Вход через социальные сети

Разложение выражений на множители

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума школьная теория вероятности.

Здравствуйте, необходимо решить задачу исходя из классического определения вероятности.

...

1 / - tata00tata 34 27.08.2015 at 13:04 by 12d3
Тема форума последовательности

Здравствуйте. Вопрос сразу про 2 последовательности. Найти наибольший член последовательности...

7 / - tata00tata 193 18.08.2015 at 21:39 by Andrew58
Тема форума Новый день — новая задача

Иногда утром очень сложно проснуться. Не помогает ни кофе, ни холодный душ. Оказалось, что...

2 / - trushinbv 131 17.08.2015 at 16:28 by Таланов
Тема форума Помогите найти односторонние пределы функции.

Помогите найти односторонние пределы функции:

...

10 / - AAA1111 391 29.07.2015 at 15:14 by zam2
Тема форума Математическая игра в честь для числа пи

В честь дня числа пи можно поиграть в такую игру. Берём несколько первых цифр числа ...

1 / - General 192 23.07.2015 at 13:09 by General
Тема форума Вопрос по нахождению координат в Декартовой системе.

Добрый день!

Я извиняюсь за такой элементарный вопрос, но что-то я подзабыл школьный...

1 / - helloff 216 22.07.2015 at 11:58 by ARRY
Тема форума Вопросы по нахождению площади круга через интеграл.

При вычислении пользуются заменой:

...

12 / - AAA1111 652 17.07.2015 at 16:39 by AAA1111
Тема форума Помогите решить (тригонометрия)

5cos(2x+pi/3)=4sin(5pi/6-x) - 1

Получается красивая конструкция после упрощения, но что...

6 / - looterrf 484 08.07.2015 at 00:59 by looterrf
Тема форума Не могу справиться с уравнением

Помогите, пожалуйста, с уравнением

...

10 / - wova 1 117 22.06.2015 at 14:35 by wova
Тема форума Помогите решить задачки по теории вероятности

1)На окружности радиуса 6 см выбраны случайным образом две точки. Найдите вероятность того, что...

1 / - rylly-96 462 09.06.2015 at 12:31 by Таланов
Тема форума Помогите решить систему уравнений

Добрый вечер, всем присутствующим!

Помогите, пожалуйста решить школьнйю системку...

6 / - bmp49 796 03.06.2015 at 19:47 by bmp49
Тема форума Уррациональное уравнение третье степени

Друзья, очень нужен Ваш совет в каком направлении двигаться... похоже я переработалась, что не...

4 / - Evaf 665 28.05.2015 at 21:09 by Evaf
Тема форума Уравнение с параметром.

Здравствуйте. было уравнение с параметром. Авторское решение понятно. Я хочу привести свое....

23 / - tata00tata 1 870 20.05.2015 at 13:56 by 12d3
Тема форума Алгебра

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить (0,9996)^300

7 / - 597400 1 129 16.05.2015 at 21:16 by miflin
Тема форума Помогите пожалуйста решить, даже не знаю с чего начать.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OЕ=1,...

4 / - dan.khv 871 10.05.2015 at 14:27 by ARRY
Тема форума алгебра

Здравствуйте. Возник вопрос. Вот например  ...

2 / - tata00tata 715 06.05.2015 at 08:13 by ARRY
Тема форума Разложение функций в степенные ряды

Разложить функции по степеням (х-х0) и определить область сходимости полученных рядов:

...

4 / - karinochka1996love 859 28.04.2015 at 08:05 by Ian
Тема форума ряд Маклорена

помогите!

разложить функцию f(x)=cos^2x в ряд маклорена

2 / - karinochka1996love 659 27.04.2015 at 23:23 by karinochka1996love
Тема форума Ряд Тейлора

Разложить функцию f(x)=x^5-4x^4+5x+6 в ряд Тейлора по степеням (x+2)

1 / - karinochka1996love 581 27.04.2015 at 22:18 by zam2
Тема форума простая задача по геометрии

Здравствуйте.

abcd - равнобедренная трапеция, большее основание ad равно 10 см,...

