Вход через социальные сети

Показательные и логарифмические уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 1 463 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
Тема форума Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

3 / - zav197816 510 31.05.2016 at 11:44 by ARRY
Тема форума Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

1 / - hvosevrstislav 450 11.05.2016 at 14:04 by ARRY
Тема форума Вектора. Проекция.

Добрый день. Нужно мне найти проекцию вектора ...

2 / - Aramint 549 22.04.2016 at 16:37 by Aramint
Тема форума Предел. Деление на ноль.

Добрый день. Школа для меня была уже очень давно. Вспоминаю всё заочно и вопросы задавать некому...

5 / - Aramint 793 22.04.2016 at 14:41 by grigoriy
Тема форума Задача.

...

1 / - fedotenko.anya 492 21.04.2016 at 19:42 by GEPIDIUM
Тема форума тригонометрическое уравнение

Здравствуйте. Встретился пример. Привела решение.

...

6 / - tata00tata 1 202 19.04.2016 at 00:14 by tata00tata
Тема форума Производная

Вопрос может показаться немножко странным, но эта проблема не дает мне покоя.
Производная...

1 / - dzhavidamirov 593 16.04.2016 at 23:03 by grigoriy
Тема форума задача по теориии вероятности

Здравствуйте. В теории вероятности тоже периодически возникают вопросы, как и в теме параметры....

5 / - tata00tata 1 111 06.04.2016 at 00:20 by tata00tata
Тема форума Очень интересная задача о Пирамиде, вписанной и описанной сферах.

Пожалуйста, помогите, подтолкните, укажите, что является искомым расстоянием, какой отрезок?...

2 / - Antje 772 20.03.2016 at 15:05 by folk
Тема форума В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна основанию CD.

Не получилось решить эту задачу:

В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна...

3 / - codevias 956 18.03.2016 at 00:00 by codevias
Тема форума гипотеза Лежандра

Предлагаю попробовать доказать гипотезу Лежандра. Сложность доказательства соответствует данному...

29 / - losev.cergej 2 374 15.03.2016 at 06:17 by losev.cergej
Тема форума Площадь плоского многоугольника в трёхмерной системе координат
Здравствуйте.

Уверен, что это задача стандартная, но не могу никак найти на неё ответ....
12 / - E3605 5 432 14.03.2016 at 14:42 by dima.Dmitri.vasilev
Тема форума параметры

Здравствуйте. Пока тяжело идет тема параметры, возникает много вопросов. Помогите, пожалуйста...

23 / - tata00tata 3 493 07.03.2016 at 12:18 by Albe
Тема форума Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

1 / - vladr 856 05.03.2016 at 15:22 by tata00tata
Тема форума Площадь параллелограмма
Дан паралЛелограмМ ABCD. AB=2, BC=3, диАгОналь AC перпендикулярна к BE, точка E делит сторону AD...
3 / - VzrivPaket 3 867 04.03.2016 at 09:16 by stomatgav
Тема форума Изучаем основные математические операции через игру

Изучать математические операции детям может быть очень трудно и, кажется, скучно. Надо каким-то...

- petrovicmilena.... 697 01.03.2016 at 11:22 by petrovicmilena....
Тема форума Латинские квадраты
2) Реально ли вообще эту задачу без...
50 / - omega 10 530 15.02.2016 at 13:33 by omega
Тема форума Показательно-степенное уравнение

Помогите, пожалуйста, решить такое уравнение:

...

- kohek 704 15.02.2016 at 00:41 by kohek
Тема форума Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

- vladr 0 14.02.2016 at 15:25 by vladr
Тема форума Не сложно для Вас...

Учился давно и плохо.

У кого есть время и желание, помогите (Vб * Kб + Vм * Kм) ÷ (Vб +...

4 / - servdnn 1 341 01.02.2016 at 01:47 by Albe
Тема форума Вот такое вот уравнение,надо его решить

(1+(0.0589)/x)^x=1.065 

я логарифмирую:

xln((1+(0.0589)/x)=ln1.065  

а...

2 / - ferid.amirli97 1 035 27.01.2016 at 20:37 by Andrew58
Тема форума Объёмы многогранников

Объем - это положительная величина, определенная для каждого из многогранников, числовое...

