Вход через социальные сети

Предел функции

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Prinivil | Purchase Manufacturer


Looking for a prinivil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 25.03.2017 at 13:00 by produtobutteryzt
scientist Aldactone | Purchase Online Without Prescription


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 5 25.03.2017 at 00:17 by groanstrawln
scientist Accutane | Order Pharmacy


Looking for a accutane? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 6 24.03.2017 at 23:02 by groanstrawln
scientist Proventil | To Buy


Looking for a proventil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 9 24.03.2017 at 19:13 by produtobutteryzt
scientist Ditropan | Purchase


Looking for a ditropan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 5 24.03.2017 at 18:10 by produtobutteryzt
scientist Clonazepam | Purchase Online Seho1p


Looking for a clonazepam? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 7 24.03.2017 at 15:09 by paleanglodvo
scientist Lamisil | Purchase 250Mg Tablets


Looking for a lamisil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 9 24.03.2017 at 13:56 by produtobutteryzt
scientist Cyklokapron | Buy Price


Looking for a cyklokapron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 17 24.03.2017 at 13:55 by produtobutteryzt
scientist Effexor | Xr Canada Cheap


Looking for a effexor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 12 24.03.2017 at 11:21 by groanstrawln
scientist Bentyl | Best Price Pharmaceutical Visa


Looking for a bentyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 11 24.03.2017 at 11:20 by paleanglodvo
scientist Avapro | Low Cost Aprovel Visa


Looking for a avapro? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 10 24.03.2017 at 10:43 by paleanglodvo
scientist Cleocin | Buy Cheap Canada Online


Looking for a cleocin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 8 24.03.2017 at 04:27 by paleanglodvo
scientist Ambien | Mail Order Cheap


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 9 24.03.2017 at 02:10 by paleanglodvo
scientist Vasotec | Coumadin Purchase Buy Fedex


Looking for a vasotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 7 24.03.2017 at 01:26 by produtobutteryzt
scientist Coumadin | To Buy Online Spain


Looking for a coumadin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 19 23.03.2017 at 23:46 by paleanglodvo
scientist Isoptin | Purchase Medicine New Mexico


Looking for a isoptin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 0 23.03.2017 at 22:38 by groanstrawln
scientist Mircette | Is Buy Legit Online


Looking for a mircette? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 10 23.03.2017 at 22:37 by paleanglodvo
scientist Cytotec | Tablets To Buy


Looking for a cytotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 27 23.03.2017 at 17:21 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadacip | Buy Safely Online 8D76c


Looking for a tadacip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 21 23.03.2017 at 12:12 by paleanglodvo
scientist Eurax | Buy Dicyclomine


Looking for a eurax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 34 23.03.2017 at 11:56 by sprucewoodcheckmn
scientist Aldactone | Buy Federal Express


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 13 23.03.2017 at 11:55 by sprucewoodcheckmn
scientist Luvox | Buy Brand No Script


Looking for a luvox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 24 23.03.2017 at 11:13 by produtobutteryzt
scientist Topamax | Buy Real Online


Looking for a topamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 21 23.03.2017 at 08:28 by produtobutteryzt
scientist Doxycycline | Order Ove


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 17 23.03.2017 at 07:23 by paleanglodvo
scientist Zithromax | Buy Low Cost Pierre


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 21 23.03.2017 at 04:13 by paleanglodvo
  • 161страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 111 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 147 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 1 945 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 227 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 611 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 578 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 743 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 390 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 572 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 391 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 763 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 804 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 717 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 616 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 882 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 766 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 139 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 819 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 014 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 7 995 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 846 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 126 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 532 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 142 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 448 27.09.2016 at 02:25 by zam2
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:22
adminus
0 up down

Предел функции


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.6. Предел функции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции   f  ( x ) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a , и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих условию | x  –  a | < δ, x  ≠  a , выполняется неравенство | f  ( x ) –  A | < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции   f  ( x ) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a , и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу  A .

График 1.3.6.1. График 1.3.6.2.

Если A – предел функции в точке a , то пишут, что

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

График 1.3.6.3.

Предел функции в точке a  = 0 равен 0: Предел функции в точке a  = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции в точке a  = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f  (0) = 1.

Если функция f  ( x ) имеет предел в точке a , то этот предел единственный.

Число A 1 называется пределом функции f  ( x ) слева в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство  

Число A 2 называется пределом функции f  ( x ) справа в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство  

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a . Их часто называют односторонними пределами . В обозначении односторонних пределов при x  → 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции  

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a , что для всех x , удовлетворяющих условию | x  –  a | < δ, x  ≠  a , выполняется неравенство | f  ( x )| > ε, то говорят, что функция f  ( x ) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x  = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x  > δ выполняется неравенство | f  ( x ) –  A | < ε, то говорят, что предел функции f  ( x ) при x , стремящемся к плюс бесконечности, равен A :

Аналогично формулируется определение предела при x , стремящемся к минус бесконечности: В качестве примера приведем функцию которая стремится на бесконечности к нулю:

Наконец, запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x  > δ выполняется неравенство f  ( x ) > ε. Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x  > δ выполняется неравенство f  ( x ) < –ε. Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенство f  ( x ) < –ε.

Если функция f  ( x ) имеет конечный предел в точке a , то существует окрестность точки a , в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A  ≠ 0, то найдется окрестность точки a , в которой (быть может, за исключением самой точки a ) значения функции f имеют тот же знак, что и число A .

Если существует такое δ > 0, что для всех x , принадлежащих δ-окрестности точки a , выполняются неравенства
g  ( x ) ≤  f  ( x ) ≤  h  ( x ), и если
, то существует

Если существует такое δ > 0, что для всех x , принадлежащих δ-окрестности точки a , справедливо неравенство
f  ( x ) <  g  ( x ), и если   то A  ≤  B .

Если функции f  ( x ) и g  ( x ) имеют конечные пределы в точке a , причем   то

  • ,
  • если B  ≠ 0 и если g  ( x ) ≠ 0 в δ-окрестности точки a .

Из существования пределов f  ( x ) в точке a и g  ( y ) в точке f  ( a ) следует существование предела сложной функции g  ( f  ( x )) в точке a .

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы :

Доказательство

Для доказательства первого предела используется неравенство
, верное для (неравенство sin  x  <  x следует из определения синуса при рассмотрении единичной окружности, а для доказательства неравенства x  < tg  x необходимо нарисовать ось тангенсов). Для доказательства второго предела используется монотонная и ограниченная последовательность

Другие важные пределы (при a  > 0, a  ≠ 1): следуют из замечательных пределов и свойства предела обратной функции.

Функция α ( x ) называется бесконечно малой при x  →  a (здесь a – конечное число или ∞), если Функция x  = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

  • Сумма конечного числа бесконечно малых при x  →  a функций есть бесконечно малая функция.
  • Произведение бесконечно малой при x  →  a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x  →  a функция.

Если в некоторой окрестности a определены функции f  ( x ),  g  ( x ), h  ( x ) такие, что f  ( x ) =  g  ( x h  ( x ), , то функции f  ( x ) и g  ( x ) называются эквивалентными при x  →  a :
f  ( x ) ~  g  ( x ).

Так, функции  и эквивалентны при x  → 0, так как а второй множитель стремится к 1 при x  → 0. Другие примеры эквивалентных функций при x  → 0:

sin  x  ~  x

tg  x  ~  x

arcsin  x  ~  x

arctg  x  ~  x

e x  – 1 ~  x

ln (1 +  x ) ~  x

(1 +  x ) α  – 1 ~ α  x .

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.