5 / - tata00tata 998 23.04.2015 at 13:46 by tata00tata
Тема форума GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
22 / - Maximus_G 23 718 10.04.2015 at 15:15 by skaneby
Тема форума GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
42 / - Maximus_G 46 456 10.04.2015 at 15:06 by skaneby
Тема форума задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

13 / - peter_PP 3 991 06.04.2015 at 16:38 by Самоед
Тема форума признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 1 332 27.03.2015 at 19:38 by stensen
Тема форума Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 555 26.03.2015 at 22:11 by Тракторида Сталин
  • 152страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 138страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
школьная теория вероятности.

Здравствуйте, необходимо решить задачу исходя из классического определения вероятности.

...

1 / - tata00tata 34 27.08.2015 at 13:04 by 12d3
последовательности

Здравствуйте. Вопрос сразу про 2 последовательности. Найти наибольший член последовательности...

7 / - tata00tata 193 18.08.2015 at 21:39 by Andrew58
Новый день — новая задача

Иногда утром очень сложно проснуться. Не помогает ни кофе, ни холодный душ. Оказалось, что...

2 / - trushinbv 131 17.08.2015 at 16:28 by Таланов
Помогите найти односторонние пределы функции.

Помогите найти односторонние пределы функции:

...

10 / - AAA1111 391 29.07.2015 at 15:14 by zam2
Математическая игра в честь для числа пи

В честь дня числа пи можно поиграть в такую игру. Берём несколько первых цифр числа ...

1 / - General 192 23.07.2015 at 13:09 by General
Вопрос по нахождению координат в Декартовой системе.

Добрый день!

Я извиняюсь за такой элементарный вопрос, но что-то я подзабыл школьный...

1 / - helloff 216 22.07.2015 at 11:58 by ARRY
Вопросы по нахождению площади круга через интеграл.

При вычислении пользуются заменой:

...

12 / - AAA1111 652 17.07.2015 at 16:39 by AAA1111
Помогите решить (тригонометрия)

5cos(2x+pi/3)=4sin(5pi/6-x) - 1

Получается красивая конструкция после упрощения, но что...

6 / - looterrf 484 08.07.2015 at 00:59 by looterrf
Не могу справиться с уравнением

Помогите, пожалуйста, с уравнением

...

10 / - wova 1 117 22.06.2015 at 14:35 by wova
Помогите решить задачки по теории вероятности

1)На окружности радиуса 6 см выбраны случайным образом две точки. Найдите вероятность того, что...

1 / - rylly-96 462 09.06.2015 at 12:31 by Таланов
Помогите решить систему уравнений

Добрый вечер, всем присутствующим!

Помогите, пожалуйста решить школьнйю системку...

6 / - bmp49 796 03.06.2015 at 19:47 by bmp49
Уррациональное уравнение третье степени

Друзья, очень нужен Ваш совет в каком направлении двигаться... похоже я переработалась, что не...

4 / - Evaf 665 28.05.2015 at 21:09 by Evaf
Уравнение с параметром.

Здравствуйте. было уравнение с параметром. Авторское решение понятно. Я хочу привести свое....

23 / - tata00tata 1 870 20.05.2015 at 13:56 by 12d3
Алгебра

Доброго времени суток!
Помогите, пожалуйста, вычислить (0,9996)^300

7 / - 597400 1 129 16.05.2015 at 21:16 by miflin
Помогите пожалуйста решить, даже не знаю с чего начать.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OЕ=1,...

4 / - dan.khv 871 10.05.2015 at 14:27 by ARRY
алгебра

Здравствуйте. Возник вопрос. Вот например  ...

2 / - tata00tata 715 06.05.2015 at 08:13 by ARRY
Разложение функций в степенные ряды

Разложить функции по степеням (х-х0) и определить область сходимости полученных рядов:

...

4 / - karinochka1996love 859 28.04.2015 at 08:05 by Ian
ряд Маклорена

помогите!

