Вход через социальные сети

Трехгранный угол

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Buspar | Order Online


Looking for a buspar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 25.04.2017 at 13:15 by groanstrawln
scientist Celexa | Purchase


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 25.04.2017 at 13:14 by produtobutteryzt
scientist Abilify | Purchase Medication


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 1 25.04.2017 at 11:44 by sprucewoodcheckmn
scientist Abilify | Buy Online Uk


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 2 25.04.2017 at 10:15 by sprucewoodcheckmn
scientist Reminyl | Order Tablets


Looking for a reminyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 25.04.2017 at 09:10 by groanstrawln
scientist Cyklokapron | Buy Package


Looking for a cyklokapron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 25.04.2017 at 06:32 by produtobutteryzt
scientist Enalapril | Buy 10 Mg


Looking for a enalapril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 25.04.2017 at 04:51 by paleanglodvo
scientist Minocycline | Purchase Hydrochloride


Looking for a minocycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 1 25.04.2017 at 03:53 by sprucewoodcheckmn
scientist Ibuprofen | Buy 400 Mg


Looking for a ibuprofen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 2 25.04.2017 at 02:18 by produtobutteryzt
scientist Tamoxifen | Buy Cheap Uk


Looking for a tamoxifen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 3 24.04.2017 at 23:53 by paleanglodvo
scientist Lisinopril | Cheap Price


Looking for a lisinopril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 4 24.04.2017 at 22:36 by paleanglodvo
scientist Elimite | Buy Cream Online


Looking for a elimite? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 4 24.04.2017 at 22:19 by sprucewoodcheckmn
scientist Abilify | Buy Online Usa


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 5 24.04.2017 at 17:24 by groanstrawln
scientist Paroxetine | Purchase


Looking for a paroxetine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 5 24.04.2017 at 17:05 by sprucewoodcheckmn
scientist Flomax | Buy On-Line


Looking for a flomax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 7 24.04.2017 at 09:45 by produtobutteryzt
scientist Floxin | Buy Online


Looking for a floxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.04.2017 at 07:08 by sprucewoodcheckmn
scientist Lamictal | Purchase Online


Looking for a lamictal? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 8 24.04.2017 at 05:45 by sprucewoodcheckmn
scientist Trimox | Buy Online


Looking for a trimox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 6 24.04.2017 at 03:03 by paleanglodvo
scientist Decadron | Purchase Withdrawal Symptoms


Looking for a decadron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 12 24.04.2017 at 00:57 by groanstrawln
scientist Zenegra | Buy Online Uk


Looking for a zenegra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 8 24.04.2017 at 00:04 by groanstrawln
scientist Stromectol | To Buy


Looking for a stromectol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 9 23.04.2017 at 22:44 by groanstrawln
scientist Elavil | Ourmeds Order Antidepressants Products


Looking for a elavil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 10 23.04.2017 at 21:19 by produtobutteryzt
scientist Dramamine | Buy Online Australia


Looking for a dramamine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 9 23.04.2017 at 19:11 by paleanglodvo
scientist Levlen | Purchase 28


Looking for a levlen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 11 23.04.2017 at 19:11 by paleanglodvo
scientist Dapoxetine | Buy Online Canada


Looking for a dapoxetine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 9 23.04.2017 at 17:43 by groanstrawln
  • 168страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 86 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 94 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 225 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 1 873 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 329 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 299 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 2 987 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 438 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 867 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 866 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 071 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 581 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 781 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 573 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 015 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 049 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 956 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 820 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 125 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 3 506 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 606 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 5 986 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 699 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 9 147 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 2 254 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Трехгранный угол

Глава 4. Многогранники

4.4. Трехгранный угол

Определение 4.5. 

Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости (чертеж 4.4.1). Общая вершина О этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами , плоские углы при вершине трехгранного угла называются его гранями . Грани трехгранного угла образуют двугранные углы.


Чертеж 4.4.1.

Теорема 4.2. Неравенство треугольника для трехгранного угла.

Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Доказательство

Чертеж 4.4.2.

На одном из лучей трехгранного угла выберем произвольную точку A , а на другом – произвольную точку B (чертеж 4.4.2). Можно считать, что плоский угол AOB наибольший из трех его плоских углов. Пусть angle AOB  = α. Два других плоских угла имеют величины β и γ. На отрезке AB возьмем точку D такую, что angle AOD  = β. На третьем луче трехгранного угла отложим отрезок OC  = OD , причем angle AOC  = β, angle BOC  = γ, Δ  AOC  = Δ  AOD . Отсюда AC  =  AD . По свойству треугольника AC  +  BC  >  AB или AC  +  BC  >  AD  +  BD , откуда BC  >  BD , так как AC  = AD . Треугольники OBC и OBD имеют по две равных стороны. Поэтому против большей третьей стороны лежит наибольший угол, то есть angle BOC  > angle BOD . Отсюда следует, что angle BOC  +  angle AOC  > angle BOD  +  angle AOD . Или γ + β > α, что и требовалось доказать.

