Вход через социальные сети

Разложение выражений на множители

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

1 / - losev.cergej 84 27.09.2016 at 12:45 by 12d3
Тема форума задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 133 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Тема форума Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

4 / - kpn65super9 149 26.09.2016 at 14:51 by tata00tata
Тема форума Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 782 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Тема форума Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 194 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Тема форума Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 177 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Тема форума Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 883 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
Тема форума задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 228 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Тема форума Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 819 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
Тема форума найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 194 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Тема форума Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 363 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
Тема форума заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 2 179 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
Тема форума Вектора. Проекция.

Добрый день. Нужно мне найти проекцию вектора ...

2 / - Aramint 806 22.04.2016 at 16:37 by Aramint
Тема форума Предел. Деление на ноль.

Добрый день. Школа для меня была уже очень давно. Вспоминаю всё заочно и вопросы задавать некому...

5 / - Aramint 1 193 22.04.2016 at 14:41 by grigoriy
Тема форума Задача.

...

1 / - fedotenko.anya 759 21.04.2016 at 19:42 by GEPIDIUM
Тема форума тригонометрическое уравнение

Здравствуйте. Встретился пример. Привела решение.

...

6 / - tata00tata 1 737 19.04.2016 at 00:14 by tata00tata
Тема форума Производная

Вопрос может показаться немножко странным, но эта проблема не дает мне покоя.
Производная...

1 / - dzhavidamirov 833 16.04.2016 at 23:03 by grigoriy
Тема форума задача по теориии вероятности

Здравствуйте. В теории вероятности тоже периодически возникают вопросы, как и в теме параметры....

5 / - tata00tata 1 566 06.04.2016 at 00:20 by tata00tata
Тема форума Очень интересная задача о Пирамиде, вписанной и описанной сферах.

Пожалуйста, помогите, подтолкните, укажите, что является искомым расстоянием, какой отрезок?...

2 / - Antje 1 027 20.03.2016 at 15:05 by folk
Тема форума В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна основанию CD.

Не получилось решить эту задачу:

В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна...

3 / - codevias 1 287 18.03.2016 at 00:00 by codevias
Тема форума гипотеза Лежандра

Предлагаю попробовать доказать гипотезу Лежандра. Сложность доказательства соответствует данному...

29 / - losev.cergej 3 371 15.03.2016 at 06:17 by losev.cergej
Тема форума Площадь плоского многоугольника в трёхмерной системе координат
Здравствуйте.

Уверен, что это задача стандартная, но не могу никак найти на неё ответ....
12 / - E3605 6 317 14.03.2016 at 14:42 by dima.Dmitri.vasilev
Тема форума параметры

Здравствуйте. Пока тяжело идет тема параметры, возникает много вопросов. Помогите, пожалуйста...

23 / - tata00tata 4 402 07.03.2016 at 12:18 by Albe
Тема форума Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

1 / - vladr 1 116 05.03.2016 at 15:22 by tata00tata
Тема форума Площадь параллелограмма
Дан паралЛелограмМ ABCD. AB=2, BC=3, диАгОналь AC перпендикулярна к BE, точка E делит сторону AD...
3 / - VzrivPaket 4 259 04.03.2016 at 09:16 by stomatgav
  • 154страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

1 / - losev.cergej 84 27.09.2016 at 12:45 by 12d3
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 133 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

4 / - kpn65super9 149 26.09.2016 at 14:51 by tata00tata
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 782 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 194 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 177 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 883 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 228 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 819 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 194 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 363 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
заинтересовать

Сыну 12 лет, учитель математики говорит у него талант (в садике складывал 3-х значные числа в...

12 / - ok250279 2 179 31.05.2016 at 20:37 by alekcey
Вектора. Проекция.

Добрый день. Нужно мне найти проекцию вектора ...

2 / - Aramint 806 22.04.2016 at 16:37 by Aramint
Предел. Деление на ноль.

Добрый день. Школа для меня была уже очень давно. Вспоминаю всё заочно и вопросы задавать некому...

5 / - Aramint 1 193 22.04.2016 at 14:41 by grigoriy
Задача.

...

1 / - fedotenko.anya 759 21.04.2016 at 19:42 by GEPIDIUM
тригонометрическое уравнение

Здравствуйте. Встретился пример. Привела решение.

...

6 / - tata00tata 1 737 19.04.2016 at 00:14 by tata00tata
Производная

Вопрос может показаться немножко странным, но эта проблема не дает мне покоя.
Производная...

