Вход через социальные сети

Погрешность измерения величин

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Уравнение с параметром.

Здравствуйте. было уравнение с параметром. Авторское решение понятно. Я хочу привести свое....

23 / - tata00tata 429 20.05.2015 at 13:56 by 12d3
Тема форума Алгебра

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить (0,9996)^300

7 / - 597400 235 16.05.2015 at 21:16 by miflin
Тема форума Помогите пожалуйста решить, даже не знаю с чего начать.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OЕ=1,...

4 / - dan.khv 255 10.05.2015 at 14:27 by ARRY
Тема форума алгебра

Здравствуйте. Возник вопрос. Вот например  ...

2 / - tata00tata 207 06.05.2015 at 08:13 by ARRY
Тема форума Разложение функций в степенные ряды

Разложить функции по степеням (х-х0) и определить область сходимости полученных рядов:

...

4 / - karinochka1996love 274 28.04.2015 at 08:05 by Ian
Тема форума ряд Маклорена

помогите!

разложить функцию f(x)=cos^2x в ряд маклорена

2 / - karinochka1996love 196 27.04.2015 at 23:23 by karinochka1996love
Тема форума Ряд Тейлора

Разложить функцию f(x)=x^5-4x^4+5x+6 в ряд Тейлора по степеням (x+2)

1 / - karinochka1996love 152 27.04.2015 at 22:18 by zam2
Тема форума простая задача по геометрии

Здравствуйте.

abcd - равнобедренная трапеция, большее основание ad равно 10 см,...

5 / - tata00tata 379 23.04.2015 at 13:46 by tata00tata
Тема форума GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
22 / - Maximus_G 9 640 10.04.2015 at 15:15 by skaneby
Тема форума GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
42 / - Maximus_G 44 957 10.04.2015 at 15:06 by skaneby
Тема форума задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

13 / - peter_PP 2 668 06.04.2015 at 16:38 by Самоед
Тема форума признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 670 27.03.2015 at 19:38 by stensen
Тема форума Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 283 26.03.2015 at 22:11 by Тракторида Сталин
Тема форума Логарифмическое неравенство

Скажите пожалуйста, как наиболее рационально решить такое неравенство? Крутить логарифмы, чтобы...

1 / - GrandCube 407 23.03.2015 at 23:02 by Ian
Тема форума Докажите, что дробь...

Докажите, что дробь...

1 / - Mathematika 450 20.03.2015 at 13:49 by zam2
Тема форума Дроби

Докажите, что если дробь...

3 / - Mathematika 782 19.03.2015 at 12:05 by Mathematika
Тема форума Сфера, касающаяся рёбер пирамиды

Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 2....

2 / - chajkaspb 904 05.03.2015 at 00:56 by chajkaspb
Тема форума Система с параметром

Помогите решить систему с параметром пожалуйста. Думал как квадратное относительно икса второе...

2 / - GrandCube 1 008 14.02.2015 at 20:20 by Shadows
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
2 / - a_gaini_r 1 124 09.02.2015 at 03:24 by nikifaldonus
Тема форума помогите решить

Точки K, L, M и N расположены соответственно...

5 / - dan.khv 1 482 09.02.2015 at 03:19 by nikifaldonus
Тема форума угол между векторами

здравствуйте! прогите, пожалуйтса, в решении заданий:

1 / - oksy1996 761 08.02.2015 at 21:10 by zam2
Тема форума Тригонометрическое уравнение

Подскажите пожалуйста, как такое решить:

...

5 / - GrandCube 1 779 07.02.2015 at 05:11 by peter_PP
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 586 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
Тема форума разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 538 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
Тема форума как решить?

На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причем AK=BC. Пусть P...

1 / - dan.khv 781 04.02.2015 at 15:01 by omega
  • 151страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 137страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Уравнение с параметром.

Здравствуйте. было уравнение с параметром. Авторское решение понятно. Я хочу привести свое....