Теорема 4.3. 

α + γ + β < 360°. Другими словами, сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Доказательство

Чертеж 4.4.3.

На чертеже 4.4.3 показан трехгранный угол OABC . Луч

OA1 дополнительный относительно луча OA . Рассмотрим трехгранный угол
OA1BC Если angle BOC  = α,  angle AOC  = β,  angle AOB  = γ, то angle A 1 OB  = 180° – γ,  angle A 1 OC  = 180° – β. Согласно теореме 4.2, angle BOC  < angle A 1 OB  +  angle A 1 OC , или α < 180° – γ + 180° – β, откуда α + γ + β < 360°.

Теорема 4.4. Теорема косинусов для трехгранного угла.


cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos  A , где α, β, γ – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов β и γ.

Доказательство

Чертеж 4.4.4.


SM  =  a ,

SN = frac{a}{{cos gamma }}, SP = frac{a}{{cos eta }}

MN = a*tggamma MP = a*tgeta
Применим теорему косинусов к Δ  SPN и MPN .
PN^2 = frac{{a^2 }}{{cos ^2 eta }} + frac{{a^2 }}{{cos ^2 gamma }} - 2frac{{a^2 }}{{cos eta cos gamma }}cos alpha

PN^2 = a^2 (tg^2 eta + tg^2 gamma ) - 2a^2 tggamma tgeta cos A
Приравнивая полученые выражения, получим
frac{1}{{cos ^2 eta }} + frac{1}{{cos ^2 gamma }} - frac{{2cos alpha }}{{cos eta cos gamma }} = frac{{sin ^2 eta }}{{cos ^2 eta }} + frac{{sin ^2 gamma }}{{cos ^2 gamma }} - frac{{2sin eta sin gamma cos A}}{{cos eta cos gamma }}

2 + frac{{2sin eta sin gamma }}{{cos eta cos gamma }}cos A = frac{{2cos alpha }}{{cos eta cos gamma }}
Откуда
cos alpha = cos eta cos gamma + sin eta sin gamma cos A

Замечание. С помощью доказанной теоремы можно вычислить величину двугранного угла, зная плоские углы трехгранного угла:

cos A = frac{{cos alpha - cos eta cos gamma }}{{sin eta sin gamma }}

Если грани плоских углов взаимно перпендикулярны, получаем формулу трех косинусов: cos α = cos β cos γ.

Теорема 4.5. Теорема синусов для трехгранного угла.

Справедливо равенство

frac{{sin alpha }}{{sin A}} = frac{{sin eta }}{{sin B}} = frac{{sin gamma }}{{sin C}}
где α, β, γ – плоские углы трехгранного угла; A B C – противолежащие им двугранные углы.

Доказательство

Пусть дан трехгранный угол с вершиной S и ребрами SA SB и SC , двугранные углы при которых равны соответственно A B  и  C . Возьмем какую-нибудь точку P на ребре SA . Пусть O – ее проекция на плоскость SBC . Пусть R – проекция точки O на ребро SC , а Q – проекция точки O на ребро SB (чертеж 4.4.5).


Чертеж 4.4.5.

На рисунке изображен тот случай, когда точка O попала вовнутрь угла BSC . Однако отметим, что все наши рассуждения не изменятся, если эта точка попадет вне или на сторону угла BSC . Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что угол PRO равен C , а угол PQO равен B , поскольку каждый из них есть линейный угол двугранного угла при соответствующем ребре. Найдем длину отрезка PO двумя способами. С одной стороны, PO  =  PR  sin  C  =  SP  sin β sin  C . С другой стороны, имеем PO  =  PQ  sin  B  =  SP  sin γ sin  B . Приравниваем:

SPsin eta sin C = SPsin gamma sin B Leftrightarrow sin eta sin C = sin gamma sin B

frac{{sin eta }}{{sin B}} = frac{{sin gamma }}{{sin C}}
Второе равенство устанавливается аналогично. Теорема доказана.

Определение 4.6. 

Несколько плоских углов с общим началом O , из которых никакие два не лежат в одной плоскости, образуют многогранный угол (чертеж 4.4.5). Эти плоские углы при вершине многогранного угла называются гранями , а стороны этих углов – ребрами , точка O вершиной многогранного угла . По числу граней многогранный угол называется трехгранным, четырехгранным и т.д. Если все грани многогранного угла находятся с одной стороны от каждой из плоскостей его граней, угол называется выпуклым . В данном курсе рассматриваются только выпуклые многогранные углы.


Чертеж 4.4.6.

Теорема 4.6. 

Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Теорема 4.7. 

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.