Вход через социальные сети

Инверсия

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Effexor | Xr Canada Cheap


Looking for a effexor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 24.03.2017 at 11:21 by groanstrawln
scientist Bentyl | Best Price Pharmaceutical Visa


Looking for a bentyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 24.03.2017 at 11:20 by paleanglodvo
scientist Avapro | Low Cost Aprovel Visa


Looking for a avapro? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 24.03.2017 at 10:43 by paleanglodvo
scientist Cleocin | Buy Cheap Canada Online


Looking for a cleocin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 24.03.2017 at 04:27 by paleanglodvo
scientist Ambien | Mail Order Cheap


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 24.03.2017 at 02:10 by paleanglodvo
scientist Vasotec | Coumadin Purchase Buy Fedex


Looking for a vasotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 24.03.2017 at 01:26 by produtobutteryzt
scientist Coumadin | To Buy Online Spain


Looking for a coumadin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 4 23.03.2017 at 23:46 by paleanglodvo
scientist Isoptin | Purchase Medicine New Mexico


Looking for a isoptin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 0 23.03.2017 at 22:38 by groanstrawln
scientist Mircette | Is Buy Legit Online


Looking for a mircette? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 23.03.2017 at 22:37 by paleanglodvo
scientist Cytotec | Tablets To Buy


Looking for a cytotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 22 23.03.2017 at 17:21 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadacip | Buy Safely Online 8D76c


Looking for a tadacip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 11 23.03.2017 at 12:12 by paleanglodvo
scientist Eurax | Buy Dicyclomine


Looking for a eurax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 20 23.03.2017 at 11:56 by sprucewoodcheckmn
scientist Aldactone | Buy Federal Express


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 7 23.03.2017 at 11:55 by sprucewoodcheckmn
scientist Luvox | Buy Brand No Script


Looking for a luvox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 9 23.03.2017 at 11:13 by produtobutteryzt
scientist Topamax | Buy Real Online


Looking for a topamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 11 23.03.2017 at 08:28 by produtobutteryzt
scientist Doxycycline | Order Ove


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 6 23.03.2017 at 07:23 by paleanglodvo
scientist Zithromax | Buy Low Cost Pierre


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 13 23.03.2017 at 04:13 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Order Delaware


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 12 23.03.2017 at 02:22 by paleanglodvo
scientist Augmentin | Buy Online Purchase Aberdeenshire


Looking for a augmentin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 11 23.03.2017 at 01:50 by sprucewoodcheckmn
scientist Olanzapine | Buy Online Store Internet


Looking for a olanzapine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 19 23.03.2017 at 00:14 by groanstrawln
scientist Kamagra | Get-Soft Priority Mail Order


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 14 22.03.2017 at 23:21 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Where To Buy Suspe


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 26 22.03.2017 at 22:18 by produtobutteryzt
scientist Zyban | Low Cost Bupron


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 17 22.03.2017 at 17:48 by groanstrawln
scientist Diovan | Co No Script Requ


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 15 22.03.2017 at 16:38 by groanstrawln
scientist Cymbalta | Guidance Otc Cost Solostar


Looking for a cymbalta? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 19 22.03.2017 at 14:02 by produtobutteryzt
  • 161страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 105 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 141 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 1 910 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 222 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 607 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 570 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 727 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 377 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 561 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 385 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 753 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 791 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 708 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 611 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 873 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 736 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 132 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 789 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 2 989 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 7 965 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 837 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 119 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 524 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 134 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 439 27.09.2016 at 02:25 by zam2
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:30
adminus
0 up down

Инверсия


Глава 12. Преобразования

12.8. Инверсия

Определим преобразование точек плоскости следующим образом. Пусть задана окружность Каждой точке A плоскости, отличной от O , поставим в соответствие точку  на луче OA , такую, что

Теорема 12.23. 

