Вход через социальные сети

Математическое ожидание и дисперсия

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума окружность и паралеллограм

Доброго всем времени суток. Помогите с задчей плз.

Окружность, построенная на стороне AD...

- stensen 12 18.12.2014 at 20:57 by stensen
Тема форума неравенство с параметрами

всем математикам доброго времени суток! помогите плз разобраться. Дано нер-во (3,а) из...

3 / - stensen 80 18.12.2014 at 15:01 by 12d3
Тема форума Задача, алгебра 9 класс

Вниз по течению реки последовательно расположены пристани А, В, С. Расстояние между А и В равно...

8 / - Ольга007 278 11.12.2014 at 23:31 by Ольга007
Тема форума система неравенств

Уважаемые, подскажите, правильно ли я думаю?

...

5 / - stensen 174 11.12.2014 at 19:58 by stensen
Тема форума Очень большое число
Герцогиня Ксю утверждает, что она придумала такое натуральное число, что для любых натуральных...
22 / - Xenia1996 3 134 11.12.2014 at 14:04 by zam2
Тема форума Решение неравенства 6 / - Erjg_5_78 327 05.12.2014 at 09:16 by Erjg_5_78
Тема форума Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
60 / - Александр Амелькин 6 443 01.12.2014 at 19:38 by Viktor230
Тема форума Функция и неравенство

Пусть...

4 / - primarhus 340 24.11.2014 at 16:07 by Soul
Тема форума Траектория движения точки

Здравствуйте,

Дайте, пожалуйста, формулу для решения для следующего задания:

...

1 / - blanka.kato 153 21.11.2014 at 17:00 by zam2
Тема форума Найти значение произведения. (нужна помощь)

(1-1/4)*(1-1/9)*(1- 1/16)*... *(1-1/100)

Помогите с решением. Спасибо.

2 / - ogn_expo 241 19.11.2014 at 00:01 by Soul
Тема форума Неопределенный интеграл

Вот есть такой интеграл ...

2 / - GrandCube 254 15.11.2014 at 23:35 by GrandCube
Тема форума Нужна книжка по математике
Есть такая книга Математика, (для подготовительных отделений ВУЗов) авт. Метельский.
Кто ee...
5 / - Xilaim 16 204 13.11.2014 at 16:05 by vivo
Тема форума уравнение с параметром

Здравствуйте! Найти при каких значениях a  МЗФ  содержит отрезок [2;3]. Вообще не представляю,...

3 / - tata00tata 293 12.11.2014 at 20:16 by Ian
Тема форума Помогите кто-нибудь, пожалуйста

Постройте окружности с центрами в трех данных точках, попарно касающиеся друг друга внешним...

1 / - dan.khv 277 06.11.2014 at 11:32 by 12d3
Тема форума помогите пжл. очень срочно

Даны окружность, ее центр и две точки A и B,...

1 / - dan.khv 261 06.11.2014 at 11:17 by 12d3
Тема форума Можно как-нибудь решить, не используя угол поворота?

Проведите к данной окружности касательную, от которой данная прямая отсекала бы данный отрезок,...

3 / - dan.khv 375 06.11.2014 at 10:36 by Ian
Тема форума Выразить показатель степени

Здравствуйте! Товарищи подскажите пожалуйста, можно ли из этого выражения
...

2 / - niceandquickly 309 03.11.2014 at 00:19 by niceandquickly
Тема форума Полиномиальный алгоритм

Класс NP-полных задач NPC (NP-complet) /Класс NP/Класс P  образуют:

1....
1 / - 510272080 288 30.10.2014 at 16:13 by ARRY
Тема форума разложение многочленов на множители методом группировки

Уважаемые,плз. подскажите. Есть ли какой-нибудь алгоритм или рекомендации, помогающие ...

1 / - stensen 337 30.10.2014 at 12:24 by ARRY
Тема форума Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение?

Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение, зная лишь вероятности тех...

4 / - seen 802 17.10.2014 at 17:16 by Ian
Тема форума Помогите плиз решить неравенство!