разложить функцию f(x)=cos^2x в ряд маклорена

2 / - karinochka1996love 659 27.04.2015 at 23:23 by karinochka1996love
Ряд Тейлора

Разложить функцию f(x)=x^5-4x^4+5x+6 в ряд Тейлора по степеням (x+2)

1 / - karinochka1996love 581 27.04.2015 at 22:18 by zam2
простая задача по геометрии

Здравствуйте.

abcd - равнобедренная трапеция, большее основание ad равно 10 см,...

5 / - tata00tata 998 23.04.2015 at 13:46 by tata00tata
GMAT. Быстро найти произведение чисел
Если произведение положительных целых чисел от 1 до 8 включительно равняется х, и если i, k, m, и...
22 / - Maximus_G 23 718 10.04.2015 at 15:15 by skaneby
GMAT. Делимость на 3
Если n целое число больше чем 6, что из нижеследующего обязательно делиться на 3?
A. n(n+1)(n...
42 / - Maximus_G 46 456 10.04.2015 at 15:06 by skaneby
задача на вероятность

Здравствуйте, задача из ЕГЕ вроде как елементарная, но с ответом почемуто не сходится, надеюсь...

13 / - peter_PP 3 991 06.04.2015 at 16:38 by Самоед
признак равенства двух теугольников

Доброго всем всем времени суток. Обуял меня вопрос. Известен признак равенства теугольников по...

5 / - stensen 1 332 27.03.2015 at 19:38 by stensen
Кому не лень выручить другана-вояку)

Привет умники!) Короче у меня проблема. Есть очень хороший человек. Он за нас воевал и ранен был...

- Тракторида Сталин 555 26.03.2015 at 22:11 by Тракторида Сталин
  • 138страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:18
adminus
0 up down

Разложение выражений на множители

Разложение выражений на множители

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) в виде
F 1  ( x ) ·  F 2  ( x ) · ... ·  F n  ( x ) = 0, (5)

где выражения F k  ( x ),  k  = 1, ...,  n «проще» функций f  ( x ) и  g  ( x ), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители F k  ( x ) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x 5  – 2 x 3  +  x 2.

Показать решение

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x 2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x 5  – 2 x 3  +  x 2  =  x 2 ( x 3  – 2 x  + 1).


2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен ( x  – 2) 4  – (3 x  + 1) 4.

Показать решение

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:


3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен x 4  + 4 x 2  – 1.

Показать решение

Имеем


4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

  • Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  • Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  • Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x  → +∞ и  x  → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox .

Пример 4

Разложить на множители многочлен 3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1.

Показать решение

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x  –  p и ax 2  +  bx c такие, что справедливо равенство
3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 = ( x  –  p )( ax 2  +  bx  +  c ) =  ax 3  + ( b  –  ap ) x 2  + ( c  –  bp ) x  –  pc .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:
Решая эту систему, получаем: a  = 3,  p  = –1, b  = 2,  c  = –1.

Итак, многочлен 3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 разлагается на множители:
3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 = ( x  – 1)(3 x 2  + 2 x  – 1).


6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x  = α угадан, многочлен P n  ( x ) представим в виде P n  ( x ) = ( x  – α) ·  P n  – 1  ( x ), где P n  – 1  ( x ) − многочлен степени на 1 меньше, чем P n  ( x ).

Пример 5

Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.

Показать решение

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть
x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16 = ( x  – 2) ·  Q  ( x ), где Q  ( x ) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых ( x  – 2).


7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен x 4  – 10 x 2  –  x  + 20.

Показать решение

Преобразуем данный многочлен:
x 4  – 10 x 2  –  x  + 20 =  x 4  – 5 · 2 x 2  –  x  + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x

Рассмотрим теперь многочлен a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x , который при a  = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:
a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x  =  a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x ( x 3  – 1) =  a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x ( x  – 1)( x 2  +  x  + 1). Следовательно, a 1  =  x ( x  – 1),  a 2  =  x 2  +  x  + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x  = ( a  – ( x 2  –  x ))( a  – ( x 2  +  x  + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a  = 5. Получим:
x 4  – 10 x 2  +  x  + 20 = (5 –  x 2  +  x )(5 –  x 2  –  x  – 1) = ( x 2  –  x  – 5)( x 2  +  x  – 4).