Вход через социальные сети

Монотонность функций

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 135 27.03.2015 at 19:38 by stensen
Тема форума Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 72 26.03.2015 at 22:11 by Тракторида Сталин
Тема форума Логарифмическое неравенство

Скажите пожалуйста, как наиболее рационально решить такое неравенство? Крутить логарифмы, чтобы...

1 / - GrandCube 129 23.03.2015 at 23:02 by Ian
Тема форума Докажите, что дробь...

Докажите, что дробь...

1 / - Mathematika 148 20.03.2015 at 13:49 by zam2
Тема форума Дроби

Докажите, что если дробь...

3 / - Mathematika 320 19.03.2015 at 12:05 by Mathematika
Тема форума Сфера, касающаяся рёбер пирамиды

Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 2....

2 / - chajkaspb 416 05.03.2015 at 00:56 by chajkaspb
Тема форума Система с параметром

Помогите решить систему с параметром пожалуйста. Думал как квадратное относительно икса второе...

2 / - GrandCube 531 14.02.2015 at 20:20 by Shadows
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
2 / - a_gaini_r 656 09.02.2015 at 03:24 by nikifaldonus
Тема форума помогите решить

Точки K, L, M и N расположены соответственно...

5 / - dan.khv 829 09.02.2015 at 03:19 by nikifaldonus
Тема форума угол между векторами

здравствуйте! прогите, пожалуйтса, в решении заданий:

1 / - oksy1996 430 08.02.2015 at 21:10 by zam2
Тема форума задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

12 / - peter_PP 1 318 07.02.2015 at 05:31 by peter_PP
Тема форума Тригонометрическое уравнение

Подскажите пожалуйста, как такое решить:

...

5 / - GrandCube 1 027 07.02.2015 at 05:11 by peter_PP
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 352 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 336 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
Тема форума GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
41 / - Maximus_G 42 866 04.02.2015 at 15:47 by skaneby
Тема форума GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
21 / - Maximus_G 6 514 04.02.2015 at 15:44 by skaneby
Тема форума как решить?

На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причем AK=BC. Пусть P...

1 / - dan.khv 461 04.02.2015 at 15:01 by omega
Тема форума уравннияия с параметрами.

Всем доброго здравия!

Изучаю ур-ия с параметрами. Истомила меня тяжкая дума.

Вот...

2 / - stensen 676 29.01.2015 at 11:44 by Ian
Тема форума биссектрисы

Уважаемые,плз,наведите на мысль как доказать, что если в треугольнике один угол = ...

2 / - stensen 650 28.01.2015 at 05:42 by stensen
Тема форума Неравенство (циклическое или нет?)

Доказать, что для действительных чисел ...

8 / - DarkMel 1 228 24.01.2015 at 09:18 by DarkMel
Тема форума Отношение треугольников

Здравствуйте, подскажите где ошибаюсь -> Дан равносторонний треугольник АВС, в нем вписан...

5 / - peter_PP 1 014 22.01.2015 at 15:24 by peter_PP
Тема форума система неравенств

Уважаемые, подскажите, правильно ли я думаю?

...

6 / - stensen 1 448 08.01.2015 at 11:31 by venja
Тема форума Предельная геометрия

24 декабря 2014 года установлены основные положения "предельной (неевклидовой) геометрии" или...

3 / - Николай Ермак 908 02.01.2015 at 15:20 by 12d3
Тема форума Принцип инвариантности Ла Салля
Не понимаю суть...
16 / - spx-vnx 19 195 25.12.2014 at 11:56 by Ian
Тема форума Не могу решить задачу.

Друзья, помогите решить задачу.
Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму...

1 / - vovik3003 702 24.12.2014 at 22:51 by 12d3
  • 151страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 137страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 135 27.03.2015 at 19:38 by stensen
Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 72 26.03.2015 at 22:11 by Тракторида Сталин
Логарифмическое неравенство

Скажите пожалуйста, как наиболее рационально решить такое неравенство? Крутить логарифмы, чтобы...

1 / - GrandCube 129 23.03.2015 at 23:02 by Ian
Докажите, что дробь...

Докажите, что дробь...

1 / - Mathematika 148 20.03.2015 at 13:49 by zam2
Дроби

Докажите, что если дробь...

3 / - Mathematika 320 19.03.2015 at 12:05 by Mathematika
Сфера, касающаяся рёбер пирамиды

Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 2....

