Вход через социальные сети

Показательные и логарифмические уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Disulfiram | Cheap Paypal Phoenix


Looking for a disulfiram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 13 18.02.2017 at 13:30 by whiteboxweaselkcy
scientist Citalopram | Order Cod Saturday


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 14 18.02.2017 at 05:47 by whiteboxweaselkcy
scientist Bonus Bagging | System Review

Dear Friend!

STOP!

...
- whiteboxweaselkcy 18 17.02.2017 at 22:15 by whiteboxweaselkcy
scientist Zithromax | Mail Order Medication


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 19 17.02.2017 at 16:33 by whiteboxweaselkcy
scientist Doxycycline | Without Prescription Ramysis


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 22 16.02.2017 at 12:07 by whiteboxweaselkcy
scientist Diamox | Buy In Bangkok


Looking for a diamox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 39 14.02.2017 at 20:29 by sprucewoodcheckmn
scientist Glucophage | Purchase 500


Looking for a glucophage? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 112 14.02.2017 at 08:52 by sprucewoodcheckmn
scientist Ambien | Buy Stendra


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 63 12.02.2017 at 22:40 by whiteboxweaselkcy
scientist Seroflo | Online Price Order


Looking for a seroflo? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 37 12.02.2017 at 18:14 by whiteboxweaselkcy
scientist Motrin | Purchase Medication


Looking for a motrin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 45 12.02.2017 at 05:34 by whiteboxweaselkcy
scientist Triamterene | Without Prescription Generic Discounts


Looking for a triamterene? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 51 12.02.2017 at 05:09 by sprucewoodcheckmn
scientist Deltasone | Buy Sterapred


Looking for a deltasone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 55 11.02.2017 at 22:26 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadacip | Order Otc Tablet York


Looking for a tadacip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 58 11.02.2017 at 08:24 by whiteboxweaselkcy
scientist Biaxin | Fedex Without Prescription


Looking for a biaxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 66 10.02.2017 at 21:34 by sprucewoodcheckmn
scientist Coreg | Purchase Dilatrend Tablets Overnight


Looking for a coreg? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 94 10.02.2017 at 00:50 by sprucewoodcheckmn
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 268 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
scientist Prednisone | Buy Online For Humans


Looking for a prednisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 111 08.02.2017 at 01:26 by whiteboxweaselkcy
scientist Seroflo | 500Mcg Buy Seretide Johor


Looking for a seroflo? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 83 07.02.2017 at 20:12 by sprucewoodcheckmn
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 230 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
scientist Maxalt | Can Online Pharmacy Buy


Looking for a maxalt? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 101 07.02.2017 at 14:43 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadalis | #


Looking for a tadalis? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 93 07.02.2017 at 12:17 by whiteboxweaselkcy
scientist Silagra | #


Looking for a silagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 105 07.02.2017 at 10:15 by whiteboxweaselkcy
scientist Strattera | Purchase Discount No Prescription


Looking for a strattera? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 89 07.02.2017 at 06:38 by sprucewoodcheckmn
scientist Levlen | Amitriptyline Buy Online Canada


Looking for a levlen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 102 07.02.2017 at 00:39 by whiteboxweaselkcy
scientist Anafranil | Cheap Internet Minnesota


Looking for a anafranil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 129 05.02.2017 at 17:19 by sprucewoodcheckmn
  • 158страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 268 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 230 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 387 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 169 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 313 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 194 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 478 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 469 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 455 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 388 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 579 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 013 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 746 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 3 682 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 2 238 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 967 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 370 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 681 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 200 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 827 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 114 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 847 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 408 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 1 154 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 2 126 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:19
adminus
0 up down

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные и логарифмические уравнения


Показательные уравнения

Уравнения вида   a f  ( x )  =  b a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f  ( x ) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида  

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( t ) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Пример 1

Решите уравнение

Показать решение

Так как то, делая замену получаем квадратное уравнение корни которого и Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t  > 0. Получаем уравнение 1-го типа:

Ответ.  


Уравнения вида   a f  ( x )  =  a g  ( x )a  > 0,  a  ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f  ( x ) =  g  ( x ).

Пример 2

Решите уравнение

Показать решение

Так как и то уравнение можно записать в виде Следовательно, исходное уравнение равносильно иррациональному уравнению Имеем:

Отсюда следует, что то есть x  = 25; во втором случае − решений нет.

Ответ. 25.


Пример 3

Решите уравнение

Показать решение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид что равносильно уравнению


Ответ. 1, –1.


Уравнения вида a f  ( x )  =  b g  ( x )a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0,  b  ≠ 1

Модель 3.3. Решение показательных уравнений

При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b ), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:


А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f  ( x ) и  g  ( x ) – алгебраические выражения.

Пример 4

Решите уравнение

Показать решение

Уравнение легко преобразовать к виду Оно содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 2. Имеем:
Корни этого уравнения и Заметим, что обе части исходного уравнения строго положительны, и поэтому логарифмирование не могло привести ни к потере корней, ни к появлению новых.


Замечание . Рассмотренный приём перехода от уравнения a f  ( x )  =  b g  ( x ) к уравнению f  ( x ) =  g  ( x ) log a   b или, в общем случае, переход от уравнения
F  ( x ) =  G  ( x ) (1) к уравнению
log a   F  ( x ) = log b   G  ( x ) ( a  > 0,  a  ≠ 0) (2) называется логарифмированием.

Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

Например, логарифмирование обеих частей уравнения x  =  x 3, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg  x  = lg  x 3 (область определения сузилась). Действительно,

Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа a f  ( x )  =  b g  ( x ) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.


Логарифмические уравнения

Уравнения вида  log a   f  ( x ) =  b a  > 0,  a  ≠ 1

Здесь предполагается, что f  ( x ) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f  ( x ) =  a b . Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a b – это число.

Уравнения вида  

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

  • С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( x ) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

  • Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5

Решите уравнение

Показать решение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7.

а) Корень последнего уравнения с учётом ограничения x  > 1 есть x  = 3.

б)

Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x  = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ. 0, 3, −7.


Пример 6

Решите уравнение

Показать решение

ОДЗ данного уравнения: Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.




1) 3 x  – 4 = 0, − входит в ОДЗ.

2) ( x  + 1 > 0 в ОДЗ),
x  = 0 − не входит в ОДЗ.

x  = 3 − входит в ОДЗ.

Ответ. 3,


Уравнения вида  log a   f  ( x ) = log a   g  ( x ),  a  > 0,  a  ≠ 1

Модель 3.1. Решение логарифмических уравнений

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f  ( x ) и  g  ( x )). На практике, как правило, проще решить уравнение f  ( x ) =  g  ( x ) и проверить для его корней положительность одной из функций: f  ( x ) > 0 или g  ( x ) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения log a   f  ( x ) = log a   g  ( x ) к уравнению f  ( x ) =  g  ( x ) называется потенцированием .

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x , для которых определены функции f  ( x ) и  g  ( x ), а первое − только при тех x , для которых f  ( x ) > 0 и g  ( x ) > 0.

Пример 7

Решите уравнение

Показать решение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: или Потенцируя по основанию 10, имеем откуда x  = –8,  x  = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x  = –10 является корнем.

Ответ.   x  = –10.


Пример 8

Решите уравнение

Показать решение

Очевидна замена 6 sin  x  + 4 =  t  > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся логарифм). Перейдём к равносильному уравнению:

Ответ.