Вход через социальные сети

Монотонность функций

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума помогите решить задачу

По кругу размещено n шариков, занумерованных в произвольном порядке, n≥3. Они обходятся по...

1 / - kemolife 173 24.09.2014 at 00:05 by Soul
Тема форума !!!

Вынеси множитель из-под знака корня, зная, что переменные принимают неотрицательные значения....

2 / - vadim.ilin.97 125 23.09.2014 at 23:05 by folk
Тема форума Вопрос

Доброго времени суток. Попалась задачка по векторам. Найти такие m и n, при которых векторы...

1 / - GrandCube 88 20.09.2014 at 19:53 by GrandCube
Тема форума Неравенство

3 / - boroda33 153 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Тема форума Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 1 330 13.09.2014 at 13:22 by folk
Тема форума неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24<=0

Найти все значения...

1 / - tata00tata 148 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- adminus 6 584 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Теория множеств

Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел...

- adminus 1 482 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Системы уравнений и неравенств

Система уравнений

...
- adminus 1 230 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Решение неравенств

Методы решения неравенств

В этом разделе на примере...

- adminus 1 168 18.08.2014 at 04:34 by adminus
  • 373страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
помогите решить задачу

По кругу размещено n шариков, занумерованных в произвольном порядке, n≥3. Они обходятся по...

1 / - kemolife 173 24.09.2014 at 00:05 by Soul
!!!

Вынеси множитель из-под знака корня, зная, что переменные принимают неотрицательные значения....

2 / - vadim.ilin.97 125 23.09.2014 at 23:05 by folk
Вопрос

Доброго времени суток. Попалась задачка по векторам. Найти такие m и n, при которых векторы...

1 / - GrandCube 88 20.09.2014 at 19:53 by GrandCube
Неравенство

3 / - boroda33 153 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 1 330 13.09.2014 at 13:22 by folk
неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24<=0

Найти все значения...

1 / - tata00tata 148 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Учебные материалы для освежения памяти
Здравствуйте, форумчане-математики.

Посоветуйте литературу для изучения математики по...
3 / - b10s 766 14.08.2014 at 00:09 by ARRY
Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
35 / - Александр Амелькин 1 343 13.08.2014 at 15:26 by bot
решения
Помогите решит уравнение спасибо!

779,72[(T/10)0.58-(T/9)0.58=88....
13 / - Медя 665 08.08.2014 at 17:17 by balans
дифференциал
доброго времени суток) помогите пожалуйста разобраться в понятии дифференциала, т.е. для чего он...
1 / - vicky 252 04.08.2014 at 06:42 by ARRY
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9

Монотонность функций


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.5. Монотонность функций

Функция f  ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1  <  x 2, выполняется неравенство f  ( x 1 ) <  f  ( x 2 ).

Функция f  ( x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1  <  x 2, выполняется неравенство f  ( x 1 ) >  f  ( x 2 ).

Рисунок 1.3.5.1. На показанном на рисунке графике функция y  =  f  ( x ), возрастает на каждом из промежутков [ a x 1 ) и ( x 2 b ] и убывает на промежутке ( x 1 x 2 ). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ a x 1 ) и ( x 2 b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D  ( f  ( x )), то уравнение f  ( x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 – корни этого уравнения на промежутке D  ( f ( x )), то f  ( x 1 ) =  f  ( x 2 ) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
  • Если функция f возрастает, то функции cf  ( c  > 0) и f  +  c также возрастают, а функция cf  ( c  < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то  где , также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f   n также возрастает.
  • Композиция g  ( f  ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Модель 1.9. Свойства функции.

Точка a называется точкой максимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≥  f  ( x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≤  f  ( x ).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого  ( x  ≠  a ) выполняется неравенство f  ( x ) ≤  f  ( a   то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :

Если для любого  ( x  ≠  b ) выполняется неравенство f  ( x ) >  f  ( b   то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D .

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

График 1.3.5.1. График 1.3.5.2. График 1.3.5.3.

Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f  ( x ) ≤  C , то функция f называется ограниченной сверху на множестве D .

Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f  ( x ) ≥  c , то функция f называется ограниченной снизу на множестве D .

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D . Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y  =  f  ( x ), лежит в полосе c  ≤  y  ≤  C .

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y  =  x 2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y  = 1/ x . Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y  = sin  x .

0 up down