Вход через социальные сети

Погрешность измерения величин

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 1 449 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
Тема форума Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

3 / - zav197816 509 31.05.2016 at 11:44 by ARRY
Тема форума Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

1 / - hvosevrstislav 447 11.05.2016 at 14:04 by ARRY
Тема форума Вектора. Проекция.

Добрый день. Нужно мне найти проекцию вектора ...

2 / - Aramint 543 22.04.2016 at 16:37 by Aramint
Тема форума Предел. Деление на ноль.

Добрый день. Школа для меня была уже очень давно. Вспоминаю всё заочно и вопросы задавать некому...

5 / - Aramint 790 22.04.2016 at 14:41 by grigoriy
Тема форума Задача.

...

1 / - fedotenko.anya 489 21.04.2016 at 19:42 by GEPIDIUM
Тема форума тригонометрическое уравнение

Здравствуйте. Встретился пример. Привела решение.

...

6 / - tata00tata 1 197 19.04.2016 at 00:14 by tata00tata
Тема форума Производная

Вопрос может показаться немножко странным, но эта проблема не дает мне покоя.
Производная...

1 / - dzhavidamirov 589 16.04.2016 at 23:03 by grigoriy
Тема форума задача по теориии вероятности

Здравствуйте. В теории вероятности тоже периодически возникают вопросы, как и в теме параметры....

5 / - tata00tata 1 104 06.04.2016 at 00:20 by tata00tata
Тема форума Очень интересная задача о Пирамиде, вписанной и описанной сферах.

Пожалуйста, помогите, подтолкните, укажите, что является искомым расстоянием, какой отрезок?...

2 / - Antje 771 20.03.2016 at 15:05 by folk
Тема форума В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна основанию CD.

Не получилось решить эту задачу:

В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна...

3 / - codevias 954 18.03.2016 at 00:00 by codevias
Тема форума гипотеза Лежандра

Предлагаю попробовать доказать гипотезу Лежандра. Сложность доказательства соответствует данному...

29 / - losev.cergej 2 366 15.03.2016 at 06:17 by losev.cergej
Тема форума Площадь плоского многоугольника в трёхмерной системе координат
Здравствуйте.

Уверен, что это задача стандартная, но не могу никак найти на неё ответ....
12 / - E3605 5 419 14.03.2016 at 14:42 by dima.Dmitri.vasilev
Тема форума параметры

Здравствуйте. Пока тяжело идет тема параметры, возникает много вопросов. Помогите, пожалуйста...

23 / - tata00tata 3 488 07.03.2016 at 12:18 by Albe
Тема форума Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

1 / - vladr 852 05.03.2016 at 15:22 by tata00tata
Тема форума Площадь параллелограмма
Дан паралЛелограмМ ABCD. AB=2, BC=3, диАгОналь AC перпендикулярна к BE, точка E делит сторону AD...
3 / - VzrivPaket 3 858 04.03.2016 at 09:16 by stomatgav
Тема форума Изучаем основные математические операции через игру

Изучать математические операции детям может быть очень трудно и, кажется, скучно. Надо каким-то...

- petrovicmilena.... 693 01.03.2016 at 11:22 by petrovicmilena....
Тема форума Латинские квадраты
2) Реально ли вообще эту задачу без...
50 / - omega 10 524 15.02.2016 at 13:33 by omega
Тема форума Показательно-степенное уравнение

Помогите, пожалуйста, решить такое уравнение:

...

- kohek 702 15.02.2016 at 00:41 by kohek
Тема форума Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

- vladr 0 14.02.2016 at 15:25 by vladr
Тема форума Не сложно для Вас...

Учился давно и плохо.

У кого есть время и желание, помогите (Vб * Kб + Vм * Kм) ÷ (Vб +...

4 / - servdnn 1 339 01.02.2016 at 01:47 by Albe
Тема форума Вот такое вот уравнение,надо его решить

(1+(0.0589)/x)^x=1.065 

я логарифмирую:

xln((1+(0.0589)/x)=ln1.065  

а...

2 / - ferid.amirli97 1 035 27.01.2016 at 20:37 by Andrew58
Тема форума Объёмы многогранников

Объем - это положительная величина, определенная для каждого из многогранников, числовое...

- marinkakolyada 795 27.01.2016 at 16:27 by marinkakolyada
Тема форума Помогите найти сайт онлайн решений

Помогите найти сайт,где онлайн вычисляется значение углов в градусах, например синуса,косинуса,...