1 / - dzhavidamirov 833 16.04.2016 at 23:03 by grigoriy
задача по теориии вероятности

Здравствуйте. В теории вероятности тоже периодически возникают вопросы, как и в теме параметры....

5 / - tata00tata 1 566 06.04.2016 at 00:20 by tata00tata
Очень интересная задача о Пирамиде, вписанной и описанной сферах.

Пожалуйста, помогите, подтолкните, укажите, что является искомым расстоянием, какой отрезок?...

2 / - Antje 1 027 20.03.2016 at 15:05 by folk
В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна основанию CD.

Не получилось решить эту задачу:

В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна...

3 / - codevias 1 287 18.03.2016 at 00:00 by codevias
гипотеза Лежандра

Предлагаю попробовать доказать гипотезу Лежандра. Сложность доказательства соответствует данному...

29 / - losev.cergej 3 371 15.03.2016 at 06:17 by losev.cergej
Площадь плоского многоугольника в трёхмерной системе координат
Здравствуйте.

Уверен, что это задача стандартная, но не могу никак найти на неё ответ....
12 / - E3605 6 317 14.03.2016 at 14:42 by dima.Dmitri.vasilev
параметры

Здравствуйте. Пока тяжело идет тема параметры, возникает много вопросов. Помогите, пожалуйста...

23 / - tata00tata 4 402 07.03.2016 at 12:18 by Albe
Как посчитать процент (%) от числа

5,5% от 5000=275
5000-275=4725
6,5% от 4725=307,125
4725-307,125=4417,875...

1 / - vladr 1 116 05.03.2016 at 15:22 by tata00tata
Площадь параллелограмма
Дан паралЛелограмМ ABCD. AB=2, BC=3, диАгОналь AC перпендикулярна к BE, точка E делит сторону AD...
3 / - VzrivPaket 4 259 04.03.2016 at 09:16 by stomatgav
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:18
adminus
0 up down

Разложение выражений на множители

Разложение выражений на множители

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) в виде
F 1  ( x ) ·  F 2  ( x ) · ... ·  F n  ( x ) = 0, (5)

где выражения F k  ( x ),  k  = 1, ...,  n «проще» функций f  ( x ) и  g  ( x ), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители F k  ( x ) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x 5  – 2 x 3  +  x 2.

Показать решение

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x 2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x 5  – 2 x 3  +  x 2  =  x 2 ( x 3  – 2 x  + 1).


2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен ( x  – 2) 4  – (3 x  + 1) 4.

Показать решение

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:


3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен x 4  + 4 x 2  – 1.

Показать решение

Имеем


4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

  • Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  • Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  • Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x  → +∞ и  x  → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox .

Пример 4

Разложить на множители многочлен 3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1.

Показать решение

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x  –  p и ax 2  +  bx c такие, что справедливо равенство
3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 = ( x  –  p )( ax 2  +  bx  +  c ) =  ax 3  + ( b  –  ap ) x 2  + ( c  –  bp ) x  –  pc .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:
Решая эту систему, получаем: a  = 3,  p  = –1, b  = 2,  c  = –1.

Итак, многочлен 3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 разлагается на множители:
3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 = ( x  – 1)(3 x 2  + 2 x  – 1).


6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x  = α угадан, многочлен P n  ( x ) представим в виде P n  ( x ) = ( x  – α) ·  P n  – 1  ( x ), где P n  – 1  ( x ) − многочлен степени на 1 меньше, чем P n  ( x ).

Пример 5

Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.

Показать решение

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть
x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16 = ( x  – 2) ·  Q  ( x ), где Q  ( x ) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых ( x  – 2).


7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен x 4  – 10 x 2  –  x  + 20.

Показать решение

Преобразуем данный многочлен:
x 4  – 10 x 2  –  x  + 20 =  x 4  – 5 · 2 x 2  –  x  + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x

Рассмотрим теперь многочлен a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x , который при a  = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:
a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x  =  a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x ( x 3  – 1) =  a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x ( x  – 1)( x 2  +  x  + 1). Следовательно, a 1  =  x ( x  – 1),  a 2  =  x 2  +  x  + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x  = ( a  – ( x 2  –  x ))( a  – ( x 2  +  x  + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a  = 5. Получим:
x 4  – 10 x 2  +  x  + 20 = (5 –  x 2  +  x )(5 –  x 2  –  x  – 1) = ( x 2  –  x  – 5)( x 2  +  x  – 4).