Вход через социальные сети

Трехгранный угол

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Florinef | Buy Cheap


Looking for a florinef? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 14 22.05.2017 at 23:26 by leversdevioustwa
scientist Remeron | Buy Mirtazapine


Looking for a remeron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 5 22.05.2017 at 23:16 by featuresrawyw
scientist Zanaflex | Purchase


Looking for a zanaflex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 7 22.05.2017 at 19:24 by leversdevioustwa
scientist Prednisolone | Purchase 5Mg Tablets


Looking for a prednisolone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 5 22.05.2017 at 19:23 by featuresrawyw
scientist Aspirin | Buy Malaysia


Looking for a aspirin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 17 22.05.2017 at 13:34 by leversdevioustwa
scientist Dihydrocodeine | Purchase Online Uk


Looking for a dihydrocodeine? Not a problem!

Guaranteed...

- leversdevioustwa 14 22.05.2017 at 10:11 by leversdevioustwa
scientist Temovate | Purchase Generic


Looking for a temovate? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 7 22.05.2017 at 10:10 by featuresrawyw
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
9 / - Ellipsoid 24 383 21.05.2017 at 13:55 by GEPIDIUM
scientist Zestoretic | Order Drug


Looking for a zestoretic? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 27 19.05.2017 at 19:01 by featuresrawyw
scientist Robaxin | Buy Canada


Looking for a robaxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 25 19.05.2017 at 14:20 by featuresrawyw
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 75 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
scientist Celexa | Buy Uk


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 38 18.05.2017 at 06:28 by featuresrawyw
scientist Clindamycin | Order Online


Looking for a clindamycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 35 18.05.2017 at 06:28 by featuresrawyw
scientist Cleocin | Buy Orlistat In Malaysia


Looking for a cleocin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 47 16.05.2017 at 16:18 by featuresrawyw
scientist Xanax | Buy Green Online


Looking for a xanax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 44 15.05.2017 at 19:25 by featuresrawyw
scientist Xanax | Buy Alternatives


Looking for a xanax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 64 14.05.2017 at 14:20 by featuresrawyw
scientist Ventolin | Buy Singapore


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 71 14.05.2017 at 05:38 by featuresrawyw
scientist Zolpidem | Where To Buy


Looking for a zolpidem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 68 14.05.2017 at 03:30 by featuresrawyw
scientist Zenegra | Buy Uk


Looking for a zenegra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 70 13.05.2017 at 22:26 by featuresrawyw
scientist Xenical | Buy Cheap


Looking for a xenical? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 73 13.05.2017 at 20:11 by featuresrawyw
scientist Acticin | Purchase Ketosis


Looking for a acticin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 76 13.05.2017 at 16:12 by featuresrawyw
scientist Rosuvastatin | Buy Calcium


Looking for a rosuvastatin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 73 13.05.2017 at 15:00 by featuresrawyw
scientist Clindamycin | Buy Cream Acne


Looking for a clindamycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 77 13.05.2017 at 13:41 by featuresrawyw
scientist Vasotec | Cheap


Looking for a vasotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 79 13.05.2017 at 08:16 by featuresrawyw
scientist Arthrotec | Order Cod Saturday


Looking for a arthrotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 178 30.04.2017 at 02:28 by paleanglodvo
  • 171страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
9 / - Ellipsoid 24 383 21.05.2017 at 13:55 by GEPIDIUM
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 75 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 238 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 249 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 460 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 2 511 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 488 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 444 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 3 790 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 600 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 087 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 079 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 336 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 744 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 961 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 723 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 250 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 276 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 148 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 988 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 363 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 4 102 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 916 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 7 046 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 4 347 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:32
adminus
0 up down

Трехгранный угол

Глава 4. Многогранники

4.4. Трехгранный угол

Определение 4.5. 

Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости (чертеж 4.4.1). Общая вершина О этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами , плоские углы при вершине трехгранного угла называются его гранями . Грани трехгранного угла образуют двугранные углы.


Чертеж 4.4.1.

Теорема 4.2. Неравенство треугольника для трехгранного угла.

Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Доказательство

Чертеж 4.4.2.

На одном из лучей трехгранного угла выберем произвольную точку A , а на другом – произвольную точку B (чертеж 4.4.2). Можно считать, что плоский угол AOB наибольший из трех его плоских углов. Пусть angle AOB  = α. Два других плоских угла имеют величины β и γ. На отрезке AB возьмем точку D такую, что angle AOD  = β. На третьем луче трехгранного угла отложим отрезок OC  = OD , причем angle AOC  = β, angle BOC  = γ, Δ  AOC  = Δ  AOD . Отсюда AC  =  AD . По свойству треугольника AC  +  BC  >  AB или AC  +  BC  >  AD  +  BD , откуда BC  >  BD , так как AC  = AD . Треугольники OBC и OBD имеют по две равных стороны. Поэтому против большей третьей стороны лежит наибольший угол, то есть angle BOC  > angle BOD . Отсюда следует, что angle BOC  +  angle AOC  > angle BOD  +  angle AOD . Или γ + β > α, что и требовалось доказать.

