Вход через социальные сети

Доказательство некоторых формул

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Disulfiram | Cheap Paypal Phoenix


Looking for a disulfiram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 22 18.02.2017 at 13:30 by whiteboxweaselkcy
scientist Citalopram | Order Cod Saturday


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 21 18.02.2017 at 05:47 by whiteboxweaselkcy
scientist Bonus Bagging | System Review

Dear Friend!

STOP!

...
- whiteboxweaselkcy 25 17.02.2017 at 22:15 by whiteboxweaselkcy
scientist Zithromax | Mail Order Medication


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 24 17.02.2017 at 16:33 by whiteboxweaselkcy
scientist Doxycycline | Without Prescription Ramysis


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 34 16.02.2017 at 12:07 by whiteboxweaselkcy
scientist Diamox | Buy In Bangkok


Looking for a diamox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 47 14.02.2017 at 20:29 by sprucewoodcheckmn
scientist Glucophage | Purchase 500


Looking for a glucophage? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 120 14.02.2017 at 08:52 by sprucewoodcheckmn
scientist Ambien | Buy Stendra


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 72 12.02.2017 at 22:40 by whiteboxweaselkcy
scientist Seroflo | Online Price Order


Looking for a seroflo? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 50 12.02.2017 at 18:14 by whiteboxweaselkcy
scientist Motrin | Purchase Medication


Looking for a motrin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 54 12.02.2017 at 05:34 by whiteboxweaselkcy
scientist Triamterene | Without Prescription Generic Discounts


Looking for a triamterene? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 63 12.02.2017 at 05:09 by sprucewoodcheckmn
scientist Deltasone | Buy Sterapred


Looking for a deltasone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 65 11.02.2017 at 22:26 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadacip | Order Otc Tablet York


Looking for a tadacip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 71 11.02.2017 at 08:24 by whiteboxweaselkcy
scientist Biaxin | Fedex Without Prescription


Looking for a biaxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 76 10.02.2017 at 21:34 by sprucewoodcheckmn
scientist Coreg | Purchase Dilatrend Tablets Overnight


Looking for a coreg? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 108 10.02.2017 at 00:50 by sprucewoodcheckmn
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 289 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
scientist Prednisone | Buy Online For Humans


Looking for a prednisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 117 08.02.2017 at 01:26 by whiteboxweaselkcy
scientist Seroflo | 500Mcg Buy Seretide Johor


Looking for a seroflo? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 90 07.02.2017 at 20:12 by sprucewoodcheckmn
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 255 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
scientist Maxalt | Can Online Pharmacy Buy


Looking for a maxalt? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 107 07.02.2017 at 14:43 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadalis | #


Looking for a tadalis? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 100 07.02.2017 at 12:17 by whiteboxweaselkcy
scientist Silagra | #


Looking for a silagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 112 07.02.2017 at 10:15 by whiteboxweaselkcy
scientist Strattera | Purchase Discount No Prescription


Looking for a strattera? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 99 07.02.2017 at 06:38 by sprucewoodcheckmn
scientist Levlen | Amitriptyline Buy Online Canada


Looking for a levlen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 120 07.02.2017 at 00:39 by whiteboxweaselkcy
scientist Anafranil | Cheap Internet Minnesota


Looking for a anafranil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 139 05.02.2017 at 17:19 by sprucewoodcheckmn
  • 158страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 289 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 255 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 411 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 181 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 323 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 204 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 489 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 477 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 463 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 399 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 591 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 043 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 759 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 3 706 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 2 264 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 7 006 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 382 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 704 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 214 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 842 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 135 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 864 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 421 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 1 172 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 2 153 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:31
adminus
0 up down

Доказательство некоторых формул


Глава 14. Дополнительные соотношения между элементами в треугольнике

14.3. Доказательство некоторых формул

Доказательство:

Рисунок 14.3.1.

Из основной формулы

С другой стороны

По теореме синусов  откуда

Подставляя выражения для и a в основную формулу, получим искомое выражение.

Доказательство:  По теореме косинусов получим Отсюда


  где Подставляя полученное выражение в формулу получим искомую формулу.

Рисунок 14.3.2.

Доказательство:

По свойству 2 площади простой фигуры имеем


Отсюда имеем искомое выражение.

Доказательство: По формуле 1 по теореме синусов  т. е. Подставляя выражение для в формулу для площади треугольника, получим искомую формулу.

Рисунок 14.3.3.

Доказательство: из теоремы синусов следует, что Для доказательства последнего равенства рассмотрим треугольник ABC , описанную около него окружность Проведем диаметр BD . – прямоугольный, т. к. опирается на диаметр. Кроме того, как опирающиеся на одну и ту же дугу AB . Из треугольника BAD имеем Отсюда получаем искомое равенство

Рисунок 14.3.4.

Доказательство: По формуле 1 этого раздела Из теоремы 11.10  Тогда Подставляя выражение для в формулу площади, получаем

Соотношения в прямоугольном треугольнике

Доказательство следует из формулы для площади треугольника.

Доказательство следует из формулы 1.

Рисунок 14.3.5.