Соответствие между точками плоскости, заданное соотношением (1), является взаимно однозначным преобразованием всех точек плоскости, за исключением точки O – центра окружности

Доказательство

Действительно, пусть A – некоторая точка плоскости, отличная от точки O . Тогда пара точек { O A } определяет единственный луч OA и отрезок OA . Найдем из соотношения (1)  В соответствии с аксиомой 1.5 существует единственная точка  на луче OA , такая, что  В соответствии с определением данное соответствие есть преобразование точек плоскости. В силу симметрии соотношения (1) относительно сомножителей OA и  точно такие же рассуждения можно привести относительно единственности точки A при заданном  Отсюда следует, что соответствие, заданное соотношением (1), – взаимно однозначное преобразование.

Это преобразование называется преобразованием инверсии или просто инверсией относительно окружности    Обозначим ее  Образ точки O при инверсии не определен. Точка O называется центром инверсии , а R радиусом инверсии .

В определении инверсии выражение (1) симметрично относительно сомножителей, что позволяет трактовать точку A как образ точки  при инверсии  Сформулируем на этой основе следующее свойство инверсии.

Теорема 12.24. 

Если точке A при инверсии  соответствует точка  то точке  соответствует точка A , то есть если  то верно

Точки A и A 1 называют взаимно обратными точками.

Доказательство

С учетом определения обратного преобразования это свойство можно записать так: преобразование инверсии  и обратное к нему преобразование  совпадают

Вспоминая, что где e – тождественное преобразование, получим окончательно

Очевидно, что если  то OA  =  R , и из (1) имеем  то есть  и, следовательно,

Теорема 12.25. 

При инверсии относительно  каждая точка окружности  неподвижна.

В остальных случаях из пары связанных инверсий точек одна лежит внутри окружности  другая – вне этой окружности.

Рисунок 12.8.1.

Пусть  – заданная окружность (рис. 12.8.1). Пусть точка A лежит внутри окружности и  где    и  Проведем через точки B  и  C касательные к окружности, которые пересекутся с лучом [ OA ) в точке  Покажем, что

Действительно, из того свойства, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы, полученных разбиением ее основанием высоты, получаем, что  но  откуда
Приведенные рассуждения дают способ геометрического построения образа точки A при инверсии

Введем далее прямоугольную систему координат OXY с началом в центре окружности  инверсии  (рис. 12.8.2).

Рисунок 12.8.2.

Пусть  – прообраз точки  при инверсии  Из рисунка ясно, что  Отсюда имеем
Так как  то λ > 0, и верно равенство  Умножив обе части этого равенства на OA , имеем  Но, с другой стороны,  и, кроме того,  Отсюда имеем
  Следовательно, инверсия  задается соотношениями
(2) Так как  то
(3)

Рассмотрим фигуру F , задаваемую уравнением
 (4) Рассмотрим образ  этой фигуры при инверсии  Для этого подставим в уравнение (4) соотношения (3), связывающие координаты образа и прообраза при отображении  Получим
то есть
(5) Это и есть уравнение, которое задает образ  фигуры F при инверсии

Рассмотрим различные случаи, перечисленные в условии теоремы.

  1. Пусть A  =  D  = 0, тогда исходное уравнение определяет прямую F : Bx  +  Cy  = 0. При этом уравнение (5) имеет вид  что также задает прямую F (рис. 12.8.3).
  2. F – прямая, не проходящая через точку O . Тогда A  = 0,  D  ≠ 0 и уравнение для F примет вид
      что приводится к виду
      Выделив полные квадраты, имеем
    Это уравнение задает окружность, проходящую через точку O (рис. 12.8.4).
  3. F – окружность, проходящая через точку O . Тогда A  ≠ 0, но  D  = 0, и уравнение (4) имеет вид
    После подстановки (3) имеем
    или
    Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат, то есть через точку O , так как A  ≠ 0 (рис. 12.8.5)
  4. F – окружность, не проходящая через точку O . В этом случае A  ≠ 0,  D  ≠ 0. Действительно, тогда уравнение (4) можно записать в виде
    Выделяя полный квадрат, имеем
     Diablo Но при преобразовании инверсии уравнение, задающее  имеет тот же вид, что и исходное уравнение (4), и, следовательно, может быть приведено к виду Diablo (рис. 12.8.6).
Рисунок 12.8.3.
Рисунок 12.8.4.
Рисунок 12.8.5.
Рисунок 12.8.6.

