Вход через социальные сети

Понятие дифференциального уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
3 / - piven 89 27.06.2017 at 03:29 by Таланов
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 26 289 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 1 840 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 299 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 431 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 429 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 759 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 3 424 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 689 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 660 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 4 819 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 815 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 377 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 379 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 692 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 960 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 221 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 929 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 541 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 575 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 406 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 197 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 653 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 4 865 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 4 371 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
3 / - piven 89 27.06.2017 at 03:29 by Таланов
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 26 289 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 1 840 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 299 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 431 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 429 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 759 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 3 424 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 689 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 660 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 4 819 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 815 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 377 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 379 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 692 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 960 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 221 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 929 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 541 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 575 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 406 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 197 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 653 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 4 865 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 4 371 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:25
adminus
0 up down

Понятие дифференциального уравнения


Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.5. Простейшие дифференциальные уравнения

3.5.1. Понятие дифференциального уравнения

Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать:
ma  = – kv .

Так как ускорение – первая производная скорости,

В это уравнение входит неизвестная величина v и ее производная по времени

Рисунок 3.5.1.1.

Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии, экономике и других дисциплинах. Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка . Решением этого уравнения является произвольная функция y  =  y  ( x ), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

Чтобы его решить, нужно представить производную как домножить обе части уравнения на dx и проинтегрировать обе части получившегося уравнения:

Как видно, это уравнение имеет бесконечное количество решений, отличающихся друг от друга на постоянную C . Выбрать конкретное решение уравнения можно, если знать начальные условия, например, точку, через которую проходит график функции y  =  y  ( x ). Так, если известно, что
y  ( x 0 ) =  y 0, то подставляя это значение в общее решение получаем  откуда и
Это решение можно записать в виде .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y  =  y  ( x C 1 C 2,…,  C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n .

Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона)
не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения путем придания определенного значения постоянным C i .

График 3.5.1.1.

Рисунок 3.5.1.2.
Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий. Для этого по осям абсцисс и ординат откладывают, соответственно, саму величину и ее производную. Фазовые траектории могут выглядеть самым причудливым образом даже для линейных дифференциальных уравнений; траектории для уравнения  показаны на графике.

Наряду с частными существуют особые решения , которые нельзя получить из общего решения никакой подстановкой постоянных. Так, общим решением уравнения будет семейство функций y  = cos ( x  +  C ). Кроме того, это уравнение имеет два особых решения y  = 1 и y  = –1, в чем можно убедиться подстановкой. Графики особых решений в каждой точке касаются проходящего через эту точку частного решения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок: так, второй закон Ньютона интегрируется только тогда, когда F является функцией только от одной из переменных t , x , Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы.

Во многих случаях приходится составлять дифференциальное уравнение, чтобы решить задачу. Рассмотрим несколько примеров.

  1. Рисунок 3.5.1.3. Реактивное движение. Ракета, начальная масса которой равна m 0, движется вдали от небесных тел за счет газовой струи, выбрасываемой в направлении, противоположном движению, со скоростью u относительно ракеты. Начальная скорость ракеты равна v 0. Необходимо получить зависимость скорости ракеты от ее массы.

    Запишем закон сохранения импульса. Пусть в некоторый момент времени t импульс ракеты равнялся mv . За бесконечно малый промежуток времени dt скорость ракеты увеличилась от v до v  +  dv , а масса уменьшилась от m до m  –  dm , и ракета увеличила свой импульс на выбросив назад dm топлива, импульс которого равен dm  ( v  –  u ) (здесь и далее уравнение записывается в проекции на ось движения, u  > 0). Получаем

    Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем Слагаемое dm  ·  dv бесконечно мало по сравнению с остальными слагаемыми, так как оно является произведением двух бесконечно малых величин; этим слагаемым можно пренебречь. Разделим обе части получившегося уравнения
    на dt :

    Это уравнение называется уравнением движения тела с переменной массой. Это дифференциальное уравнение.

  2. Истечение идеальной жидкости из сосуда.

    Рисунок 3.5.1.4.

    Пусть из сосуда с постоянной площадью поперечного сечения S через отверстие в дне площадью S 0 вытекает вода. Пренебрегая вязкостью, записать уравнение изменения уровня жидкости в сосуде h .

    Скорость v истечения жидкости из сосуда, уровень жидкости в котором равен h , равна
    (формула Торричелли). За бесконечно малый промежуток времени dt высота жидкости в сосуде уменьшается на dh . Этот же объем S   dh истекает через отверстие площадью S 0. Можно записать, что за время dt через отверстие протекает «столб» воды dx  =  v   dt . Таким образом (знак «минус» поставлен из-за того, что уровень воды в сосуде уменьшается). Таким образом,
    Это тоже дифференциальное уравнение.

Модель 3.16. Движение в воздушной среде.