- marinkakolyada 798 27.01.2016 at 16:27 by marinkakolyada
Тема форума Помогите найти сайт онлайн решений

Помогите найти сайт,где онлайн вычисляется значение углов в градусах, например синуса,косинуса,...

2 / - miss.christina13 1 130 24.01.2016 at 22:20 by grigoriy
Тема форума ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ НОМЕР 4 И 5 - dima.sagaria 840 20.01.2016 at 20:26 by dima.sagaria
  • 153страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 139страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 1 463 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

3 / - zav197816 510 31.05.2016 at 11:44 by ARRY
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

1 / - hvosevrstislav 450 11.05.2016 at 14:04 by ARRY
Вектора. Проекция.

Добрый день. Нужно мне найти проекцию вектора ...

2 / - Aramint 549 22.04.2016 at 16:37 by Aramint
Предел. Деление на ноль.

Добрый день. Школа для меня была уже очень давно. Вспоминаю всё заочно и вопросы задавать некому...

5 / - Aramint 793 22.04.2016 at 14:41 by grigoriy
Задача.

...

1 / - fedotenko.anya 492 21.04.2016 at 19:42 by GEPIDIUM
тригонометрическое уравнение

Здравствуйте. Встретился пример. Привела решение.

...

6 / - tata00tata 1 202 19.04.2016 at 00:14 by tata00tata
Производная

Вопрос может показаться немножко странным, но эта проблема не дает мне покоя.
Производная...

1 / - dzhavidamirov 593 16.04.2016 at 23:03 by grigoriy
задача по теориии вероятности

Здравствуйте. В теории вероятности тоже периодически возникают вопросы, как и в теме параметры....

5 / - tata00tata 1 111 06.04.2016 at 00:20 by tata00tata
Очень интересная задача о Пирамиде, вписанной и описанной сферах.

Пожалуйста, помогите, подтолкните, укажите, что является искомым расстоянием, какой отрезок?...

2 / - Antje 772 20.03.2016 at 15:05 by folk
В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна основанию CD.

Не получилось решить эту задачу:

В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна...

3 / - codevias 956 18.03.2016 at 00:00 by codevias
гипотеза Лежандра

Предлагаю попробовать доказать гипотезу Лежандра. Сложность доказательства соответствует данному...

29 / - losev.cergej 2 374 15.03.2016 at 06:17 by losev.cergej
Площадь плоского многоугольника в трёхмерной системе координат
Здравствуйте.

Уверен, что это задача стандартная, но не могу никак найти на неё ответ....
12 / - E3605 5 432 14.03.2016 at 14:42 by dima.Dmitri.vasilev
параметры

Здравствуйте. Пока тяжело идет тема параметры, возникает много вопросов. Помогите, пожалуйста...

23 / - tata00tata 3 493 07.03.2016 at 12:18 by Albe
Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

1 / - vladr 856 05.03.2016 at 15:22 by tata00tata
Площадь параллелограмма
Дан паралЛелограмМ ABCD. AB=2, BC=3, диАгОналь AC перпендикулярна к BE, точка E делит сторону AD...
3 / - VzrivPaket 3 867 04.03.2016 at 09:16 by stomatgav
Изучаем основные математические операции через игру

Изучать математические операции детям может быть очень трудно и, кажется, скучно. Надо каким-то...

- petrovicmilena.... 697 01.03.2016 at 11:22 by petrovicmilena....
Латинские квадраты
2) Реально ли вообще эту задачу без...
50 / - omega 10 530 15.02.2016 at 13:33 by omega
Показательно-степенное уравнение

Помогите, пожалуйста, решить такое уравнение:

...

- kohek 704 15.02.2016 at 00:41 by kohek
Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

- vladr 0 14.02.2016 at 15:25 by vladr
Не сложно для Вас...

Учился давно и плохо.

У кого есть время и желание, помогите (Vб * Kб + Vм * Kм) ÷ (Vб +...

4 / - servdnn 1 341 01.02.2016 at 01:47 by Albe
Вот такое вот уравнение,надо его решить

(1+(0.0589)/x)^x=1.065 

я логарифмирую:

xln((1+(0.0589)/x)=ln1.065  

а...

2 / - ferid.amirli97 1 035 27.01.2016 at 20:37 by Andrew58
Объёмы многогранников

Объем - это положительная величина, определенная для каждого из многогранников, числовое...

