Вход через социальные сети

Монотонность функций

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Уравнение с параметром.

Здравствуйте. было уравнение с параметром. Авторское решение понятно. Я хочу привести свое....

23 / - tata00tata 532 20.05.2015 at 13:56 by 12d3
Тема форума Алгебра

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить (0,9996)^300

7 / - 597400 256 16.05.2015 at 21:16 by miflin
Тема форума Помогите пожалуйста решить, даже не знаю с чего начать.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OЕ=1,...

4 / - dan.khv 292 10.05.2015 at 14:27 by ARRY
Тема форума алгебра

Здравствуйте. Возник вопрос. Вот например  ...

2 / - tata00tata 225 06.05.2015 at 08:13 by ARRY
Тема форума Разложение функций в степенные ряды

Разложить функции по степеням (х-х0) и определить область сходимости полученных рядов:

...

4 / - karinochka1996love 294 28.04.2015 at 08:05 by Ian
Тема форума ряд Маклорена

помогите!

разложить функцию f(x)=cos^2x в ряд маклорена

2 / - karinochka1996love 218 27.04.2015 at 23:23 by karinochka1996love
Тема форума Ряд Тейлора

Разложить функцию f(x)=x^5-4x^4+5x+6 в ряд Тейлора по степеням (x+2)

1 / - karinochka1996love 173 27.04.2015 at 22:18 by zam2
Тема форума простая задача по геометрии

Здравствуйте.

abcd - равнобедренная трапеция, большее основание ad равно 10 см,...

5 / - tata00tata 415 23.04.2015 at 13:46 by tata00tata
Тема форума GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
22 / - Maximus_G 9 957 10.04.2015 at 15:15 by skaneby
Тема форума GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
42 / - Maximus_G 45 021 10.04.2015 at 15:06 by skaneby
Тема форума задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

13 / - peter_PP 2 764 06.04.2015 at 16:38 by Самоед
Тема форума признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 689 27.03.2015 at 19:38 by stensen
Тема форума Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 298 26.03.2015 at 22:11 by Тракторида Сталин
Тема форума Логарифмическое неравенство

Скажите пожалуйста, как наиболее рационально решить такое неравенство? Крутить логарифмы, чтобы...

1 / - GrandCube 424 23.03.2015 at 23:02 by Ian
Тема форума Докажите, что дробь...

Докажите, что дробь...

1 / - Mathematika 467 20.03.2015 at 13:49 by zam2
Тема форума Дроби

Докажите, что если дробь...

3 / - Mathematika 815 19.03.2015 at 12:05 by Mathematika
Тема форума Сфера, касающаяся рёбер пирамиды

Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 2....

2 / - chajkaspb 925 05.03.2015 at 00:56 by chajkaspb
Тема форума Система с параметром

Помогите решить систему с параметром пожалуйста. Думал как квадратное относительно икса второе...

2 / - GrandCube 1 021 14.02.2015 at 20:20 by Shadows
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
2 / - a_gaini_r 1 138 09.02.2015 at 03:24 by nikifaldonus
Тема форума помогите решить

Точки K, L, M и N расположены соответственно...

5 / - dan.khv 1 515 09.02.2015 at 03:19 by nikifaldonus
Тема форума угол между векторами

здравствуйте! прогите, пожалуйтса, в решении заданий:

1 / - oksy1996 779 08.02.2015 at 21:10 by zam2
Тема форума Тригонометрическое уравнение

Подскажите пожалуйста, как такое решить:

...

5 / - GrandCube 1 803 07.02.2015 at 05:11 by peter_PP
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 596 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 545 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
Тема форума как решить?

На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причем AK=BC. Пусть P...

1 / - dan.khv 790 04.02.2015 at 15:01 by omega
  • 151страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 137страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Уравнение с параметром.

Здравствуйте. было уравнение с параметром. Авторское решение понятно. Я хочу привести свое....

23 / - tata00tata 532 20.05.2015 at 13:56 by 12d3
Алгебра

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить (0,9996)^300

7 / - 597400 256 16.05.2015 at 21:16 by miflin
Помогите пожалуйста решить, даже не знаю с чего начать.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OЕ=1,...

4 / - dan.khv 292 10.05.2015 at 14:27 by ARRY
алгебра

Здравствуйте. Возник вопрос. Вот например  ...

2 / - tata00tata 225 06.05.2015 at 08:13 by ARRY
Разложение функций в степенные ряды

Разложить функции по степеням (х-х0) и определить область сходимости полученных рядов:

...