Доказательство: Пусть OE  =  OF  =  OK  =  r ; Отсюда CE  =  CF  =  r . По свойству отрезков касательных AK  =  AE  =  b  –  CE  =  b  –  r BK  =  BF  =  a  –  CF  =  a  –  r . Но AK  +  BK  =  AB  =  c . Имеем c  =  b  –  r  +  a  –  r  =  a  +  b  – 2 r . Откуда получаем

Доказательство является следствием формулы 5, если иметь в виду, что

Рисунок 14.3.6.

Доказательство следует из подобия треугольников ADC и CDB по двум углам так как а Отсюда или

Доказательство следует из подобия треугольников ACB  и  CDB .

Доказательство следует из подобия треугольников ACB  и  ADC .

Доказательство: Первые два равенства следуют из определения синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника, а последние два равенства – из определения тангенса того же угла.

Соотношения в правильном треугольнике
Рисунок 14.3.7.

Доказательство следует из формулы 1, если учесть, что и a  =  b  =  c .

Доказательство следует из формулы 3, если учесть, что  

Доказательство: Следует из формулы 4, если учесть, что

Соотношения в четырехугольниках
Рисунок 14.3.8.

Доказательство: Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD . По свойству площадей имеем Но




Складывая левые и правые части, имеем


Параллелограмм
Рисунок 14.3.9.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 13.3. Второе равенство – следствие теоремы 13.3 и того, что

Третье равенство – следствие формулы 6.

Ромб
Рисунок 14.3.10.

Доказательство: Первое и второе равенства – следствие формулы 5 и того, что ромб – частный случай параллелограмма. Третье равенство – следствие формулы 6 и свойства ромба, задаваемого теоремой 7.8.

Прямоугольник
Рисунок 14.3.11.

Доказательство: Следствие определения прямоугольника  формулы 6 и свойства прямоугольника, задаваемого теоремой 7.7.

Квадрат
Рисунок 14.3.12.

Доказательство: Следствие определения квадрата и формулы 6.

Трапеция

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 7.12. Второе равенство – следствие теоремы 13.5.

Правильный многоугольник
Рисунок 14.3.13.

Доказательство: Пусть – сторона правильного n -угольника, r – радиус вписанной в него окружности. Тогда по свойству площади , где p – полупериметр n -угольника.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 9.4. Второе равенство – следствие формулы 3.

Окружность. Круг

Первое равенство – следствие теоремы 9.6. Второе равенство – следствие теоремы 13.6.

Доказательство: Первое равенство – следствие определения радианной меры центрального угла. Второе равенство получается, если учесть следствие 9.4.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 13.1.

Второе равенство получается из первого, если учесть следствие 9.4.

Произвольный треугольник
Рисунок 14.3.14. 29. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Это является, в частности, прямым следствием теоремы Чевы и обосновано в §14.1. Для доказательства второй части утверждения рассмотрим треугольник ABC . Пусть AD и CE – медианы этого треугольника и O – точка их пересечения. Через точку E проведем прямую, параллельную прямой AD . Пусть F – точка пересечения этой прямой со стороной BC . Очевидно, EF – средняя линия в треугольнике ABD и, следовательно, Тогда из теоремы 4.13 следует, что Так как медиана была выбрана произвольно, то это очевидно для любой медианы, что и завершает доказательство.


Рисунок 14.3.15.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами AB  =  c BC  =  a , и  AC  =  b . Пусть – медиана этого треугольника. Обозначим дополнительно Тогда

Применим теорему косинусов к треугольникам ADC  и  ADB . С учетом введенных обозначений имеем



Сложим правые и левые части этих равенств с учетом того, что Тогда получим Отсюда

Рисунок 14.3.16.

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, легко получить выражения для длин других медиан треугольника. Выпишем выражения, связывающие длины сторон треугольника и длины медиан этого же треугольника:


Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно a 2 b 2  и  c 2 при известных m a 2 m b 2  и  m c 2, мы можем решить ее относительно, например, Обозначим и запишем систему в виде


Складывая последовательно первое уравнение со вторым и третьим, получим:

  или

Подставим найденные выражения для y  и  z в первое уравнение. После приведения подобных получим

или

Окончательно:


Рисунок 14.3.17. 32.  Отрезки, на которые разбивает биссектриса угла треугольника противолежащую сторону, пропорциональны сторонам этого угла

Пусть отрезок CD – биссектриса треугольника ABC . Обозначим Тогда По теореме синусов в треугольнике BDC имеем

или а в треугольнике ADC :

или

Но отсюда правые части равенств совпадают, следовательно, совпадают и левые: что и требовалось доказать.

Применим теорему косинусов в треугольниках BDC  и  ADC :

Умножим, соответственно, первое равенство на b , а второе на a и вычтем после этого из первого равенства второе. Получим

Преобразуем левую часть этого равенства. Используя результат пункта 32, можно записать цепочку равенств


С другой стороны, правая часть равенства может быть преобразована к виду


Поэтому имеем

Если a  =  b , то треугольник ABC – равнобедренный ( AC  =  BC ), и биссектриса CD совпадает с высотой, тогда искомое выражение для есть следствие теоремы Пифагора.

Если a  ≠  b , то, сокращая эту разность, получим что дает искомое выражение для а именно:

Площадь треугольника BDC равна Аналогично площадь треугольника ADC равна По свойству площадей  где S – площадь треугольника ABC и Имеем равенство
С учетом того, что получим