2 / - miss.christina13 1 127 24.01.2016 at 22:20 by grigoriy
Тема форума ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ НОМЕР 4 И 5 - dima.sagaria 835 20.01.2016 at 20:26 by dima.sagaria
  • 153страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 139страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 1 449 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

3 / - zav197816 509 31.05.2016 at 11:44 by ARRY
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

1 / - hvosevrstislav 447 11.05.2016 at 14:04 by ARRY
Вектора. Проекция.

Добрый день. Нужно мне найти проекцию вектора ...

2 / - Aramint 543 22.04.2016 at 16:37 by Aramint
Предел. Деление на ноль.

Добрый день. Школа для меня была уже очень давно. Вспоминаю всё заочно и вопросы задавать некому...

5 / - Aramint 790 22.04.2016 at 14:41 by grigoriy
Задача.

...

1 / - fedotenko.anya 489 21.04.2016 at 19:42 by GEPIDIUM
тригонометрическое уравнение

Здравствуйте. Встретился пример. Привела решение.

...

6 / - tata00tata 1 197 19.04.2016 at 00:14 by tata00tata
Производная

Вопрос может показаться немножко странным, но эта проблема не дает мне покоя.
Производная...

1 / - dzhavidamirov 589 16.04.2016 at 23:03 by grigoriy
задача по теориии вероятности

Здравствуйте. В теории вероятности тоже периодически возникают вопросы, как и в теме параметры....

5 / - tata00tata 1 104 06.04.2016 at 00:20 by tata00tata
Очень интересная задача о Пирамиде, вписанной и описанной сферах.

Пожалуйста, помогите, подтолкните, укажите, что является искомым расстоянием, какой отрезок?...

2 / - Antje 771 20.03.2016 at 15:05 by folk
В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна основанию CD.

Не получилось решить эту задачу:

В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна...

3 / - codevias 954 18.03.2016 at 00:00 by codevias
гипотеза Лежандра

Предлагаю попробовать доказать гипотезу Лежандра. Сложность доказательства соответствует данному...

29 / - losev.cergej 2 366 15.03.2016 at 06:17 by losev.cergej
Площадь плоского многоугольника в трёхмерной системе координат
Здравствуйте.

Уверен, что это задача стандартная, но не могу никак найти на неё ответ....
12 / - E3605 5 419 14.03.2016 at 14:42 by dima.Dmitri.vasilev
параметры

Здравствуйте. Пока тяжело идет тема параметры, возникает много вопросов. Помогите, пожалуйста...

23 / - tata00tata 3 488 07.03.2016 at 12:18 by Albe
Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

1 / - vladr 852 05.03.2016 at 15:22 by tata00tata
Площадь параллелограмма
Дан паралЛелограмМ ABCD. AB=2, BC=3, диАгОналь AC перпендикулярна к BE, точка E делит сторону AD...
3 / - VzrivPaket 3 858 04.03.2016 at 09:16 by stomatgav
Изучаем основные математические операции через игру

Изучать математические операции детям может быть очень трудно и, кажется, скучно. Надо каким-то...

- petrovicmilena.... 693 01.03.2016 at 11:22 by petrovicmilena....
Латинские квадраты
2) Реально ли вообще эту задачу без...
50 / - omega 10 524 15.02.2016 at 13:33 by omega
Показательно-степенное уравнение

Помогите, пожалуйста, решить такое уравнение:

...

- kohek 702 15.02.2016 at 00:41 by kohek
Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

- vladr 0 14.02.2016 at 15:25 by vladr
Не сложно для Вас...

Учился давно и плохо.

У кого есть время и желание, помогите (Vб * Kб + Vм * Kм) ÷ (Vб +...

4 / - servdnn 1 339 01.02.2016 at 01:47 by Albe
Вот такое вот уравнение,надо его решить

(1+(0.0589)/x)^x=1.065 

я логарифмирую:

xln((1+(0.0589)/x)=ln1.065  

а...

2 / - ferid.amirli97 1 035 27.01.2016 at 20:37 by Andrew58
Объёмы многогранников

Объем - это положительная величина, определенная для каждого из многогранников, числовое...

- marinkakolyada 795 27.01.2016 at 16:27 by marinkakolyada
Помогите найти сайт онлайн решений

Помогите найти сайт,где онлайн вычисляется значение углов в градусах, например синуса,косинуса,...

2 / - miss.christina13 1 127 24.01.2016 at 22:20 by grigoriy
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ НОМЕР 4 И 5 - dima.sagaria 835 20.01.2016 at 20:26 by dima.sagaria
  • 139страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:21
adminus
0 up down

Погрешность измерения величин

Погрешность измерения величин

Пусть x – приближённое значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), а x 0 – её точное значение.

