Вход через социальные сети

Базис. Общая декартова система координат

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Ambien | Buy India


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 29.03.2017 at 21:52 by groanstrawln
scientist Lioresal | Order Side


Looking for a lioresal? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 29.03.2017 at 20:54 by groanstrawln
scientist Inderal | Buy Tablets


Looking for a inderal? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 29.03.2017 at 20:53 by produtobutteryzt
scientist Diflucan | Purchase Over Counter


Looking for a diflucan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 29.03.2017 at 20:52 by produtobutteryzt
scientist Proscar | Buy On-Line


Looking for a proscar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 29.03.2017 at 19:21 by produtobutteryzt
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

12 / - viksan31 261 29.03.2017 at 18:57 by 12d3
scientist Flomax | Buy Generic Online


Looking for a flomax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 2 29.03.2017 at 18:17 by produtobutteryzt
scientist Finpecia | Buy In South Africa


Looking for a finpecia? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 29.03.2017 at 17:26 by groanstrawln
scientist Amoxil | Buy Amoxicillin Online Uk


Looking for a amoxil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 3 29.03.2017 at 16:23 by paleanglodvo
scientist Neurontin | Order Without A Script


Looking for a neurontin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 9 29.03.2017 at 01:49 by produtobutteryzt
scientist Eurax | Buy Cream


Looking for a eurax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 9 28.03.2017 at 22:30 by groanstrawln
scientist Suprax | Purchase Generic


Looking for a suprax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 10 28.03.2017 at 21:29 by paleanglodvo
scientist Aciphex | Buy In Canada


Looking for a aciphex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 8 28.03.2017 at 19:08 by groanstrawln
scientist Naltrexone | Buy Hydrochloride


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 12 28.03.2017 at 18:00 by produtobutteryzt
scientist Seroquel | Buy Online Overnight


Looking for a seroquel? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 8 28.03.2017 at 17:00 by groanstrawln
scientist Levitra | Buy Singapore


Looking for a levitra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 6 28.03.2017 at 17:00 by groanstrawln
scientist Diflucan | Buy One


Looking for a diflucan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 6 28.03.2017 at 16:59 by paleanglodvo
scientist Atrovent | Purchase Vs Albuterol


Looking for a atrovent? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 11 28.03.2017 at 14:12 by paleanglodvo
scientist Cefixime | Purchase 400 Mg


Looking for a cefixime? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 13 28.03.2017 at 08:12 by paleanglodvo
scientist Tamoxifen | Buy Research


Looking for a tamoxifen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 11 28.03.2017 at 08:11 by paleanglodvo
scientist Atrovent | Purchase Peanut


Looking for a atrovent? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 10 28.03.2017 at 02:47 by groanstrawln
scientist Naltrexone | Buy Low Dose


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 11 28.03.2017 at 02:46 by produtobutteryzt
scientist Mircette | Buy Birth Control


Looking for a mircette? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 18 28.03.2017 at 01:23 by paleanglodvo
scientist Proscar | Buy Generic Uk


Looking for a proscar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 19 27.03.2017 at 13:14 by paleanglodvo
scientist Norvasc | Purchase Online


Looking for a norvasc? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 30 27.03.2017 at 12:17 by paleanglodvo
  • 163страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

12 / - viksan31 261 29.03.2017 at 18:57 by 12d3
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 165 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 181 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 2 080 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 270 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 655 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 633 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 796 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 430 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 603 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 432 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 787 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 844 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 762 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 658 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 920 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 839 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 206 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 928 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 099 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 8 132 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 887 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 174 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 590 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 178 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:28
adminus
0 up down

Базис. Общая декартова система координат


Глава 11. Векторы

11.3. Базис. Общая декартова система координат

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Пусть   и  – некоторый базис и  – произвольный вектор, тогда по теореме 11.9 и следствию 11.1 существуют два единственным образом определенных числа x  и  y , такие, что

Числа x  и  y называются координатами вектора  в данном базисе. В этом случае также пишут

Справедливы следующие свойства.

Теорема 11.12. 
  1. При умножении вектора на число все его координаты в данном базисе умножаются на это число.
  2. При сложении двух или больше векторов их соответственные координаты складываются.

Доказательство

Пусть  – базис и    – два произвольных вектора. Очевидно,
 

  1. Пусть λ – произвольное число. Имеем
    Здесь мы воспользовались свойствами произведения вектора на число.

Пусть на плоскости заданы точка O и произвольный базис   Совокупность этого базиса и точки O называется декартовой системой координат     Точка O называется началом координат . Если через эту точку O провести прямые в направлениях, заданных базисными векторами  и  то полученные прямые называются осями координат : прямая OX осью абсцисс , прямая Oy осью ординат . Координаты радиус-вектора точки M называются координатами этой точки в данной системе координат ( x – абцисса, y – ордината).

Рисунок 11.3.1.

Если  и  взаимно перпендикулярны и их модули равны единице, то базис называется ортонормированным , и мы получим известную нам прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Таким образом, рассмотренная здесь декартова система координат  является обобщением рассмотренной ранее прямоугольной декартовой системы координат, которая в свою очередь является частным случаем общей декартовой системы координат.

Мы видели (теорема 11.12), что свойства сложения и умножения вектора на число, записанные через координаты вектора, в произвольном базисе сохраняются. Рассмотрим, как изменится выражение для скалярного произведения, записанное через их координаты в произвольном базисе. Итак, пусть  – произвольный базис,  и  – любые два вектора. Рассмотрим скалярное произведение этих векторов и преобразуем его, используя ранее доказанные свойства:

Таким образом, для вычисления скалярного произведения двух векторов в произвольном базисе, кроме их координат, надо знать модули базисных векторов и угол между ними. Очевидно, что если базис ортонормирован, то    и мы получим известную формулу для скалярного произведения в ортогональной декартовой системе координат.

Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства (см., например, доказательство теоремы 11.10). Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатах. Одна и та же точка в различных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, прямая, окружность) в разных системах координат задается различными уравнениями. Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой. Ограничимся случаем ортогональных систем.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат:  и  (см. рис. 11.3.2).

Рисунок 11.3.2.

Первую систему с началом в точке O и базисными векторами  и  назовем старой, вторую, с началом в точке O' и базисными векторами  и  – новой. Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка O' в старой системе имеет координаты  а вектор  образует с вектором угол α, который отсчитывается в направлении против движения часовой стрелки от направления, задаваемого вектором

Рассмотрим произвольную точку M . Обозначим ее координаты в старой системе через ( x y ), в новой – через ( x' y' ). Установим связь между старыми и новыми координатами точки M . Из рис. 11.3.2 по правилу треугольника имеем
Разложим векторы  и  по базису  а вектор  – по базису
    Равенство перепишется в виде:
Новые базисные векторы  и  можно разложить по старым базисным векторам  следующим образом:
Подставив найденные выражения для  и  в формулу, получим векторное равенство
равносильное двум числовым равенствам:
Эти формулы дают искомое выражение для старых координат через новые координаты x'  и  y' . Для того чтобы найти выражение для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнений относительно неизвестных x'  и  y' .

Если меняется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах α = 0, получаем
Эти формулы кратко называют формулами переноса .

Если начало координат остается прежним, а оси поворачиваются на угол α, то, полагая в формулах a  =  b  = 0, получим
Эти формулы называются формулами поворота .