Вход через социальные сети

Доказательство некоторых формул

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

3 / - viksan31 40 27.03.2017 at 18:12 by viksan31
scientist Proscar | Buy Generic Uk


Looking for a proscar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 4 27.03.2017 at 13:14 by paleanglodvo
scientist Norvasc | Purchase Online


Looking for a norvasc? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 7 27.03.2017 at 12:17 by paleanglodvo
scientist Pyridium | Order Online


Looking for a pyridium? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 4 27.03.2017 at 12:17 by paleanglodvo
scientist Naltrexone | Buy Powder


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 5 27.03.2017 at 11:17 by produtobutteryzt
scientist Promethazine | Buy Pills


Looking for a promethazine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 8 27.03.2017 at 05:10 by paleanglodvo
scientist Reminyl | Paypal Saturday Delivery Austria


Looking for a reminyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 10 27.03.2017 at 03:55 by groanstrawln
scientist Inderal | Buy Canada


Looking for a inderal? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 9 27.03.2017 at 00:02 by produtobutteryzt
scientist Nolvadex | How To Buy 10Mg


Looking for a nolvadex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 7 26.03.2017 at 22:01 by groanstrawln
scientist Naprosyn | Discount Order Online


Looking for a naprosyn? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 10 26.03.2017 at 21:01 by groanstrawln
scientist Remeron | Buy Soltab


Looking for a remeron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 16 26.03.2017 at 17:29 by produtobutteryzt
scientist Flomax | Buy Tamsulosin 0


Looking for a flomax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 20 26.03.2017 at 11:41 by groanstrawln
scientist Famvir | No Prescription Fedex


Looking for a famvir? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 16 26.03.2017 at 11:04 by groanstrawln
scientist Erythromycin | Prescription Cheap Buy


Looking for a erythromycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 34 26.03.2017 at 11:03 by groanstrawln
scientist Ditropan | Get Visa Without Prescription


Looking for a ditropan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 15 26.03.2017 at 07:42 by groanstrawln
scientist Diovan | Order Online Saturday Delivery


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 18 26.03.2017 at 07:41 by groanstrawln
scientist Dramamine | Buy Online Uk


Looking for a dramamine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 18 26.03.2017 at 07:39 by produtobutteryzt
scientist Differin | Cheapest Online Delivery


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 14 26.03.2017 at 06:42 by groanstrawln
scientist Olanzapine | Purchase Medication


Looking for a olanzapine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 14 26.03.2017 at 06:40 by produtobutteryzt
scientist Fosamax | Purchase Osteoporosis


Looking for a fosamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 21 26.03.2017 at 01:49 by produtobutteryzt
scientist Suprax | Buy 400 Mg Online


Looking for a suprax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 30 25.03.2017 at 23:43 by produtobutteryzt
scientist Altace | Order Side


Looking for a altace? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 20 25.03.2017 at 21:40 by produtobutteryzt
scientist Prinivil | Purchase Manufacturer


Looking for a prinivil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 22 25.03.2017 at 13:00 by produtobutteryzt
scientist Aldactone | Purchase Online Without Prescription


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 20 25.03.2017 at 00:17 by groanstrawln
scientist Accutane | Order Pharmacy


Looking for a accutane? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 25 24.03.2017 at 23:02 by groanstrawln
  • 162страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

3 / - viksan31 40 27.03.2017 at 18:12 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 143 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 166 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 2 020 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 254 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 632 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 601 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 778 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 409 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 592 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 416 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 781 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 819 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 747 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 637 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 906 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 822 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 189 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 885 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 075 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 8 088 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 872 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 151 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 552 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 170 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:31
adminus
0 up down

Доказательство некоторых формул


Глава 14. Дополнительные соотношения между элементами в треугольнике

14.3. Доказательство некоторых формул

Доказательство:

Рисунок 14.3.1.

Из основной формулы

С другой стороны

По теореме синусов  откуда

Подставляя выражения для и a в основную формулу, получим искомое выражение.

Доказательство:  По теореме косинусов получим Отсюда


  где Подставляя полученное выражение в формулу получим искомую формулу.

Рисунок 14.3.2.

Доказательство:

По свойству 2 площади простой фигуры имеем


Отсюда имеем искомое выражение.

Доказательство: По формуле 1 по теореме синусов  т. е. Подставляя выражение для в формулу для площади треугольника, получим искомую формулу.

Рисунок 14.3.3.

Доказательство: из теоремы синусов следует, что Для доказательства последнего равенства рассмотрим треугольник ABC , описанную около него окружность Проведем диаметр BD . – прямоугольный, т. к. опирается на диаметр. Кроме того, как опирающиеся на одну и ту же дугу AB . Из треугольника BAD имеем Отсюда получаем искомое равенство

Рисунок 14.3.4.

Доказательство: По формуле 1 этого раздела Из теоремы 11.10  Тогда Подставляя выражение для в формулу площади, получаем

Соотношения в прямоугольном треугольнике

Доказательство следует из формулы для площади треугольника.

Доказательство следует из формулы 1.

Рисунок 14.3.5.