2 / - chajkaspb 416 05.03.2015 at 00:56 by chajkaspb
Система с параметром

Помогите решить систему с параметром пожалуйста. Думал как квадратное относительно икса второе...

2 / - GrandCube 531 14.02.2015 at 20:20 by Shadows
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
2 / - a_gaini_r 656 09.02.2015 at 03:24 by nikifaldonus
помогите решить

Точки K, L, M и N расположены соответственно...

5 / - dan.khv 829 09.02.2015 at 03:19 by nikifaldonus
угол между векторами

здравствуйте! прогите, пожалуйтса, в решении заданий:

1 / - oksy1996 430 08.02.2015 at 21:10 by zam2
задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

12 / - peter_PP 1 318 07.02.2015 at 05:31 by peter_PP
Тригонометрическое уравнение

Подскажите пожалуйста, как такое решить:

...

5 / - GrandCube 1 027 07.02.2015 at 05:11 by peter_PP
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 352 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 336 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
41 / - Maximus_G 42 866 04.02.2015 at 15:47 by skaneby
GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
21 / - Maximus_G 6 514 04.02.2015 at 15:44 by skaneby
как решить?

На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причем AK=BC. Пусть P...

1 / - dan.khv 461 04.02.2015 at 15:01 by omega
уравннияия с параметрами.

Всем доброго здравия!

Изучаю ур-ия с параметрами. Истомила меня тяжкая дума.

Вот...

2 / - stensen 676 29.01.2015 at 11:44 by Ian
биссектрисы

Уважаемые,плз,наведите на мысль как доказать, что если в треугольнике один угол = ...

2 / - stensen 650 28.01.2015 at 05:42 by stensen
Неравенство (циклическое или нет?)

Доказать, что для действительных чисел ...

8 / - DarkMel 1 228 24.01.2015 at 09:18 by DarkMel
Отношение треугольников

Здравствуйте, подскажите где ошибаюсь -> Дан равносторонний треугольник АВС, в нем вписан...

5 / - peter_PP 1 014 22.01.2015 at 15:24 by peter_PP
система неравенств

Уважаемые, подскажите, правильно ли я думаю?

...

6 / - stensen 1 448 08.01.2015 at 11:31 by venja
Предельная геометрия

24 декабря 2014 года установлены основные положения "предельной (неевклидовой) геометрии" или...

3 / - Николай Ермак 908 02.01.2015 at 15:20 by 12d3
Принцип инвариантности Ла Салля
Не понимаю суть...
16 / - spx-vnx 19 195 25.12.2014 at 11:56 by Ian
Не могу решить задачу.

Друзья, помогите решить задачу.
Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму...

1 / - vovik3003 702 24.12.2014 at 22:51 by 12d3
  • 137страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:22
adminus
0 up down

Монотонность функций


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.5. Монотонность функций

Функция f  ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1  <  x 2, выполняется неравенство f  ( x 1 ) <  f  ( x 2 ).

Функция f  ( x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1  <  x 2, выполняется неравенство f  ( x 1 ) >  f  ( x 2 ).

Рисунок 1.3.5.1. На показанном на рисунке графике функция y  =  f  ( x ), возрастает на каждом из промежутков [ a x 1 ) и ( x 2 b ] и убывает на промежутке ( x 1 x 2 ). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ a x 1 ) и ( x 2 b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D  ( f  ( x )), то уравнение f  ( x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 – корни этого уравнения на промежутке D  ( f ( x )), то f  ( x 1 ) =  f  ( x 2 ) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
  • Если функция f возрастает, то функции cf  ( c  > 0) и f  +  c также возрастают, а функция cf  ( c  < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то  где , также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f   n также возрастает.
  • Композиция g  ( f  ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Модель 1.9. Свойства функции.

Точка a называется точкой максимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≥  f  ( x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≤  f  ( x ).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого  ( x  ≠  a ) выполняется неравенство f  ( x ) ≤  f  ( a   то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :

Если для любого  ( x  ≠  b ) выполняется неравенство f  ( x ) >  f  ( b   то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D .

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

График 1.3.5.1. График 1.3.5.2. График 1.3.5.3.

Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f  ( x ) ≤  C , то функция f называется ограниченной сверху на множестве D .

Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f  ( x ) ≥  c , то функция f называется ограниченной снизу на множестве D .

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D . Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y  =  f  ( x ), лежит в полосе c  ≤  y  ≤  C .

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y  =  x 2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y  = 1/ x . Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y  = sin  x .