Назовем углом между пересекающимися окружностями с вершиной в точке пересечения меньший угол между касательными к ним прямыми в точке пересечения. Аналогично углом между окружностью и пересекающей ее прямой с вершиной в точке пересечения называется угол между этой прямой и касательной к окружности, проведенной в точке пересечения. Из этого определения следует, что если две окружности или прямая и окружность касаются (то есть имеют единственную общую точку), то угол между ними равен нулю.

Заметим, что образом прямой при инверсии является либо окружность, либо прямая, и наоборот, прообразом прямой в силу теоремы 12.24 также является либо прямая, либо окружность. Отсюда и на основании определений, приведенных выше, следует, что образом угла (так же, как и его прообразом) является угол, сторонами которого в общем случае являются касательные к соответствующим окружностям. Поэтому достаточно рассмотреть доказательство для случая двух прямых  и  не проходящих через центр инверсии. При этом возможны два случая: либо угол между прямыми равен нулю, либо угол отличен от нуля.

Первый случай возникает, во-первых, когда прямые  и  совпадают, и, во-вторых, когда прямая и окружность (или две окружности) касаются. В случае совпадений прямых их образы, очевидно, также совпадают, и, следовательно, значение угла между прямыми сохраняется. Если же имеет место случай касания, то по лемме 12.1 их образы при инверсии также касаются. Действительно, поскольку исходные фигуры касаются, то они имеют единственную общую точку и по лемме 12.1 их образы также имеют единственную общую точку, то есть касаются, и, следовательно, угол между прямыми равен нулю.

Во втором случае прямые  и  пересекаются в некоторой точке A , отличной от центра инверсии. Тогда образами прямых  и  будут окружности  и  которые пересекаются в точке O (см. теорему 12.26) и еще в некоторой точке  Поскольку углы между окружностями в точках O  и  B равны, можно рассмотреть угол в точке O . Касательные прямые  и  в точке O к окружностям  и  параллельны прямым  и  соответственно. Докажем это. Рассмотрим прямую  касающуюся окружности  в точке C . Пусть  – ее прообраз при инверсии относительно окружности  В силу теоремы 12.25  а по теореме 12.26 –  и OC  =  R . Рассмотрим окружность  где  – середина отрезка OC , а  Покажем, что  (рис. 12.8.7).

Рисунок 12.8.7.

Действительно, выберем произвольную точку Пусть Треугольник  – прямоугольный по построению окружности  Угол – прямой, как вписанный в окружность  и опирающийся на диаметр OC . Тогда по свойству высоты, опущенной на гипотенузу, имеем  но  Учтем, что  и получим
но  и окончательно имеем
Таким образом, прообраз любой точки прямой l лежит на  Аналогично можно показать, что любая, кроме точки O , точка A окружности  является прообразом точки  в силу единственности прообраза  Так как OC – диаметр окружности  и l касается  по условию, а  и  также касаются друг друга в точке C , то l касается  в точке C , и тогда касательная  к  в точке O параллельна l .

По условию, прямые l и параллельны, и поэтому у них нет общих точек. Поэтому их образы при инверсии относительно  также не имеют общих точек, кроме точки O . Следовательно,  и  касаются в точке O , и касательные  и  совпадают. Отсюда следует, что  Аналогично  Следовательно, угол между прямыми  и  совпадает с углом между двумя прямыми  и  Теорема доказана.