Вход через социальные сети

Предел функции

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Ventolin | Buy Nebules 5Mg Online


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 25.04.2017 at 22:56 by groanstrawln
scientist Cipro | Buy Uk


Looking for a cipro? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 25.04.2017 at 19:56 by groanstrawln
scientist Diovan | Order Blood Pressure Medicine


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 25.04.2017 at 19:55 by paleanglodvo
scientist Nitrofurantoin | Buy 100Mg Online Uk


Looking for a nitrofurantoin? Not a problem!

Guaranteed...

- produtobutteryzt 1 25.04.2017 at 19:51 by produtobutteryzt
scientist Zanaflex | Purchase Online


Looking for a zanaflex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 1 25.04.2017 at 19:47 by sprucewoodcheckmn
scientist Clomipramine | Buy


Looking for a clomipramine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 25.04.2017 at 17:11 by paleanglodvo
scientist Buspar | Order Online


Looking for a buspar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 25.04.2017 at 13:15 by groanstrawln
scientist Celexa | Purchase


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 2 25.04.2017 at 13:14 by produtobutteryzt
scientist Abilify | Purchase Medication


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 2 25.04.2017 at 11:44 by sprucewoodcheckmn
scientist Abilify | Buy Online Uk


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 25.04.2017 at 10:15 by sprucewoodcheckmn
scientist Reminyl | Order Tablets


Looking for a reminyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 25.04.2017 at 09:10 by groanstrawln
scientist Cyklokapron | Buy Package


Looking for a cyklokapron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 2 25.04.2017 at 06:32 by produtobutteryzt
scientist Enalapril | Buy 10 Mg


Looking for a enalapril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 25.04.2017 at 04:51 by paleanglodvo
scientist Minocycline | Purchase Hydrochloride


Looking for a minocycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 2 25.04.2017 at 03:53 by sprucewoodcheckmn
scientist Ibuprofen | Buy 400 Mg


Looking for a ibuprofen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 25.04.2017 at 02:18 by produtobutteryzt
scientist Tamoxifen | Buy Cheap Uk


Looking for a tamoxifen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 4 24.04.2017 at 23:53 by paleanglodvo
scientist Lisinopril | Cheap Price


Looking for a lisinopril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 24.04.2017 at 22:36 by paleanglodvo
scientist Elimite | Buy Cream Online


Looking for a elimite? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 5 24.04.2017 at 22:19 by sprucewoodcheckmn
scientist Abilify | Buy Online Usa


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 6 24.04.2017 at 17:24 by groanstrawln
scientist Paroxetine | Purchase


Looking for a paroxetine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.04.2017 at 17:05 by sprucewoodcheckmn
scientist Flomax | Buy On-Line


Looking for a flomax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 8 24.04.2017 at 09:45 by produtobutteryzt
scientist Floxin | Buy Online


Looking for a floxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 7 24.04.2017 at 07:08 by sprucewoodcheckmn
scientist Lamictal | Purchase Online


Looking for a lamictal? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 11 24.04.2017 at 05:45 by sprucewoodcheckmn
scientist Trimox | Buy Online


Looking for a trimox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 9 24.04.2017 at 03:03 by paleanglodvo
scientist Decadron | Purchase Withdrawal Symptoms


Looking for a decadron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 14 24.04.2017 at 00:57 by groanstrawln
  • 168страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 91 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 102 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 230 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 1 885 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 330 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 302 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 2 991 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 442 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 869 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 867 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 074 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 582 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 785 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 576 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 017 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 051 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 959 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 824 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 127 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 3 511 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 607 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 6 001 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 707 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 9 159 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 2 260 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:22
adminus
0 up down

Предел функции


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.6. Предел функции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции   f  ( x ) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a , и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих условию | x  –  a | < δ, x  ≠  a , выполняется неравенство | f  ( x ) –  A | < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции   f  ( x ) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a , и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу  A .

График 1.3.6.1. График 1.3.6.2.

Если A – предел функции в точке a , то пишут, что

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

График 1.3.6.3.

Предел функции в точке a  = 0 равен 0: Предел функции в точке a  = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции в точке a  = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f  (0) = 1.

Если функция f  ( x ) имеет предел в точке a , то этот предел единственный.

Число A 1 называется пределом функции f  ( x ) слева в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство  

Число A 2 называется пределом функции f  ( x ) справа в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство  

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a . Их часто называют односторонними пределами . В обозначении односторонних пределов при x  → 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции  

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a , что для всех x , удовлетворяющих условию | x  –  a | < δ, x  ≠  a , выполняется неравенство | f  ( x )| > ε, то говорят, что функция f  ( x ) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x  = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x  > δ выполняется неравенство | f  ( x ) –  A | < ε, то говорят, что предел функции f  ( x ) при x , стремящемся к плюс бесконечности, равен A :

Аналогично формулируется определение предела при x , стремящемся к минус бесконечности: В качестве примера приведем функцию которая стремится на бесконечности к нулю:

Наконец, запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x  > δ выполняется неравенство f  ( x ) > ε. Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x  > δ выполняется неравенство f  ( x ) < –ε. Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенство f  ( x ) < –ε.

Если функция f  ( x ) имеет конечный предел в точке a , то существует окрестность точки a , в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A  ≠ 0, то найдется окрестность точки a , в которой (быть может, за исключением самой точки a ) значения функции f имеют тот же знак, что и число A .

Если существует такое δ > 0, что для всех x , принадлежащих δ-окрестности точки a , выполняются неравенства
g  ( x ) ≤  f  ( x ) ≤  h  ( x ), и если
, то существует

Если существует такое δ > 0, что для всех x , принадлежащих δ-окрестности точки a , справедливо неравенство
f  ( x ) <  g  ( x ), и если   то A  ≤  B .

Если функции f  ( x ) и g  ( x ) имеют конечные пределы в точке a , причем   то

  • ,
  • если B  ≠ 0 и если g  ( x ) ≠ 0 в δ-окрестности точки a .

Из существования пределов f  ( x ) в точке a и g  ( y ) в точке f  ( a ) следует существование предела сложной функции g  ( f  ( x )) в точке a .

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы :

Доказательство

Для доказательства первого предела используется неравенство
, верное для (неравенство sin  x  <  x следует из определения синуса при рассмотрении единичной окружности, а для доказательства неравенства x  < tg  x необходимо нарисовать ось тангенсов). Для доказательства второго предела используется монотонная и ограниченная последовательность

Другие важные пределы (при a  > 0, a  ≠ 1): следуют из замечательных пределов и свойства предела обратной функции.

Функция α ( x ) называется бесконечно малой при x  →  a (здесь a – конечное число или ∞), если Функция x  = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

  • Сумма конечного числа бесконечно малых при x  →  a функций есть бесконечно малая функция.
  • Произведение бесконечно малой при x  →  a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x  →  a функция.

Если в некоторой окрестности a определены функции f  ( x ),  g  ( x ), h  ( x ) такие, что f  ( x ) =  g  ( x h  ( x ), , то функции f  ( x ) и g  ( x ) называются эквивалентными при x  →  a :
f  ( x ) ~  g  ( x ).

Так, функции  и эквивалентны при x  → 0, так как а второй множитель стремится к 1 при x  → 0. Другие примеры эквивалентных функций при x  → 0:

sin  x  ~  x

tg  x  ~  x

arcsin  x  ~  x

arctg  x  ~  x

e x  – 1 ~  x

ln (1 +  x ) ~  x

(1 +  x ) α  – 1 ~ α  x .

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.