4 / - karinochka1996love 294 28.04.2015 at 08:05 by Ian
ряд Маклорена

помогите!

разложить функцию f(x)=cos^2x в ряд маклорена

2 / - karinochka1996love 218 27.04.2015 at 23:23 by karinochka1996love
Ряд Тейлора

Разложить функцию f(x)=x^5-4x^4+5x+6 в ряд Тейлора по степеням (x+2)

1 / - karinochka1996love 173 27.04.2015 at 22:18 by zam2
простая задача по геометрии

Здравствуйте.

abcd - равнобедренная трапеция, большее основание ad равно 10 см,...

5 / - tata00tata 415 23.04.2015 at 13:46 by tata00tata
GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
22 / - Maximus_G 9 957 10.04.2015 at 15:15 by skaneby
GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
42 / - Maximus_G 45 021 10.04.2015 at 15:06 by skaneby
задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

13 / - peter_PP 2 764 06.04.2015 at 16:38 by Самоед
признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 689 27.03.2015 at 19:38 by stensen
Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 298 26.03.2015 at 22:11 by Тракторида Сталин
Логарифмическое неравенство

Скажите пожалуйста, как наиболее рационально решить такое неравенство? Крутить логарифмы, чтобы...

1 / - GrandCube 424 23.03.2015 at 23:02 by Ian
Докажите, что дробь...

Докажите, что дробь...

1 / - Mathematika 467 20.03.2015 at 13:49 by zam2
Дроби

Докажите, что если дробь...

3 / - Mathematika 815 19.03.2015 at 12:05 by Mathematika
Сфера, касающаяся рёбер пирамиды

Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 2....

2 / - chajkaspb 925 05.03.2015 at 00:56 by chajkaspb
Система с параметром

Помогите решить систему с параметром пожалуйста. Думал как квадратное относительно икса второе...

2 / - GrandCube 1 021 14.02.2015 at 20:20 by Shadows
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
2 / - a_gaini_r 1 138 09.02.2015 at 03:24 by nikifaldonus
помогите решить

Точки K, L, M и N расположены соответственно...

5 / - dan.khv 1 515 09.02.2015 at 03:19 by nikifaldonus
угол между векторами

здравствуйте! прогите, пожалуйтса, в решении заданий:

1 / - oksy1996 779 08.02.2015 at 21:10 by zam2
Тригонометрическое уравнение

Подскажите пожалуйста, как такое решить:

...

5 / - GrandCube 1 803 07.02.2015 at 05:11 by peter_PP
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 596 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 545 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
как решить?

На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причем AK=BC. Пусть P...

1 / - dan.khv 790 04.02.2015 at 15:01 by omega
  • 137страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:22
adminus
0 up down

Монотонность функций


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.5. Монотонность функций

Функция f  ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1  <  x 2, выполняется неравенство f  ( x 1 ) <  f  ( x 2 ).

Функция f  ( x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1  <  x 2, выполняется неравенство f  ( x 1 ) >  f  ( x 2 ).

Рисунок 1.3.5.1. На показанном на рисунке графике функция y  =  f  ( x ), возрастает на каждом из промежутков [ a x 1 ) и ( x 2 b ] и убывает на промежутке ( x 1 x 2 ). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ a x 1 ) и ( x 2 b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D  ( f  ( x )), то уравнение f  ( x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 – корни этого уравнения на промежутке D  ( f ( x )), то f  ( x 1 ) =  f  ( x 2 ) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
  • Если функция f возрастает, то функции cf  ( c  > 0) и f  +  c также возрастают, а функция cf  ( c  < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то  где , также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f   n также возрастает.
  • Композиция g  ( f  ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Модель 1.9. Свойства функции.

Точка a называется точкой максимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≥  f  ( x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≤  f  ( x ).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого  ( x  ≠  a ) выполняется неравенство f  ( x ) ≤  f  ( a   то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :

Если для любого  ( x  ≠  b ) выполняется неравенство f  ( x ) >  f  ( b   то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D .

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

График 1.3.5.1. График 1.3.5.2. График 1.3.5.3.

Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f  ( x ) ≤  C , то функция f называется ограниченной сверху на множестве D .

Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f  ( x ) ≥  c , то функция f называется ограниченной снизу на множестве D .

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D . Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y  =  f  ( x ), лежит в полосе c  ≤  y  ≤  C .

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y  =  x 2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y  = 1/ x . Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y  = sin  x .