking for a vasotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 24.03.2017 at 01:26 by produtobutteryzt
scientist Coumadin | To Buy Online Spain


Looking for a coumadin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 4 23.03.2017 at 23:46 by paleanglodvo
scientist Isoptin | Purchase Medicine New Mexico


Looking for a isoptin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 0 23.03.2017 at 22:38 by groanstrawln
scientist Mircette | Is Buy Legit Online


Looking for a mircette? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 23.03.2017 at 22:37 by paleanglodvo
scientist Cytotec | Tablets To Buy


Looking for a cytotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 22 23.03.2017 at 17:21 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadacip | Buy Safely Online 8D76c


Looking for a tadacip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 11 23.03.2017 at 12:12 by paleanglodvo
scientist Eurax | Buy Dicyclomine


Looking for a eurax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 20 23.03.2017 at 11:56 by sprucewoodcheckmn
scientist Aldactone | Buy Federal Express


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 7 23.03.2017 at 11:55 by sprucewoodcheckmn
scientist Luvox | Buy Brand No Script


Looking for a luvox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 9 23.03.2017 at 11:13 by produtobutteryzt
scientist Topamax | Buy Real Online


Looking for a topamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 11 23.03.2017 at 08:28 by produtobutteryzt
scientist Doxycycline | Order Ove


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 6 23.03.2017 at 07:23 by paleanglodvo
scientist Zithromax | Buy Low Cost Pierre


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 13 23.03.2017 at 04:13 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Order Delaware


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 12 23.03.2017 at 02:22 by paleanglodvo
scientist Augmentin | Buy Online Purchase Aberdeenshire


Looking for a augmentin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 11 23.03.2017 at 01:50 by sprucewoodcheckmn
scientist Olanzapine | Buy Online Store Internet


Looking for a olanzapine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 19 23.03.2017 at 00:14 by groanstrawln
scientist Kamagra | Get-Soft Priority Mail Order


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 14 22.03.2017 at 23:21 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Where To Buy Suspe


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 26 22.03.2017 at 22:18 by produtobutteryzt
scientist Zyban | Low Cost Bupron


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 17 22.03.2017 at 17:48 by groanstrawln
scientist Diovan | Co No Script Requ


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 15 22.03.2017 at 16:38 by groanstrawln
scientist Cymbalta | Guidance Otc Cost Solostar


Looking for a cymbalta? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 19 22.03.2017 at 14:02 by produtobutteryzt
  • 161страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 105 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 141 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 1 910 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 222 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 607 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 570 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 727 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 377 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 561 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 385 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 753 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 791 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 708 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 611 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 873 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 736 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 132 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 789 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 2 989 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 7 965 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 837 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 119 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 524 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 134 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 439 27.09.2016 at 02:25 by zam2
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Трехгранный угол

Глава 4. Многогранники

4.4. Трехгранный угол

Определение 4.5. 

Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости (чертеж 4.4.1). Общая вершина О этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами , плоские углы при вершине трехгранного угла называются его гранями . Грани трехгранного угла образуют двугранные углы.


Чертеж 4.4.1.

Теорема 4.2. Неравенство треугольника для трехгранного угла.

Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Доказательство

Чертеж 4.4.2.

На одном из лучей трехгранного угла выберем произвольную точку A , а на другом – произвольную точку B (чертеж 4.4.2). Можно считать, что плоский угол AOB наибольший из трех его плоских углов. Пусть angle AOB  = α. Два других плоских угла имеют величины β и γ. На отрезке AB возьмем точку D такую, что angle AOD  = β. На третьем луче трехгранного угла отложим отрезок OC  = OD , причем angle AOC  = β, angle BOC  = γ, Δ  AOC  = Δ  AOD . Отсюда AC  =  AD . По свойству треугольника AC  +  BC  >  AB или AC  +  BC  >  AD  +  BD , откуда BC  >  BD , так как AC  = AD . Треугольники OBC и OBD имеют по две равных стороны. Поэтому против большей третьей стороны лежит наибольший угол, то есть angle BOC  > angle BOD . Отсюда следует, что angle BOC  +  angle AOC  > angle BOD  +  angle AOD . Или γ + β > α, что и требовалось доказать.

Теорема 4.3. 

α + γ + β < 360°. Другими словами, сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Доказательство

Чертеж 4.4.3.