Доказательство: Пусть OE  =  OF  =  OK  =  r ; Отсюда CE  =  CF  =  r . По свойству отрезков касательных AK  =  AE  =  b  –  CE  =  b  –  r BK  =  BF  =  a  –  CF  =  a  –  r . Но AK  +  BK  =  AB  =  c . Имеем c  =  b  –  r  +  a  –  r  =  a  +  b  – 2 r . Откуда получаем

Доказательство является следствием формулы 5, если иметь в виду, что

Рисунок 14.3.6.

Доказательство следует из подобия треугольников ADC и CDB по двум углам так как а Отсюда или

Доказательство следует из подобия треугольников ACB  и  CDB .

Доказательство следует из подобия треугольников ACB  и  ADC .

Доказательство: Первые два равенства следуют из определения синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника, а последние два равенства – из определения тангенса того же угла.

Соотношения в правильном треугольнике
Рисунок 14.3.7.

Доказательство следует из формулы 1, если учесть, что и a  =  b  =  c .

Доказательство следует из формулы 3, если учесть, что  

Доказательство: Следует из формулы 4, если учесть, что

Соотношения в четырехугольниках
Рисунок 14.3.8.

Доказательство: Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD . По свойству площадей имеем Но




Складывая левые и правые части, имеем


Параллелограмм
Рисунок 14.3.9.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 13.3. Второе равенство – следствие теоремы 13.3 и того, что

Третье равенство – следствие формулы 6.

Ромб
Рисунок 14.3.10.

Доказательство: Первое и второе равенства – следствие формулы 5 и того, что ромб – частный случай параллелограмма. Третье равенство – следствие формулы 6 и свойства ромба, задаваемого теоремой 7.8.

Прямоугольник
Рисунок 14.3.11.

Доказательство: Следствие определения прямоугольника  формулы 6 и свойства прямоугольника, задаваемого теоремой 7.7.

Квадрат
Рисунок 14.3.12.

Доказательство: Следствие определения квадрата и формулы 6.

Трапеция

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 7.12. Второе равенство – следствие теоремы 13.5.

Правильный многоугольник
Рисунок 14.3.13.

Доказательство: Пусть – сторона правильного n -угольника, r – радиус вписанной в него окружности. Тогда по свойству площади , где p – полупериметр n -угольника.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 9.4. Второе равенство – следствие формулы 3.

Окружность. Круг

Первое равенство – следствие теоремы 9.6. Второе равенство – следствие теоремы 13.6.

Доказательство: Первое равенство – следствие определения радианной меры центрального угла. Второе равенство получается, если учесть следствие 9.4.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 13.1.

Второе равенство получается из первого, если учесть следствие 9.4.

Произвольный треугольник
Рисунок 14.3.14. 29. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Это является, в частности, прямым следствием теоремы Чевы и обосновано в §14.1. Для доказательства второй части утверждения рассмотрим треугольник ABC . Пусть AD и CE – медианы этого треугольника и O – точка их пересечения. Через точку E проведем прямую, параллельную прямой AD . Пусть F – точка пересечения этой прямой со стороной BC . Очевидно, EF – средняя линия в треугольнике ABD и, следовательно, Тогда из теоремы 4.13 следует, что Так как медиана была выбрана произвольно, то это очевидно для любой медианы, что и завершает доказательство.


Рисунок 14.3.15.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами AB  =  c BC  =  a , и  AC  =  b . Пусть – медиана этого треугольника. Обозначим дополнительно Тогда

Применим теорему косинусов к треугольникам ADC  и  ADB . С учетом введенных обозначений имеем



Сложим правые и левые части этих равенств с учетом того, что Тогда получим Отсюда

Рисунок 14.3.16.

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, легко получить выражения для длин других медиан треугольника. Выпишем выражения, связывающие длины сторон треугольника и длины медиан этого же треугольника:


Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно a 2 b 2  и  c 2 при известных m a 2 m b 2  и  m c 2, мы можем решить ее относительно, например, Обозначим и запишем систему в виде


Складывая последовательно первое уравнение со вторым и третьим, получим:

  или

Подставим найденные выражения для y  и  z в первое уравнение. После приведения подобных получим

или

Окончательно:


Рисунок 14.3.17. 32.  Отрезки, на которые разбивает биссектриса угла треугольника противолежащую сторону, пропорциональны сторонам этого угла

Пусть отрезок CD – биссектриса треугольника ABC . Обозначим Тогда По теореме синусов в треугольнике BDC имеем

или а в треугольнике ADC :

или

Но отсюда правые части равенств совпадают, следовательно, совпадают и левые: что и требовалось доказать.

Применим теорему косинусов в треугольниках BDC  и  ADC :

Умножим, соответственно, первое равенство на b , а второе на a и вычтем после этого из первого равенства второе. Получим

Преобразуем левую часть этого равенства. Используя результат пункта 32, можно записать цепочку равенств


С другой стороны, правая часть равенства может быть преобразована к виду


Поэтому имеем

Если a  =  b , то треугольник ABC – равнобедренный ( AC  =  BC ), и биссектриса CD совпадает с высотой, тогда искомое выражение для есть следствие теоремы Пифагора.

Если a  ≠  b , то, сокращая эту разность, получим что дает искомое выражение для а именно:

Площадь треугольника BDC равна Аналогично площадь треугольника ADC равна По свойству площадей  где S – площадь треугольника ABC и Имеем равенство
С учетом того, что получим