 

Абсолютной погрешностью величины называется разность
Δ x  = | x  –  x 0 |.

Пример 1

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, а при округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4.

Пример 2

Определите абсолютную погрешность измерения длины точной миллиметровой линейкой.

Показать решение

Вообще, если систематические ошибки, возникающие при измерении каким-либо прибором, значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления.

 

Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу:

Пример 3

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность или 0,3 %.

В научных экспериментах многие величины определяются не непосредственно, а косвенным путём – измерением значений других величин. Так, чтобы найти плотность тела, ученые измеряют его массу, взвешивая на весах, после чего определяют объём тела, погружая его в жидкость. Плотность выражается через массу и объём тела. Масса и объём, входящие в эту формулу, измеряются с некоторой погрешностью; это означает, что и плотность будет вычислена по формуле с некоторой погрешностью.

Выведем несколько правил, позволяющих рассчитывать погрешности величин.

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых:
Δ( x  +  y ) = Δ x  + Δ y .

Доказательство
 

Пусть x  =  x 0 ± Δ x y  =  y 0 ± Δ y .

Тогда x  +  y  =  y 0  +  x 0 ± Δ x  ± Δ y  = ( y 0  +  x 0 ) ± (Δ x  + Δ y ).

( x  +  y ) – ( x 0  +  y 0 ) = ±(Δ x  + Δ y ), откуда

Δ( x  +  y ) = Δ x  + Δ y .

Отметим, что в отдельных измерениях может случиться, что ошибки в измерении величин x  и  y скомпенсируют друг друга, и величина x  +  y будет измерена точно. Однако в других случаях эти ошибки усилят друг друга; при оценке же погрешностей измерения нужно рассматривать самый худший из вариантов.

Аналогично можно показать, что то же самое верно для разности двух погрешностей.

Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
Δ( x  –  y ) = Δ x  + Δ y .

Пример 4

Вычислите сумму и разность приближённых чисел 0,123 и 0,526.

Показать решение

Сложение даёт 0,649. Абсолютная погрешность каждого слагаемого равна 0,0005, значит, абсолютная погрешность суммы 2 ∙ 0,0005 = 0,001. Следовательно, в найденной сумме возможна ошибка на 1 единицу в третьем знаке после запятой. Вычитание данных чисел даёт: 0,123 – 0,526 = –0,403. Абсолютная погрешность разности также равна 0,001.


Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя. Рассмотрим поучительный пример.

Пример 5

Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 95 см. Чему равна толщина стенок трубы?

2
Решение

Если R 1  = 100 см,  R 2  = 98 см, то  h  = 2 см. Абсолютные погрешности при определении радиусов одинаковы и равны Δ ( R 1 ) = Δ ( R 2 ) = 0,5 см (если в условии задачи не уточнено, то абсолютная погрешность измерения принимается равной половине последнего знака величины). Абсолютная погрешность расчёта толщины стенки определяется формулой Δ ( h ) = Δ ( R 1 ) + Δ ( R 2 ) = 1 см.

Рассчитаем теперь относительные погрешности всех трёх величин: Если оба радиуса были измерены с погрешностью порядка 0,5 %, то погрешность при вычислении их разности – толщины стенок трубы – возросла в 100 раз и составила 50 %!


Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей:

Доказательство
 

Пусть x  =  x 0 ± Δ x y  =  y 0 ± Δ y . Тогда x  ·  y  = ( x 0 ± Δ x )( y 0 ± Δ y ) =  y 0 ·  x 0 ±  y 0 Δ x  ±  x 0 Δ y  ± Δ x Δ y .

Последним членом можно пренебречь, так как и Тогда

x  ·  y  =  y 0 ·  x 0 ±  y 0 Δ x  ± x 0 Δ y ,

x  ·  y  –  y 0 ·  x 0  = ± y 0 Δ x  ±  x 0 Δ y ,

Δ( x  ·  y ) =  y 0 Δ x  +  x 0 Δ y .

Можно расширить это правило, расписав его для произведения n сомножителей.

Относительная погрешность n -й степени приближённого числа примерно в | n | раз больше относительной погрешности исходного числа:

Расчёты показывают, что это соотношение верно не только для натуральных, но и для любых вещественных степеней n .

В частности,

Пример 6

Вычислите относительную погрешность произведения 0,123 и 0,526, если относительные погрешности этих чисел соответственно равны 2 % и 4 %.

Показать решение

Относительная погрешность произведения 0,123 ∙ 0,526 = 0,064698 приближённо равна 4 % + 2 % = 6 %.