Вход через социальные сети

Движение

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Grifulvin | Buy V Online


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 8 18.01.2017 at 15:15 by enderpearlratioivc
scientist Lotrisone | Buy Generic Online


Looking for a lotrisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 8 18.01.2017 at 14:34 by enderpearlratioivc
scientist Desyrel | Order


Looking for a desyrel? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 11 18.01.2017 at 12:01 by enderpearlratioivc
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 22 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
scientist Celebrex | Buy From Canada


Looking for a celebrex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 12 17.01.2017 at 22:58 by enderpearlratioivc
scientist Lipitor | Low Cost Medicine Check


Looking for a lipitor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 12 17.01.2017 at 22:10 by enderpearlratioivc
scientist Sumycin | Order Interactions


Looking for a sumycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 14 17.01.2017 at 20:33 by enderpearlratioivc
scientist Citalopram | Buy In Uk


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 22 16.01.2017 at 21:46 by enderpearlratioivc
scientist Neurontin | Order Without A Script


Looking for a neurontin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 73 16.01.2017 at 16:31 by enderpearlratioivc
scientist Z Code System | Buy Sports Betting System

Let me ask you this Do you want to follow a winning sports betting system but don't have...

- enderpearlratioivc 16 16.01.2017 at 13:54 by enderpearlratioivc
scientist Cardizem | Amex Cod Accepted Spain


Looking for a cardizem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 133 16.01.2017 at 03:52 by enderpearlratioivc
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 258 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 235 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 256 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 210 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 354 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 349 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 409 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Тема форума Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 720 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Тема форума Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 622 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Тема форума Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 086 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Тема форума Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 924 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Тема форума Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 229 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Тема форума Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 876 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Тема форума Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 580 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 22 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 258 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 235 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 256 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 210 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 354 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 349 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 409 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 720 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 622 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 086 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 924 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 229 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 876 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 580 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 831 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 517 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 032 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 871 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 752 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 769 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 2 316 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 703 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 1 262 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 3 846 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:29
adminus
0 up down

Движение


Глава 12. Преобразования

12.2. Движение

Преобразование фигуры, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением этой фигуры.

Свойства движения .

Теорема 12.1. 

Движение – взаимно однозначное преобразование.

Доказательство

Пусть X и Y – две разные точки, образы которых при преобразовании движения f совпадают, т. е. f  ( X ) =  f  ( Y ). По определению ρ ( f  ( X ),  f  ( Y )) = ρ ( X Y ). С одной стороны, ρ ( X Y ) ≠ 0, так как по условию X Y . С другой стороны, ρ ( f  ( X ),  f  ( Y )) = 0 в силу предположения. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 12.2. 

Преобразование, обратное к движению, – движение.

Доказательство

Пусть f – заданное движение,  – обратное к нему преобразование, а  и  – две точки плоскости, являющиеся образами точек X и Y . По определению обратного преобразования   при этом   и   Следовательно,  – движение. Теорема доказана.

Теорема 12.3. 

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство

Пусть движение переводит три точки A , B , C , лежащие на одной прямой, в точки  соответственно, и для определенности положим, что точка B лежит между точками A и C . Тогда выполняются равенства
Отсюда   Это означает, что точка   лежит между точками   и   Первая часть утверждения доказана.

Предположим, что найдутся три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой, такие, что их образы  при движении f лежат на некоторой прямой. Рассмотрим преобразование   По теореме 12.2  – движение, и в соответствии с доказанным в первой части теоремы образы точек  лежащих на одной прямой, также лежат на одной прямой. Но   а они по предположению не лежат на одной прямой. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие 12.1. 
  1. Отрезок движением переводится в отрезок.
  2. Луч при движении переходит в луч, прямая – в прямую.
  3. Треугольник движением переводится в треугольник.

Доказательство
  1. Пусть концам отрезка AB движение f сопоставляет точки  и   Возьмем любую точку X отрезка AB . Тогда по теореме 12.3  лежит на прямой  между точками  и  то есть на отрезке  Наоборот, любую точку  отрезка  преобразование  преобразует в точку Y , принадлежащую отрезку AB , так как  – также движение. Теорема доказана.
  2. Пусть A и B – произвольные точки данной прямой,  – прямая, проведенная через образы точек A и B при движении f . Рассмотрим произвольную точку C прямой AB . По теореме 12.3 точки  где  лежат на одной прямой, т.е. прямой  Аналогично в силу того, что  – движение, для точки  прямой  существует точка D прямой AB такая, что  Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, то луч переходит в луч при преобразовании движения.
  3. По теореме 12.3 три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой, переходят при преобразовании движения в точки  соответственно, не лежащие на одной прямой. Кроме того, отрезки AB , BC и AC переходят в отрезки  Таким образом, треугольник ABC переходит в треугольник   Причем по определению движения   Тогда по третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и  равны.

Теорема 12.4. 

При движении сохраняются углы.

Доказательство

Рассмотрим три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой. Они задают лучи AB и AC , являющиеся сторонами угла BAC . Пусть  – соответственно образы рассматриваемых точек A , B , C . Докажем, что   Согласно доказательству предыдущей теоремы треугольник ABC равен треугольнику  а из равенства треугольников следует, что  Теорема доказана.

Две фигуры называются равными , если они движением переводятся одна в другую.

Теорема 12.5. 

Пусть у двух движений f и g фигуры F образы некоторых трех точек A , B , C , не лежащих на одной прямой, совпадают, т.е. f  ( A ) =  g  ( A ) =  A 1, f  ( B ) =  g  ( B ) =  B 1, f  ( C ) =  g  ( C ) =  C 1. Тогда движения f и g совпадают.

Доказательство

Теорема 12.6. 

Пусть на плоскости заданы два равных в смысле определения главы 4 треугольника ABC и Тогда существует такое движение плоскости, которое переводит точку A в A 1, точку B в B 1 и точку C в C 1.

Доказательство

Введем векторы   В силу равенства треугольников ABC и имеем равенства
т.е.
  (*) Пусть P – любая точка. Разложим вектор   по векторам   и   Получим   Зададим преобразование f следующим образом: каждой точке P поставим в соответствие точку так, что если   то   Для этого преобразования т.к. при P  =  A  α = β = 0, что дает   т.к. при P  =  B  α = 1, β = 0, тогда И, наконец, Докажем, что f – движение. Возьмем любые две точки P и Q и соответствующие им точки и Пусть     Тогда     и     Возведя в скалярный квадрат эти равенства, получим
и
Ввиду равенств (*) имеем   или Следовательно, f – движение. Теорема доказана.