Теорема 4.3. 

α + γ + β < 360°. Другими словами, сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Доказательство

Чертеж 4.4.3.

На чертеже 4.4.3 показан трехгранный угол OABC . Луч

OA1 дополнительный относительно луча OA . Рассмотрим трехгранный угол
OA1BC Если angle BOC  = α,  angle AOC  = β,  angle AOB  = γ, то angle A 1 OB  = 180° – γ,  angle A 1 OC  = 180° – β. Согласно теореме 4.2, angle BOC  < angle A 1 OB  +  angle A 1 OC , или α < 180° – γ + 180° – β, откуда α + γ + β < 360°.

Теорема 4.4. Теорема косинусов для трехгранного угла.


cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos  A , где α, β, γ – плоские углы, A – двугранный угол, составленный плоскостями углов β и γ.

Доказательство

Чертеж 4.4.4.


SM  =  a ,

SN = frac{a}{{cos gamma }}, SP = frac{a}{{cos eta }}

MN = a*tggamma MP = a*tgeta
Применим теорему косинусов к Δ  SPN и MPN .
PN^2 = frac{{a^2 }}{{cos ^2 eta }} + frac{{a^2 }}{{cos ^2 gamma }} - 2frac{{a^2 }}{{cos eta cos gamma }}cos alpha

PN^2 = a^2 (tg^2 eta + tg^2 gamma ) - 2a^2 tggamma tgeta cos A
Приравнивая полученые выражения, получим
frac{1}{{cos ^2 eta }} + frac{1}{{cos ^2 gamma }} - frac{{2cos alpha }}{{cos eta cos gamma }} = frac{{sin ^2 eta }}{{cos ^2 eta }} + frac{{sin ^2 gamma }}{{cos ^2 gamma }} - frac{{2sin eta sin gamma cos A}}{{cos eta cos gamma }}

2 + frac{{2sin eta sin gamma }}{{cos eta cos gamma }}cos A = frac{{2cos alpha }}{{cos eta cos gamma }}
Откуда
cos alpha = cos eta cos gamma + sin eta sin gamma cos A

Замечание. С помощью доказанной теоремы можно вычислить величину двугранного угла, зная плоские углы трехгранного угла:

cos A = frac{{cos alpha - cos eta cos gamma }}{{sin eta sin gamma }}

Если грани плоских углов взаимно перпендикулярны, получаем формулу трех косинусов: cos α = cos β cos γ.

Теорема 4.5. Теорема синусов для трехгранного угла.

Справедливо равенство

frac{{sin alpha }}{{sin A}} = frac{{sin eta }}{{sin B}} = frac{{sin gamma }}{{sin C}}
где α, β, γ – плоские углы трехгранного угла; A B C – противолежащие им двугранные углы.

Доказательство

Пусть дан трехгранный угол с вершиной S и ребрами SA SB и SC , двугранные углы при которых равны соответственно A B  и  C . Возьмем какую-нибудь точку P на ребре SA . Пусть O – ее проекция на плоскость SBC . Пусть R – проекция точки O на ребро SC , а Q – проекция точки O на ребро SB (чертеж 4.4.5).


Чертеж 4.4.5.

На рисунке изображен тот случай, когда точка O попала вовнутрь угла BSC . Однако отметим, что все наши рассуждения не изменятся, если эта точка попадет вне или на сторону угла BSC . Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что угол PRO равен C , а угол PQO равен B , поскольку каждый из них есть линейный угол двугранного угла при соответствующем ребре. Найдем длину отрезка PO двумя способами. С одной стороны, PO  =  PR  sin  C  =  SP  sin β sin  C . С другой стороны, имеем PO  =  PQ  sin  B  =  SP  sin γ sin  B . Приравниваем:

SPsin eta sin C = SPsin gamma sin B Leftrightarrow sin eta sin C = sin gamma sin B

frac{{sin eta }}{{sin B}} = frac{{sin gamma }}{{sin C}}
Второе равенство устанавливается аналогично. Теорема доказана.

Определение 4.6. 

Несколько плоских углов с общим началом O , из которых никакие два не лежат в одной плоскости, образуют многогранный угол (чертеж 4.4.5). Эти плоские углы при вершине многогранного угла называются гранями , а стороны этих углов – ребрами , точка O вершиной многогранного угла . По числу граней многогранный угол называется трехгранным, четырехгранным и т.д. Если все грани многогранного угла находятся с одной стороны от каждой из плоскостей его граней, угол называется выпуклым . В данном курсе рассматриваются только выпуклые многогранные углы.


Чертеж 4.4.6.

Теорема 4.6. 

Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Теорема 4.7. 

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.