Вход через социальные сети

Понятие дифференциального уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Cleocin | Buy Cheap Canada Online


Looking for a cleocin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 24.03.2017 at 04:27 by paleanglodvo
scientist Ambien | Mail Order Cheap


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 4 24.03.2017 at 02:10 by paleanglodvo
scientist Vasotec | Coumadin Purchase Buy Fedex


Looking for a vasotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 2 24.03.2017 at 01:26 by produtobutteryzt
scientist Coumadin | To Buy Online Spain


Looking for a coumadin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 3 23.03.2017 at 23:46 by paleanglodvo
scientist Isoptin | Purchase Medicine New Mexico


Looking for a isoptin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 0 23.03.2017 at 22:38 by groanstrawln
scientist Mircette | Is Buy Legit Online


Looking for a mircette? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 3 23.03.2017 at 22:37 by paleanglodvo
scientist Cytotec | Tablets To Buy


Looking for a cytotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 21 23.03.2017 at 17:21 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadacip | Buy Safely Online 8D76c


Looking for a tadacip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 7 23.03.2017 at 12:12 by paleanglodvo
scientist Eurax | Buy Dicyclomine


Looking for a eurax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 19 23.03.2017 at 11:56 by sprucewoodcheckmn
scientist Aldactone | Buy Federal Express


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 23.03.2017 at 11:55 by sprucewoodcheckmn
scientist Luvox | Buy Brand No Script


Looking for a luvox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 8 23.03.2017 at 11:13 by produtobutteryzt
scientist Topamax | Buy Real Online


Looking for a topamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 10 23.03.2017 at 08:28 by produtobutteryzt
scientist Doxycycline | Order Ove


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 6 23.03.2017 at 07:23 by paleanglodvo
scientist Zithromax | Buy Low Cost Pierre


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 13 23.03.2017 at 04:13 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Order Delaware


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 9 23.03.2017 at 02:22 by paleanglodvo
scientist Augmentin | Buy Online Purchase Aberdeenshire


Looking for a augmentin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 10 23.03.2017 at 01:50 by sprucewoodcheckmn
scientist Olanzapine | Buy Online Store Internet


Looking for a olanzapine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 18 23.03.2017 at 00:14 by groanstrawln
scientist Kamagra | Get-Soft Priority Mail Order


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 14 22.03.2017 at 23:21 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Where To Buy Suspe


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 25 22.03.2017 at 22:18 by produtobutteryzt
scientist Zyban | Low Cost Bupron


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 16 22.03.2017 at 17:48 by groanstrawln
scientist Diovan | Co No Script Requ


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 15 22.03.2017 at 16:38 by groanstrawln
scientist Cymbalta | Guidance Otc Cost Solostar


Looking for a cymbalta? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 19 22.03.2017 at 14:02 by produtobutteryzt
scientist Januvia | Buy And Pay


Looking for a januvia? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 17 22.03.2017 at 03:33 by produtobutteryzt
scientist Proscar | Price Of Hair Loss


Looking for a proscar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 23 21.03.2017 at 23:54 by paleanglodvo
scientist Toprol | Cheap Online


Looking for a toprol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 27 21.03.2017 at 23:38 by sprucewoodcheckmn
  • 161страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 105 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 139 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 1 906 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 222 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 607 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 569 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 726 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 376 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 561 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 385 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 753 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 791 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 708 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 611 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 873 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 734 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 131 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 785 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 2 988 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 7 962 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 837 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 118 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 524 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 133 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 439 27.09.2016 at 02:25 by zam2
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:25
adminus
0 up down

Понятие дифференциального уравнения


Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.5. Простейшие дифференциальные уравнения

3.5.1. Понятие дифференциального уравнения

Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать:
ma  = – kv .

Так как ускорение – первая производная скорости,

В это уравнение входит неизвестная величина v и ее производная по времени

Рисунок 3.5.1.1.

Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии, экономике и других дисциплинах. Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка . Решением этого уравнения является произвольная функция y  =  y  ( x ), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

Чтобы его решить, нужно представить производную как домножить обе части уравнения на dx и проинтегрировать обе части получившегося уравнения:

Как видно, это уравнение имеет бесконечное количество решений, отличающихся друг от друга на постоянную C . Выбрать конкретное решение уравнения можно, если знать начальные условия, например, точку, через которую проходит график функции y  =  y  ( x ). Так, если известно, что
y  ( x 0 ) =  y 0, то подставляя это значение в общее решение получаем  откуда и
Это решение можно записать в виде .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y  =  y  ( x C 1 C 2,…,  C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n .

Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона)
не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения путем придания определенного значения постоянным C i .

График 3.5.1.1.

Рисунок 3.5.1.2.
Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий. Для этого по осям абсцисс и ординат откладывают, соответственно, саму величину и ее производную. Фазовые траектории могут выглядеть самым причудливым образом даже для линейных дифференциальных уравнений; траектории для уравнения  показаны на графике.

Наряду с частными существуют особые решения , которые нельзя получить из общего решения никакой подстановкой постоянных. Так, общим решением уравнения будет семейство функций y  = cos ( x  +  C ). Кроме того, это уравнение имеет два особых решения y  = 1 и y  = –1, в чем можно убедиться подстановкой. Графики особых решений в каждой точке касаются проходящего через эту точку частного решения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок: так, второй закон Ньютона интегрируется только тогда, когда F является функцией только от одной из переменных t , x , Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы.

Во многих случаях приходится составлять дифференциальное уравнение, чтобы решить задачу. Рассмотрим несколько примеров.

  1. Рисунок 3.5.1.3. Реактивное движение. Ракета, начальная масса которой равна m 0, движется вдали от небесных тел за счет газовой струи, выбрасываемой в направлении, противоположном движению, со скоростью u относительно ракеты. Начальная скорость ракеты равна v 0. Необходимо получить зависимость скорости ракеты от ее массы.

    Запишем закон сохранения импульса. Пусть в некоторый момент времени t импульс ракеты равнялся mv . За бесконечно малый промежуток времени dt скорость ракеты увеличилась от v до v  +  dv , а масса уменьшилась от m до m  –  dm , и ракета увеличила свой импульс на выбросив назад dm топлива, импульс которого равен dm  ( v  –  u ) (здесь и далее уравнение записывается в проекции на ось движения, u  > 0). Получаем

    Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем Слагаемое dm  ·  dv бесконечно мало по сравнению с остальными слагаемыми, так как оно является произведением двух бесконечно малых величин; этим слагаемым можно пренебречь. Разделим обе части получившегося уравнения
    на dt :

    Это уравнение называется уравнением движения тела с переменной массой. Это дифференциальное уравнение.

  2. Истечение идеальной жидкости из сосуда.

    Рисунок 3.5.1.4.

    Пусть из сосуда с постоянной площадью поперечного сечения S через отверстие в дне площадью S 0 вытекает вода. Пренебрегая вязкостью, записать уравнение изменения уровня жидкости в сосуде h .

    Скорость v истечения жидкости из сосуда, уровень жидкости в котором равен h , равна
    (формула Торричелли). За бесконечно малый промежуток времени dt высота жидкости в сосуде уменьшается на dh . Этот же объем S   dh истекает через отверстие площадью S 0. Можно записать, что за время dt через отверстие протекает «столб» воды dx  =  v   dt . Таким образом (знак «минус» поставлен из-за того, что уровень воды в сосуде уменьшается). Таким образом,
    Это тоже дифференциальное уравнение.

Модель 3.16. Движение в воздушной среде.