неравенство: x*log _x+3 (7-2x)>=0. Во первых, находим одз. получаем два промежутка -3...

- r.babicheva 297 09.10.2014 at 11:21 by r.babicheva
Тема форума помогите решить задачу

По кругу размещено n шариков, занумерованных в произвольном порядке, n≥3. Они обходятся по...

1 / - kemolife 564 24.09.2014 at 00:05 by Soul
Тема форума Вынести множитель из-под знака корня

Вынеси множитель из-под знака корня, зная, что переменные принимают неотрицательные значения....

2 / - vadim.ilin.97 644 23.09.2014 at 23:05 by folk
Тема форума Вопрос

Доброго времени суток. Попалась задачка по векторам. Найти такие m и n, при которых векторы...

1 / - GrandCube 391 20.09.2014 at 19:53 by GrandCube
Тема форума Неравенство

3 / - boroda33 594 14.09.2014 at 11:22 by Ian
  • 150страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 136страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
окружность и паралеллограм

Доброго всем времени суток. Помогите с задчей плз.

Окружность, построенная на стороне AD...

- stensen 12 18.12.2014 at 20:57 by stensen
неравенство с параметрами

всем математикам доброго времени суток! помогите плз разобраться. Дано нер-во (3,а) из...

3 / - stensen 80 18.12.2014 at 15:01 by 12d3
Задача, алгебра 9 класс

Вниз по течению реки последовательно расположены пристани А, В, С. Расстояние между А и В равно...

8 / - Ольга007 278 11.12.2014 at 23:31 by Ольга007
система неравенств

Уважаемые, подскажите, правильно ли я думаю?

...

5 / - stensen 174 11.12.2014 at 19:58 by stensen
Очень большое число
Герцогиня Ксю утверждает, что она придумала такое натуральное число, что для любых натуральных...
22 / - Xenia1996 3 134 11.12.2014 at 14:04 by zam2
Решение неравенства 6 / - Erjg_5_78 327 05.12.2014 at 09:16 by Erjg_5_78
Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
60 / - Александр Амелькин 6 443 01.12.2014 at 19:38 by Viktor230
Функция и неравенство

Пусть...

4 / - primarhus 340 24.11.2014 at 16:07 by Soul
Траектория движения точки

Здравствуйте,

Дайте, пожалуйста, формулу для решения для следующего задания:

...

1 / - blanka.kato 153 21.11.2014 at 17:00 by zam2
Найти значение произведения. (нужна помощь)

(1-1/4)*(1-1/9)*(1- 1/16)*... *(1-1/100)

Помогите с решением. Спасибо.

2 / - ogn_expo 241 19.11.2014 at 00:01 by Soul
Неопределенный интеграл

Вот есть такой интеграл ...

2 / - GrandCube 254 15.11.2014 at 23:35 by GrandCube
Нужна книжка по математике
Есть такая книга Математика, (для подготовительных отделений ВУЗов) авт. Метельский.
Кто ee...
5 / - Xilaim 16 204 13.11.2014 at 16:05 by vivo
уравнение с параметром

Здравствуйте! Найти при каких значениях a  МЗФ  содержит отрезок [2;3]. Вообще не представляю,...

3 / - tata00tata 293 12.11.2014 at 20:16 by Ian
Помогите кто-нибудь, пожалуйста

Постройте окружности с центрами в трех данных точках, попарно касающиеся друг друга внешним...

1 / - dan.khv 277 06.11.2014 at 11:32 by 12d3
помогите пжл. очень срочно

Даны окружность, ее центр и две точки A и B,...

1 / - dan.khv 261 06.11.2014 at 11:17 by 12d3
Можно как-нибудь решить, не используя угол поворота?

Проведите к данной окружности касательную, от которой данная прямая отсекала бы данный отрезок,...

3 / - dan.khv 375 06.11.2014 at 10:36 by Ian
Выразить показатель степени

Здравствуйте! Товарищи подскажите пожалуйста, можно ли из этого выражения
...

