Вход через социальные сети

Понятие дифференциального уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Zyban | No Prescription Overnight Shipping


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 3 21.01.2017 at 10:27 by enderpearlratioivc
scientist Kamagra | Buy In Vietnam


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 6 20.01.2017 at 06:42 by enderpearlratioivc
scientist Differin | Buy Online Europe


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 18 20.01.2017 at 02:08 by enderpearlratioivc
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 57 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
scientist Grifulvin | Buy V Online


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 20 18.01.2017 at 15:15 by enderpearlratioivc
scientist Lotrisone | Buy Generic Online


Looking for a lotrisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 18 18.01.2017 at 14:34 by enderpearlratioivc
scientist Desyrel | Order


Looking for a desyrel? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 21 18.01.2017 at 12:01 by enderpearlratioivc
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 29 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
scientist Celebrex | Buy From Canada


Looking for a celebrex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 32 17.01.2017 at 22:58 by enderpearlratioivc
scientist Lipitor | Low Cost Medicine Check


Looking for a lipitor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 19 17.01.2017 at 22:10 by enderpearlratioivc
scientist Sumycin | Order Interactions


Looking for a sumycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 22 17.01.2017 at 20:33 by enderpearlratioivc
scientist Citalopram | Buy In Uk


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 38 16.01.2017 at 21:46 by enderpearlratioivc
scientist Neurontin | Order Without A Script


Looking for a neurontin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 77 16.01.2017 at 16:31 by enderpearlratioivc
scientist Z Code System | Buy Sports Betting System

Let me ask you this Do you want to follow a winning sports betting system but don't have...

- enderpearlratioivc 23 16.01.2017 at 13:54 by enderpearlratioivc
scientist Cardizem | Amex Cod Accepted Spain


Looking for a cardizem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 149 16.01.2017 at 03:52 by enderpearlratioivc
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 269 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 245 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 270 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 223 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 360 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 363 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 427 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Тема форума Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 761 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Тема форума Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 670 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Тема форума Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 136 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 57 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 29 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 269 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 245 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 270 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 223 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 360 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 363 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 427 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 761 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 670 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 136 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 939 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 249 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 894 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 599 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 836 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 537 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 054 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 887 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 773 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 774 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 2 341 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 716 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 1 279 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:25
adminus
0 up down

Понятие дифференциального уравнения


Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.5. Простейшие дифференциальные уравнения

3.5.1. Понятие дифференциального уравнения

Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k . По второму закону Ньютона можно записать:
ma  = – kv .

Так как ускорение – первая производная скорости,

В это уравнение входит неизвестная величина v и ее производная по времени

Рисунок 3.5.1.1.

Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии, экономике и других дисциплинах. Уравнение вида
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка . Решением этого уравнения является произвольная функция y  =  y  ( x ), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

Чтобы его решить, нужно представить производную как домножить обе части уравнения на dx и проинтегрировать обе части получившегося уравнения:

Как видно, это уравнение имеет бесконечное количество решений, отличающихся друг от друга на постоянную C . Выбрать конкретное решение уравнения можно, если знать начальные условия, например, точку, через которую проходит график функции y  =  y  ( x ). Так, если известно, что
y  ( x 0 ) =  y 0, то подставляя это значение в общее решение получаем  откуда и
Это решение можно записать в виде .

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y  =  y  ( x C 1 C 2,…,  C n ), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C 1, C 2,…, C n .

Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона)
не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения путем придания определенного значения постоянным C i .

График 3.5.1.1.

Рисунок 3.5.1.2.
Для исследования решений дифференциального уравнения применяют метод фазовых траекторий. Для этого по осям абсцисс и ординат откладывают, соответственно, саму величину и ее производную. Фазовые траектории могут выглядеть самым причудливым образом даже для линейных дифференциальных уравнений; траектории для уравнения  показаны на графике.

Наряду с частными существуют особые решения , которые нельзя получить из общего решения никакой подстановкой постоянных. Так, общим решением уравнения будет семейство функций y  = cos ( x  +  C ). Кроме того, это уравнение имеет два особых решения y  = 1 и y  = –1, в чем можно убедиться подстановкой. Графики особых решений в каждой точке касаются проходящего через эту точку частного решения.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. К сожалению, класс таких уравнений крайне узок: так, второй закон Ньютона интегрируется только тогда, когда F является функцией только от одной из переменных t , x , Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко применяются приближенные и численные методы.

Во многих случаях приходится составлять дифференциальное уравнение, чтобы решить задачу. Рассмотрим несколько примеров.

  1. Рисунок 3.5.1.3. Реактивное движение. Ракета, начальная масса которой равна m 0, движется вдали от небесных тел за счет газовой струи, выбрасываемой в направлении, противоположном движению, со скоростью u относительно ракеты. Начальная скорость ракеты равна v 0. Необходимо получить зависимость скорости ракеты от ее массы.

    Запишем закон сохранения импульса. Пусть в некоторый момент времени t импульс ракеты равнялся mv . За бесконечно малый промежуток времени dt скорость ракеты увеличилась от v до v  +  dv , а масса уменьшилась от m до m  –  dm , и ракета увеличила свой импульс на выбросив назад dm топлива, импульс которого равен dm  ( v  –  u ) (здесь и далее уравнение записывается в проекции на ось движения, u  > 0). Получаем

    Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем Слагаемое dm  ·  dv бесконечно мало по сравнению с остальными слагаемыми, так как оно является произведением двух бесконечно малых величин; этим слагаемым можно пренебречь. Разделим обе части получившегося уравнения
    на dt :

    Это уравнение называется уравнением движения тела с переменной массой. Это дифференциальное уравнение.

  2. Истечение идеальной жидкости из сосуда.

    Рисунок 3.5.1.4.

    Пусть из сосуда с постоянной площадью поперечного сечения S через отверстие в дне площадью S 0 вытекает вода. Пренебрегая вязкостью, записать уравнение изменения уровня жидкости в сосуде h .

    Скорость v истечения жидкости из сосуда, уровень жидкости в котором равен h , равна
    (формула Торричелли). За бесконечно малый промежуток времени dt высота жидкости в сосуде уменьшается на dh . Этот же объем S   dh истекает через отверстие площадью S 0. Можно записать, что за время dt через отверстие протекает «столб» воды dx  =  v   dt . Таким образом (знак «минус» поставлен из-за того, что уровень воды в сосуде уменьшается). Таким образом,
    Это тоже дифференциальное уравнение.

Модель 3.16. Движение в воздушной среде.