Вход через социальные сети

Рациональные неравенства

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Ventolin | Buy Nebules 5Mg Online


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 25.04.2017 at 22:56 by groanstrawln
scientist Cipro | Buy Uk


Looking for a cipro? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 25.04.2017 at 19:56 by groanstrawln
scientist Diovan | Order Blood Pressure Medicine


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 25.04.2017 at 19:55 by paleanglodvo
scientist Nitrofurantoin | Buy 100Mg Online Uk


Looking for a nitrofurantoin? Not a problem!

Guaranteed...

- produtobutteryzt 1 25.04.2017 at 19:51 by produtobutteryzt
scientist Zanaflex | Purchase Online


Looking for a zanaflex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 1 25.04.2017 at 19:47 by sprucewoodcheckmn
scientist Clomipramine | Buy


Looking for a clomipramine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 25.04.2017 at 17:11 by paleanglodvo
scientist Buspar | Order Online


Looking for a buspar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 25.04.2017 at 13:15 by groanstrawln
scientist Celexa | Purchase


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 2 25.04.2017 at 13:14 by produtobutteryzt
scientist Abilify | Purchase Medication


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 2 25.04.2017 at 11:44 by sprucewoodcheckmn
scientist Abilify | Buy Online Uk


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 25.04.2017 at 10:15 by sprucewoodcheckmn
scientist Reminyl | Order Tablets


Looking for a reminyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 25.04.2017 at 09:10 by groanstrawln
scientist Cyklokapron | Buy Package


Looking for a cyklokapron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 2 25.04.2017 at 06:32 by produtobutteryzt
scientist Enalapril | Buy 10 Mg


Looking for a enalapril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 25.04.2017 at 04:51 by paleanglodvo
scientist Minocycline | Purchase Hydrochloride


Looking for a minocycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 2 25.04.2017 at 03:53 by sprucewoodcheckmn
scientist Ibuprofen | Buy 400 Mg


Looking for a ibuprofen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 25.04.2017 at 02:18 by produtobutteryzt
scientist Tamoxifen | Buy Cheap Uk


Looking for a tamoxifen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 4 24.04.2017 at 23:53 by paleanglodvo
scientist Lisinopril | Cheap Price


Looking for a lisinopril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 24.04.2017 at 22:36 by paleanglodvo
scientist Elimite | Buy Cream Online


Looking for a elimite? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 5 24.04.2017 at 22:19 by sprucewoodcheckmn
scientist Abilify | Buy Online Usa


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 6 24.04.2017 at 17:24 by groanstrawln
scientist Paroxetine | Purchase


Looking for a paroxetine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.04.2017 at 17:05 by sprucewoodcheckmn
scientist Flomax | Buy On-Line


Looking for a flomax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 8 24.04.2017 at 09:45 by produtobutteryzt
scientist Floxin | Buy Online


Looking for a floxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 7 24.04.2017 at 07:08 by sprucewoodcheckmn
scientist Lamictal | Purchase Online


Looking for a lamictal? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 11 24.04.2017 at 05:45 by sprucewoodcheckmn
scientist Trimox | Buy Online


Looking for a trimox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 9 24.04.2017 at 03:03 by paleanglodvo
scientist Decadron | Purchase Withdrawal Symptoms


Looking for a decadron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 14 24.04.2017 at 00:57 by groanstrawln
  • 168страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 91 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 102 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 230 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 1 885 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 330 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 302 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 2 991 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 442 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 869 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 867 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 074 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 582 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 785 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 576 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 017 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 051 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 959 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 824 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 127 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 3 511 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 607 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 6 001 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 707 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 9 159 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 2 260 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:19
adminus
0 up down

Рациональные неравенства

Рациональные неравенства

Рассмотрим выражение вида:
(1) (Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов . Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен ( x  –  a ) положителен при x  >  a и отрицателен при x  <  a , то есть при переходе через точку x  =  a этот двучлен меняет знак.

Отсюда следуют полезные замечания.

  • Многочлен то есть двучлен в нечётной степени, положителен и отрицателен на тех же интервалах, что и ( x  –  a ).

  • Многочлен то есть двучлен в чётной степени, не меняет знак при переходе через точку x  =  a , а в самой точке обращается в нуль.

    Вывод. Многочлены вида при решении строгих неравенств («<» или «>») можно опустить, так как они не влияют на знак неравенства. При этом из решения нужно исключить точки, в которых многочлен равен нулю:

  • Многочлен всегда положителен и потому при решении любого неравенства может быть опущен.

  • При переходе через точку x  =  a может изменить знак только двучлен ( x  –  a ), остальные двучлены не меняют знака.

Модель 3.7. Метод интервалов
Пример 1

Решите неравенство

Показать решение

Отметим на числовой оси нули многочлена, стоящего в левой части неравенства. При x  > 4 все множители положительны. При переходе через точку x  = 4 многочлен не меняет знак, так как двучлен ( x  – 4) входит в чётной степени. При переходе через точку x  = 1 знак многочлена изменится, так как ( x  – 1) входит в нечётной степени. На промежутке (–5; –3) многочлен отрицателен, так как при переходе через точку x  = –3 он не изменит знак (множитель ( x  + 3) в чётной степени). При переходе через точку x  = –5 знак опять меняется, так как ( x  + 5) входит в первой степени.

1

Чередование знаков отразим на рисунке с помощью так называемой кривой знаков. Наиболее быстро это можно сделать следующим образом. Выясним, какой знак имеет многочлен на самом правом промежутке, для этого нужно лишь понять, какие знаки будут иметь все сомножители, если в этот многочлен подставить достаточно большое число (большее самого большого корня многочлена). После этого определяем знак всего многочлена на этом промежутке и начинаем рисовать кривую знаков справа налево, переходя через точки (меняя знак) или «отражаясь» от числовой оси (если степень двучлена, соответствующего данной точке, чётна). Теперь, двигаясь в обратном направлении, с рисунка считываем:

Ответ.  


 

Если правая и левая части данного неравенства являются дробно-рациональными функциями, то это неравенство называется рациональным .

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство


f  ( x ) >  g  ( x ),

где f  ( x ) и g  ( x ) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов: (Такой вид неравенства называется стандартным .) Заметим, что:

  • то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.

  • то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.

Итак,

Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x  =  a в зависимости от того, входит в него двучлен ( x  –  a ) в чётной или нечётной степени.

Если же двучлен ( x  –  a ) входит в многочлен P  ( x ) в степени k , а в многочлен Q  ( x ) − в степени l , то в многочлен P  ( x ) ·  Q  ( x ) этот двучлен войдёт в степени k  +  l , а в дробь − в степени k  –  l . Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k  +  l и k  –  l одинакова. Следовательно, вывод о поведении дроби при переходе через точку x  =  a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P  ( x ) ·  Q  ( x ).

Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.

  1. Привести неравенство к стандартному виду

  2. Разложить на множители многочлены P  ( x ) и Q  ( x ) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P  ( x ) = 0 и Q  ( x ) = 0).

  3. Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).

  4. Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.

  5. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».

Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению
           

Заметим, что на двучлен ( x  – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x  ≠ 2, так как при x  = 2 не определён знаменатель данной дроби.