2 / - niceandquickly 309 03.11.2014 at 00:19 by niceandquickly
Полиномиальный алгоритм

Класс NP-полных задач NPC (NP-complet) /Класс NP/Класс P  образуют:

1....
1 / - 510272080 288 30.10.2014 at 16:13 by ARRY
разложение многочленов на множители методом группировки

Уважаемые,плз. подскажите. Есть ли какой-нибудь алгоритм или рекомендации, помогающие ...

1 / - stensen 337 30.10.2014 at 12:24 by ARRY
Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение?

Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение, зная лишь вероятности тех...

4 / - seen 802 17.10.2014 at 17:16 by Ian
Помогите плиз решить неравенство!

неравенство: x*log _x+3 (7-2x)>=0. Во первых, находим одз. получаем два промежутка -3...

- r.babicheva 297 09.10.2014 at 11:21 by r.babicheva
помогите решить задачу

По кругу размещено n шариков, занумерованных в произвольном порядке, n≥3. Они обходятся по...

1 / - kemolife 564 24.09.2014 at 00:05 by Soul
Вынести множитель из-под знака корня

Вынеси множитель из-под знака корня, зная, что переменные принимают неотрицательные значения....

2 / - vadim.ilin.97 644 23.09.2014 at 23:05 by folk
Вопрос

Доброго времени суток. Попалась задачка по векторам. Найти такие m и n, при которых векторы...

1 / - GrandCube 391 20.09.2014 at 19:53 by GrandCube
Неравенство

3 / - boroda33 594 14.09.2014 at 11:22 by Ian
  • 136страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:21
adminus
0 up down

Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M x . В данном случае M x  = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда При N  → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Аналогично, Отсюда

Модель 4.5. Игральные кости
 

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x , то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x 1 x 2, ...,  x k с вероятностями p 1 p 2, ...,  p k .

Математическое ожидание   M x случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как < x >. Записи < x > и M x эквивалентны.

Пример 1

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Показать решение

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей:

1 2 3 0 0,2 0,8

Значит,

Ответ. 2,8.


Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

 

Медианой случайной величины называют число x 1/2 такое, что p  ( x  <  x 1/2 ) = 1/2.

Другими словами, вероятность p 1 того, что случайная величина x окажется меньшей x 1/2, и вероятность p 2 того, что случайная величина x окажется большей x 1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x , которая может принимать значения x 1 x 2, ...,  x k с вероятностями p 1 p 2, ...,  p k .

 

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Используя вероятности p i того, что величина x принимает значения x i , эту формулу можно переписать следующим образом:


 

Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:

Пример 2

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x .

Показать решение

Имеем: D x  = 0 · (1 – 2,8) 2  + 0,2 · (2 – 2,8) 2  + 0,8 · (3 – 2,8) 2  = 0,16.

Ответ. 0,16, 0,4.


Модель 4.6. Стрельба в мишень
Пример 3

Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Показать решение

Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:

1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Математическое ожидание M x  = 3,5 (см. пример в начале параграфа).

С вероятностью 1/2 случайная величина x  ≤ 3. С такой же вероятностью x  ≥ 4. Таким образом, медианой случайной величины является любое число из интервала (3; 4). Обычно в качестве медианы указывают среднее значение из этого интервала: x 1/2  = 3,5. В нашем случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других распределениях это не так.

Дисперсия:

Среднеквадратичное отклонение Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.


Свойства математического ожидания
  • Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
    M x  +  y  =  M x  +  M y .
  • Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
    M x  ·  y  =  M x  ·  M y .

 

Пример 4

Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.

Показать решение

В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M  ( x ) = 3,5. Значит, для двух кубиков
M x  +  y  =  M x  +  M y  = 7,
M xy  =  M x  ·  M y  = 3,5 2  = 12,25.


Свойства дисперсии
  • Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий:
    D x  +  y  =  D x  +  D y .

 

Пример 5

Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика N раз.

Показать решение

Случайный процесс можно представить как сумму единичных бросков. Для единичного броска
M x  = 3,5, D x  = 2,9,

Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Тогда
M y  = 3,5  N

Если z – среднее количество очков, выпавших на кубике за N бросков: то:

Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально


 

Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением:

Доказательство
 

Действительно,

Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению, Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно