Вход через социальные сети

Показательные и логарифмические уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 55 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
scientist Xanax | Buy Tablets


Looking for a xanax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- colloppromotiongg 18 02.12.2016 at 03:12 by colloppromotiongg
scientist Betnovate | Pharmacy No Script Cost


Looking for a betnovate? Not a problem!

...

- lewdslashxcp 28 28.11.2016 at 19:06 by lewdslashxcp
scientist Tenormin | Order Discount Free Shipping


Looking for a tenormin? Not a problem!

...

- plannerpainfulmj 20 28.11.2016 at 05:14 by plannerpainfulmj
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 584 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
scientist Toradol | Buy Cod Ketorolac


Looking for a toradol? Not a problem!

...

- landmarkgermanrj 59 22.11.2016 at 22:13 by landmarkgermanrj
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 787 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Тема форума Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 1 828 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Тема форума Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 037 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Тема форума Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 5 106 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Тема форума Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 589 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Тема форума Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 812 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Тема форума Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 565 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Тема форума Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 359 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
Тема форума задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 568 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Тема форума Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 191 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Тема форума Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 738 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Тема форума Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 564 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Тема форума Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 367 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
Тема форума задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 541 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Тема форума Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 1 738 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
Тема форума найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 467 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Тема форума Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 851 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
Тема форума заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 3 128 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
Тема форума Вектора. Проекция.

Добрый день. Нужно мне найти проекцию вектора ...

2 / - Aramint 1 166 22.04.2016 at 16:37 by Aramint
  • 154страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 55 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 584 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 787 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 1 828 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 037 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 5 106 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 589 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 812 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 565 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 359 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 568 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 191 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 738 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 564 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 367 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 541 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 1 738 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 467 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 851 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 3 128 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
Вектора. Проекция.

Добрый день. Нужно мне найти проекцию вектора ...

2 / - Aramint 1 166 22.04.2016 at 16:37 by Aramint
Предел. Деление на ноль.

Добрый день. Школа для меня была уже очень давно. Вспоминаю всё заочно и вопросы задавать некому...

5 / - Aramint 1 857 22.04.2016 at 14:41 by grigoriy
Задача.

...

1 / - fedotenko.anya 1 107 21.04.2016 at 19:42 by GEPIDIUM
тригонометрическое уравнение

Здравствуйте. Встретился пример. Привела решение.

...

6 / - tata00tata 2 388 19.04.2016 at 00:14 by tata00tata
Производная

Вопрос может показаться немножко странным, но эта проблема не дает мне покоя.
Производная...

1 / - dzhavidamirov 1 166 16.04.2016 at 23:03 by grigoriy
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:19
adminus
0 up down

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные и логарифмические уравнения


Показательные уравнения

Уравнения вида   a f  ( x )  =  b a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f  ( x ) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида  

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( t ) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Пример 1

Решите уравнение

Показать решение

Так как то, делая замену получаем квадратное уравнение корни которого и Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t  > 0. Получаем уравнение 1-го типа:

Ответ.  


Уравнения вида   a f  ( x )  =  a g  ( x )a  > 0,  a  ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f  ( x ) =  g  ( x ).

Пример 2

Решите уравнение

Показать решение

Так как и то уравнение можно записать в виде Следовательно, исходное уравнение равносильно иррациональному уравнению Имеем:

Отсюда следует, что то есть x  = 25; во втором случае − решений нет.

Ответ. 25.


Пример 3

Решите уравнение

Показать решение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид что равносильно уравнению


Ответ. 1, –1.


Уравнения вида a f  ( x )  =  b g  ( x )a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0,  b  ≠ 1

Модель 3.3. Решение показательных уравнений

При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b ), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:


А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f  ( x ) и  g  ( x ) – алгебраические выражения.

Пример 4

Решите уравнение

Показать решение

Уравнение легко преобразовать к виду Оно содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 2. Имеем:
Корни этого уравнения и Заметим, что обе части исходного уравнения строго положительны, и поэтому логарифмирование не могло привести ни к потере корней, ни к появлению новых.


Замечание . Рассмотренный приём перехода от уравнения a f  ( x )  =  b g  ( x ) к уравнению f  ( x ) =  g  ( x ) log a   b или, в общем случае, переход от уравнения
F  ( x ) =  G  ( x ) (1) к уравнению
log a   F  ( x ) = log b   G  ( x ) ( a  > 0,  a  ≠ 0) (2) называется логарифмированием.

Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

Например, логарифмирование обеих частей уравнения x  =  x 3, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg  x  = lg  x 3 (область определения сузилась). Действительно,

Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа a f  ( x )  =  b g  ( x ) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.


Логарифмические уравнения

Уравнения вида  log a   f  ( x ) =  b a  > 0,  a  ≠ 1

Здесь предполагается, что f  ( x ) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f  ( x ) =  a b . Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a b – это число.

Уравнения вида  

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

  • С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( x ) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

  • Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5

Решите уравнение

Показать решение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7.

а) Корень последнего уравнения с учётом ограничения x  > 1 есть x  = 3.

б)

Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x  = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ. 0, 3, −7.


Пример 6

Решите уравнение

Показать решение

ОДЗ данного уравнения: Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.




1) 3 x  – 4 = 0, − входит в ОДЗ.

2) ( x  + 1 > 0 в ОДЗ),
x  = 0 − не входит в ОДЗ.

x  = 3 − входит в ОДЗ.

Ответ. 3,


Уравнения вида  log a   f  ( x ) = log a   g  ( x ),  a  > 0,  a  ≠ 1

Модель 3.1. Решение логарифмических уравнений

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f  ( x ) и  g  ( x )). На практике, как правило, проще решить уравнение f  ( x ) =  g  ( x ) и проверить для его корней положительность одной из функций: f  ( x ) > 0 или g  ( x ) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения log a   f  ( x ) = log a   g  ( x ) к уравнению f  ( x ) =  g  ( x ) называется потенцированием .

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x , для которых определены функции f  ( x ) и  g  ( x ), а первое − только при тех x , для которых f  ( x ) > 0 и g  ( x ) > 0.

Пример 7

Решите уравнение

Показать решение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: или Потенцируя по основанию 10, имеем откуда x  = –8,  x  = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x  = –10 является корнем.

Ответ.   x  = –10.


Пример 8

Решите уравнение

Показать решение

Очевидна замена 6 sin  x  + 4 =  t  > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся логарифм). Перейдём к равносильному уравнению:

Ответ.