23 / - tata00tata 429 20.05.2015 at 13:56 by 12d3
Алгебра

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить (0,9996)^300

7 / - 597400 235 16.05.2015 at 21:16 by miflin
Помогите пожалуйста решить, даже не знаю с чего начать.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OЕ=1,...

4 / - dan.khv 255 10.05.2015 at 14:27 by ARRY
алгебра

Здравствуйте. Возник вопрос. Вот например  ...

2 / - tata00tata 207 06.05.2015 at 08:13 by ARRY
Разложение функций в степенные ряды

Разложить функции по степеням (х-х0) и определить область сходимости полученных рядов:

...

4 / - karinochka1996love 274 28.04.2015 at 08:05 by Ian
ряд Маклорена

помогите!

разложить функцию f(x)=cos^2x в ряд маклорена

2 / - karinochka1996love 196 27.04.2015 at 23:23 by karinochka1996love
Ряд Тейлора

Разложить функцию f(x)=x^5-4x^4+5x+6 в ряд Тейлора по степеням (x+2)

1 / - karinochka1996love 152 27.04.2015 at 22:18 by zam2
простая задача по геометрии

Здравствуйте.

abcd - равнобедренная трапеция, большее основание ad равно 10 см,...

5 / - tata00tata 379 23.04.2015 at 13:46 by tata00tata
GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
22 / - Maximus_G 9 640 10.04.2015 at 15:15 by skaneby
GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
42 / - Maximus_G 44 957 10.04.2015 at 15:06 by skaneby
задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

13 / - peter_PP 2 668 06.04.2015 at 16:38 by Самоед
признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 670 27.03.2015 at 19:38 by stensen
Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 283 26.03.2015 at 22:11 by Тракторида Сталин
Логарифмическое неравенство

Скажите пожалуйста, как наиболее рационально решить такое неравенство? Крутить логарифмы, чтобы...

1 / - GrandCube 407 23.03.2015 at 23:02 by Ian
Докажите, что дробь...

Докажите, что дробь...

1 / - Mathematika 450 20.03.2015 at 13:49 by zam2
Дроби

Докажите, что если дробь...

3 / - Mathematika 782 19.03.2015 at 12:05 by Mathematika
Сфера, касающаяся рёбер пирамиды

Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания равной 2....

2 / - chajkaspb 904 05.03.2015 at 00:56 by chajkaspb
Система с параметром

Помогите решить систему с параметром пожалуйста. Думал как квадратное относительно икса второе...

2 / - GrandCube 1 008 14.02.2015 at 20:20 by Shadows
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
2 / - a_gaini_r 1 124 09.02.2015 at 03:24 by nikifaldonus
помогите решить

Точки K, L, M и N расположены соответственно...

5 / - dan.khv 1 482 09.02.2015 at 03:19 by nikifaldonus
угол между векторами

здравствуйте! прогите, пожалуйтса, в решении заданий:

1 / - oksy1996 761 08.02.2015 at 21:10 by zam2
Тригонометрическое уравнение

Подскажите пожалуйста, как такое решить:

...

5 / - GrandCube 1 779 07.02.2015 at 05:11 by peter_PP
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 586 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
разложить на множитель
Помогите я правильно решила или нет
- a_gaini_r 538 05.02.2015 at 10:24 by a_gaini_r
как решить?

На стороне AB треугольника ABC с углом ABC, равным α, расположена точка K, причем AK=BC. Пусть P...

1 / - dan.khv 781 04.02.2015 at 15:01 by omega
  • 137страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:21
adminus
0 up down

Погрешность измерения величин

Погрешность измерения величин

Пусть x – приближённое значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), а x 0 – её точное значение.

 

Абсолютной погрешностью величины называется разность
Δ x  = | x  –  x 0 |.

Пример 1

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, а при округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4.

Пример 2

Определите абсолютную погрешность измерения длины точной миллиметровой линейкой.

Показать решение

Вообще, если систематические ошибки, возникающие при измерении каким-либо прибором, значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления.

 

Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу:

Пример 3

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность или 0,3 %.