На чертеже 4.4.3 показан трехгранный угол OABC . Луч

OA1 дополнительный относительно луча OA . Рассмотрим трехгранный угол
OA1BC Если angle BOC  = α,  angle AOC  = β,  angle AOB  = γ, то angle A 1 OB  = 180° – γ,  angle A 1 OC  = 180° – β. Согласно теореме 4.2, angle BOC  < angle A 1 OB  +  angle A 1 OC , или α < 180° – γ + 180° – β, откуда α + γ + β < 360°.

Теорема 4.4. Теорема косинусов для трехгранного угла.


cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos  A , где α, β, γ – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов β и γ.

Доказательство

Чертеж 4.4.4.


SM  =  a ,

SN = frac{a}{{cos gamma }}, SP = frac{a}{{cos eta }}

MN = a*tggamma MP = a*tgeta
Применим теорему косинусов к Δ  SPN и MPN .
PN^2 = frac{{a^2 }}{{cos ^2 eta }} + frac{{a^2 }}{{cos ^2 gamma }} - 2frac{{a^2 }}{{cos eta cos gamma }}cos alpha

PN^2 = a^2 (tg^2 eta + tg^2 gamma ) - 2a^2 tggamma tgeta cos A
Приравнивая полученые выражения, получим
frac{1}{{cos ^2 eta }} + frac{1}{{cos ^2 gamma }} - frac{{2cos alpha }}{{cos eta cos gamma }} = frac{{sin ^2 eta }}{{cos ^2 eta }} + frac{{sin ^2 gamma }}{{cos ^2 gamma }} - frac{{2sin eta sin gamma cos A}}{{cos eta cos gamma }}

2 + frac{{2sin eta sin gamma }}{{cos eta cos gamma }}cos A = frac{{2cos alpha }}{{cos eta cos gamma }}
Откуда
cos alpha = cos eta cos gamma + sin eta sin gamma cos A

Замечание. С помощью доказанной теоремы можно вычислить величину двугранного угла, зная плоские углы трехгранного угла:

cos A = frac{{cos alpha - cos eta cos gamma }}{{sin eta sin gamma }}

Если грани плоских углов взаимно перпендикулярны, получаем формулу трех косинусов: cos α = cos β cos γ.

Теорема 4.5. Теорема синусов для трехгранного угла.

Справедливо равенство

frac{{sin alpha }}{{sin A}} = frac{{sin eta }}{{sin B}} = frac{{sin gamma }}{{sin C}}
где α, β, γ – плоские углы трехгранного угла; A B C – противолежащие им двугранные углы.

Доказательство

Пусть дан трехгранный угол с вершиной S и ребрами SA SB и SC , двугранные углы при которых равны соответственно A B  и  C . Возьмем какую-нибудь точку P на ребре SA . Пусть O – ее проекция на плоскость SBC . Пусть R – проекция точки O на ребро SC , а Q – проекция точки O на ребро SB (чертеж 4.4.5).


Чертеж 4.4.5.

На рисунке изображен тот случай, когда точка O попала вовнутрь угла BSC . Однако отметим, что все наши рассуждения не изменятся, если эта точка попадет вне или на сторону угла BSC . Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что угол PRO равен C , а угол PQO равен B , поскольку каждый из них есть линейный угол двугранного угла при соответствующем ребре. Найдем длину отрезка PO двумя способами. С одной стороны, PO  =  PR  sin  C  =  SP  sin β sin  C . С другой стороны, имеем PO  =  PQ  sin  B  =  SP  sin γ sin  B . Приравниваем:

SPsin eta sin C = SPsin gamma sin B Leftrightarrow sin eta sin C = sin gamma sin B

frac{{sin eta }}{{sin B}} = frac{{sin gamma }}{{sin C}}
Второе равенство устанавливается аналогично. Теорема доказана.

Определение 4.6. 

Несколько плоских углов с общим началом O , из которых никакие два не лежат в одной плоскости, образуют многогранный угол (чертеж 4.4.5). Эти плоские углы при вершине многогранного угла называются гранями , а стороны этих углов – ребрами , точка O вершиной многогранного угла . По числу граней многогранный угол называется трехгранным, четырехгранным и т.д. Если все грани многогранного угла находятся с одной стороны от каждой из плоскостей его граней, угол называется выпуклым . В данном курсе рассматриваются только выпуклые многогранные углы.


Чертеж 4.4.6.

Теорема 4.6. 

Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Теорема 4.7. 

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.