- marinkakolyada 798 27.01.2016 at 16:27 by marinkakolyada
Помогите найти сайт онлайн решений

Помогите найти сайт,где онлайн вычисляется значение углов в градусах, например синуса,косинуса,...

2 / - miss.christina13 1 130 24.01.2016 at 22:20 by grigoriy
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ НОМЕР 4 И 5 - dima.sagaria 840 20.01.2016 at 20:26 by dima.sagaria
  • 139страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:19
adminus
0 up down

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные и логарифмические уравнения


Показательные уравнения

Уравнения вида   a f  ( x )  =  b a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f  ( x ) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида  

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( t ) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Пример 1

Решите уравнение

Показать решение

Так как то, делая замену получаем квадратное уравнение корни которого и Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t  > 0. Получаем уравнение 1-го типа:

Ответ.  


Уравнения вида   a f  ( x )  =  a g  ( x )a  > 0,  a  ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f  ( x ) =  g  ( x ).

Пример 2

Решите уравнение

Показать решение

Так как и то уравнение можно записать в виде Следовательно, исходное уравнение равносильно иррациональному уравнению Имеем:

Отсюда следует, что то есть x  = 25; во втором случае − решений нет.

Ответ. 25.


Пример 3

Решите уравнение

Показать решение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид что равносильно уравнению


Ответ. 1, –1.


Уравнения вида a f  ( x )  =  b g  ( x )a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0,  b  ≠ 1

Модель 3.3. Решение показательных уравнений

При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b ), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:


А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f  ( x ) и  g  ( x ) – алгебраические выражения.

Пример 4

Решите уравнение

Показать решение

Уравнение легко преобразовать к виду Оно содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 2. Имеем:
Корни этого уравнения и Заметим, что обе части исходного уравнения строго положительны, и поэтому логарифмирование не могло привести ни к потере корней, ни к появлению новых.


Замечание . Рассмотренный приём перехода от уравнения a f  ( x )  =  b g  ( x ) к уравнению f  ( x ) =  g  ( x ) log a   b или, в общем случае, переход от уравнения
F  ( x ) =  G  ( x ) (1) к уравнению
log a   F  ( x ) = log b   G  ( x ) ( a  > 0,  a  ≠ 0) (2) называется логарифмированием.

Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

Например, логарифмирование обеих частей уравнения x  =  x 3, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg  x  = lg  x 3 (область определения сузилась). Действительно,

Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа a f  ( x )  =  b g  ( x ) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.


Логарифмические уравнения

Уравнения вида  log a   f  ( x ) =  b a  > 0,  a  ≠ 1

Здесь предполагается, что f  ( x ) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f  ( x ) =  a b . Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a b – это число.

Уравнения вида  

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

  • С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( x ) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

  • Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5

Решите уравнение

Показать решение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7.

а) Корень последнего уравнения с учётом ограничения x  > 1 есть x  = 3.

б)

Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x  = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ. 0, 3, −7.


Пример 6

Решите уравнение

Показать решение

ОДЗ данного уравнения: Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.




1) 3 x  – 4 = 0, − входит в ОДЗ.

2) ( x  + 1 > 0 в ОДЗ),
x  = 0 − не входит в ОДЗ.

x  = 3 − входит в ОДЗ.

Ответ. 3,


Уравнения вида  log a   f  ( x ) = log a   g  ( x ),  a  > 0,  a  ≠ 1

Модель 3.1. Решение логарифмических уравнений

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f  ( x ) и  g  ( x )). На практике, как правило, проще решить уравнение f  ( x ) =  g  ( x ) и проверить для его корней положительность одной из функций: f  ( x ) > 0 или g  ( x ) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения log a   f  ( x ) = log a   g  ( x ) к уравнению f  ( x ) =  g  ( x ) называется потенцированием .

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x , для которых определены функции f  ( x ) и  g  ( x ), а первое − только при тех x , для которых f  ( x ) > 0 и g  ( x ) > 0.

Пример 7

Решите уравнение

Показать решение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: или Потенцируя по основанию 10, имеем откуда x  = –8,  x  = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x  = –10 является корнем.

Ответ.   x  = –10.


Пример 8

Решите уравнение

Показать решение

Очевидна замена 6 sin  x  + 4 =  t  > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся логарифм). Перейдём к равносильному уравнению:

Ответ.