В научных экспериментах многие величины определяются не непосредственно, а косвенным путём – измерением значений других величин. Так, чтобы найти плотность тела, ученые измеряют его массу, взвешивая на весах, после чего определяют объём тела, погружая его в жидкость. Плотность выражается через массу и объём тела. Масса и объём, входящие в эту формулу, измеряются с некоторой погрешностью; это означает, что и плотность будет вычислена по формуле с некоторой погрешностью.

Выведем несколько правил, позволяющих рассчитывать погрешности величин.

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых:
Δ( x  +  y ) = Δ x  + Δ y .

Доказательство
 

Пусть x  =  x 0 ± Δ x y  =  y 0 ± Δ y .

Тогда x  +  y  =  y 0  +  x 0 ± Δ x  ± Δ y  = ( y 0  +  x 0 ) ± (Δ x  + Δ y ).

( x  +  y ) – ( x 0  +  y 0 ) = ±(Δ x  + Δ y ), откуда

Δ( x  +  y ) = Δ x  + Δ y .

Отметим, что в отдельных измерениях может случиться, что ошибки в измерении величин x  и  y скомпенсируют друг друга, и величина x  +  y будет измерена точно. Однако в других случаях эти ошибки усилят друг друга; при оценке же погрешностей измерения нужно рассматривать самый худший из вариантов.

Аналогично можно показать, что то же самое верно для разности двух погрешностей.

Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
Δ( x  –  y ) = Δ x  + Δ y .

Пример 4

Вычислите сумму и разность приближённых чисел 0,123 и 0,526.

Показать решение

Сложение даёт 0,649. Абсолютная погрешность каждого слагаемого равна 0,0005, значит, абсолютная погрешность суммы 2 ∙ 0,0005 = 0,001. Следовательно, в найденной сумме возможна ошибка на 1 единицу в третьем знаке после запятой. Вычитание данных чисел даёт: 0,123 – 0,526 = –0,403. Абсолютная погрешность разности также равна 0,001.


Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя. Рассмотрим поучительный пример.

Пример 5

Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 95 см. Чему равна толщина стенок трубы?

2
Решение

Если R 1  = 100 см,  R 2  = 98 см, то  h  = 2 см. Абсолютные погрешности при определении радиусов одинаковы и равны Δ ( R 1 ) = Δ ( R 2 ) = 0,5 см (если в условии задачи не уточнено, то абсолютная погрешность измерения принимается равной половине последнего знака величины). Абсолютная погрешность расчёта толщины стенки определяется формулой Δ ( h ) = Δ ( R 1 ) + Δ ( R 2 ) = 1 см.

Рассчитаем теперь относительные погрешности всех трёх величин: Если оба радиуса были измерены с погрешностью порядка 0,5 %, то погрешность при вычислении их разности – толщины стенок трубы – возросла в 100 раз и составила 50 %!


Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей:

Доказательство
 

Пусть x  =  x 0 ± Δ x y  =  y 0 ± Δ y . Тогда x  ·  y  = ( x 0 ± Δ x )( y 0 ± Δ y ) =  y 0 ·  x 0 ±  y 0 Δ x  ±  x 0 Δ y  ± Δ x Δ y .

Последним членом можно пренебречь, так как и Тогда

x  ·  y  =  y 0 ·  x 0 ±  y 0 Δ x  ± x 0 Δ y ,

x  ·  y  –  y 0 ·  x 0  = ± y 0 Δ x  ±  x 0 Δ y ,

Δ( x  ·  y ) =  y 0 Δ x  +  x 0 Δ y .

Можно расширить это правило, расписав его для произведения n сомножителей.

Относительная погрешность n -й степени приближённого числа примерно в | n | раз больше относительной погрешности исходного числа:

Расчёты показывают, что это соотношение верно не только для натуральных, но и для любых вещественных степеней n .

В частности,

Пример 6

Вычислите относительную погрешность произведения 0,123 и 0,526, если относительные погрешности этих чисел соответственно равны 2 % и 4 %.

Показать решение

Относительная погрешность произведения 0,123 ∙ 0,526 = 0,064698 приближённо равна 4 % + 2 % = 6 %.