Вход через социальные сети

Равносильность уравнений

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 483 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 1 118 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 835 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 28 611 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 3 026 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 587 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 720 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 729 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 229 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 5 339 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 992 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 006 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 6 907 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 133 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 859 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 859 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 297 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 255 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 572 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 227 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 965 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 999 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 814 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 485 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 2 125 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 483 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 1 118 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 835 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 28 611 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 3 026 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 587 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 720 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 729 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 229 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 5 339 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 992 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 006 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 6 907 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 133 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 859 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 859 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 297 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 255 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 572 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 227 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 965 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 999 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 814 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 485 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 2 125 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:18
adminus
0 up down

Равносильность уравнений

Равносильность уравнений

 

Уравнением с одной переменной x называется выражение
f  ( x ) =  g  ( x ), (1)

содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем (или решением ) уравнения (1), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это ЧИСЛО, например, 15 или поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) называются равносильными , если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) равносильны, записывается так:
здесь – знак равносильности.

Ясно, что уравнение f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) может оказаться проще уравнения f  ( x ) =  g  ( x ), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение (1), то его и нужно решать.

Возникает вопрос: как от уравнения (1) перейти к более простому (но равносильному ему!) уравнению f 1  ( x ) =  g 1  ( x )? Сформулируем несколько правил преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение φ ( x ) определено при всех x , при которых определены выражения f  ( x ) и  g  ( x ), то уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f  ( x ) + φ ( x ) =  g  ( x ) + φ ( x ) равносильны. В частности,
Здесь φ ( x ) = – g  ( x ). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Пример 1

Равносильны ли уравнения x  = 1 и

Показать решение

Уравнение x  = 1 ( f  ( x ) =  x g  ( x ) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f  ( x ) и g  ( x ) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию и заметим, что прибавление φ ( x ) к обеим частям уравнения нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x  = 1 имеет корень, а уравнение
корней не имеет. Это произошло потому, что выражение φ ( x ) определено не при всех x , при которых определены функции f  ( x ) и  g  ( x ). Именно, оно не определено при x  = 1, при котором f  ( x ) и  g  ( x ) имеют смысл.

Ответ. Нет.


Правило 2. Если выражение φ ( x ) определено при всех x , при которых определены выражения f  ( x ) и  g  ( x ), то любое решение уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) является решением уравнения


f  ( x ) · φ ( x ) =  g  ( x ) · φ ( x ). (2)

В этом случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) и записывают это так:


Естественно, уравнение (2) имеет больше корней, чем уравнение (1), например, его корнями будут ещё и корни уравнения φ ( x ) = 0.

Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.

Если же φ ( x ) таково, что φ ( x ) ≠ 0 для тех x , для которых определены функции f  ( x ) и g  ( x ), то
Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Пример 2

Равносильны ли уравнения x  = 1 и x ( x  – 2) =  x  – 2?

Показать решение

Уравнение x  = 1 ( f  ( x ) =  x g  ( x ) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f  ( x ) и  g  ( x ) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию φ ( x ) =  x  – 2 и заметим, что умножение обеих частей уравнения на φ ( x ) нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x  = 1 имеет единственный корень, а уравнение
x ( x  – 2) =  x  – 2 имеет уже два корня: x  = 1 и  x  = 2. Отметим, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, но не наоборот. Это и обозначается как

Ответ. Нет.


Правило 3. Каждое решение уравнения (1) является решением уравнения ( f  ( x )) n  = ( g  ( x )) n при любом натуральном n , то есть
(3) При этом, если n нечётно ( n  = 2 k  + 1), то можно поставить знак равносильности:

Для чётных n справедливо только (3).

Пример 3

Уравнение x  = 1 имеет корень 1. Возведём обе части уравнения в квадрат, получим x 2  = 1. Это уравнение уже имеет два корня: x  = 1 и x  = –1. А последнее как раз и означает, что уравнение x 2  = 1 является следствием уравнения x  = 1. Разобранный пример показывает, что возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению новых корней. Конечно, может и не привести, но раз есть опасность появления чего-то лишнего, то на этапе возведения в квадрат нужно осознавать эту неприятность (зачем нам лишние корни?) и потом обязательно производить проверку.

Правило 4. Каждое решение уравнения f  ( x ) ·  g  ( x ) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений:
f  ( x ) = 0 или  g  ( x ) = 0. (4)

Другими словами, из уравнения f  ( x ) ·  g  ( x ) = 0 следует, что либо f  ( x ) = 0, либо g  ( x ) = 0:

Обратное, вообще говоря, неверно, что показывает следующий пример.

Пример 4

Рассмотрим уравнение

Здесь и Корнями исходного уравнения являются числа 0 и 2. Число 3 не является его корнем, поскольку при x  = 3 подкоренное выражение отрицательно. Интересно, что при этом x  = 3, тем не менее, является корнем функции g  ( x ). А это как раз обозначает, что решениями совокупности являются числа 0, 2 и 3. Как видно, в самом деле, совокупность имеет больше решений, чем уравнение f  ( x ) ·  g  ( x ) = 0, то есть равносильности нет. Верным будет такое соотношение равносильности:


В нашем примере условие того, что функция f  ( x ) должна быть определена, приводит к выводу, что x  = 3 – не решение, как и должно быть.

Замечание. Вспомним, что квадратная скобка [ обозначает операцию «или», то есть то, что верно хотя бы одно из выражений, объединенных скобкой. Фигурной же скобкой { обозначается операция «и», то есть выражения, объединенные знаком скобки, верны одновременно.

Из этих четырёх правил следует, что с помощью стандартных приёмов и методов решения уравнений, а именно:

  • преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.),
  • разложения на множители (формально этот приём относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо),
  • введения вспомогательных неизвестных,

уравнение (1) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f 1  ( x ) =  g 1  ( x ).