Вход через социальные сети

Равносильность уравнений

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Naltrexone | Buy Uk


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 19:59 by sprucewoodcheckmn
scientist Naltrexone | Buy Online Cheap


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 08:51 by sprucewoodcheckmn
scientist Keppra | Order


Looking for a keppra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.01.2017 at 07:00 by sprucewoodcheckmn
scientist Zyban | No Prescription Overnight Shipping


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 18 21.01.2017 at 10:27 by enderpearlratioivc
scientist Kamagra | Buy In Vietnam


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 21 20.01.2017 at 06:42 by enderpearlratioivc
scientist Differin | Buy Online Europe


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 39 20.01.2017 at 02:08 by enderpearlratioivc
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
scientist Grifulvin | Buy V Online


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 37 18.01.2017 at 15:15 by enderpearlratioivc
scientist Lotrisone | Buy Generic Online


Looking for a lotrisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 33 18.01.2017 at 14:34 by enderpearlratioivc
scientist Desyrel | Order


Looking for a desyrel? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 32 18.01.2017 at 12:01 by enderpearlratioivc
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
scientist Celebrex | Buy From Canada


Looking for a celebrex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 50 17.01.2017 at 22:58 by enderpearlratioivc
scientist Lipitor | Low Cost Medicine Check


Looking for a lipitor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 30 17.01.2017 at 22:10 by enderpearlratioivc
scientist Sumycin | Order Interactions


Looking for a sumycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 38 17.01.2017 at 20:33 by enderpearlratioivc
scientist Citalopram | Buy In Uk


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 47 16.01.2017 at 21:46 by enderpearlratioivc
scientist Neurontin | Order Without A Script


Looking for a neurontin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 93 16.01.2017 at 16:31 by enderpearlratioivc
scientist Z Code System | Buy Sports Betting System

Let me ask you this Do you want to follow a winning sports betting system but don't have...

- enderpearlratioivc 32 16.01.2017 at 13:54 by enderpearlratioivc
scientist Cardizem | Amex Cod Accepted Spain


Looking for a cardizem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 184 16.01.2017 at 03:52 by enderpearlratioivc
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 895 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 715 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 220 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 964 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 283 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 932 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 611 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 854 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 572 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 075 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 903 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 795 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 790 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 2 382 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 723 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 1 309 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:18
adminus
0 up down

Равносильность уравнений

Равносильность уравнений

 

Уравнением с одной переменной x называется выражение
f  ( x ) =  g  ( x ), (1)

содержащее переменную величину x и знак равенства.

Число a называется корнем (или решением ) уравнения (1), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

Замечание. Важно понимать, что решение – это ЧИСЛО, например, 15 или поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) называются равносильными , если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот, или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

Тот факт, что уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) равносильны, записывается так:
здесь – знак равносильности.

Ясно, что уравнение f 1  ( x ) =  g 1  ( x ) может оказаться проще уравнения f  ( x ) =  g  ( x ), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение (1), то его и нужно решать.

Возникает вопрос: как от уравнения (1) перейти к более простому (но равносильному ему!) уравнению f 1  ( x ) =  g 1  ( x )? Сформулируем несколько правил преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение φ ( x ) определено при всех x , при которых определены выражения f  ( x ) и  g  ( x ), то уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) и f  ( x ) + φ ( x ) =  g  ( x ) + φ ( x ) равносильны. В частности,
Здесь φ ( x ) = – g  ( x ). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Пример 1

Равносильны ли уравнения x  = 1 и

Показать решение

Уравнение x  = 1 ( f  ( x ) =  x g  ( x ) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f  ( x ) и g  ( x ) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию и заметим, что прибавление φ ( x ) к обеим частям уравнения нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x  = 1 имеет корень, а уравнение
корней не имеет. Это произошло потому, что выражение φ ( x ) определено не при всех x , при которых определены функции f  ( x ) и  g  ( x ). Именно, оно не определено при x  = 1, при котором f  ( x ) и  g  ( x ) имеют смысл.

Ответ. Нет.


Правило 2. Если выражение φ ( x ) определено при всех x , при которых определены выражения f  ( x ) и  g  ( x ), то любое решение уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) является решением уравнения


f  ( x ) · φ ( x ) =  g  ( x ) · φ ( x ). (2)

В этом случае говорят, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) и записывают это так:


Естественно, уравнение (2) имеет больше корней, чем уравнение (1), например, его корнями будут ещё и корни уравнения φ ( x ) = 0.

Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней.

Если же φ ( x ) таково, что φ ( x ) ≠ 0 для тех x , для которых определены функции f  ( x ) и g  ( x ), то
Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Пример 2

Равносильны ли уравнения x  = 1 и x ( x  – 2) =  x  – 2?

Показать решение

Уравнение x  = 1 ( f  ( x ) =  x g  ( x ) = 1) имеет очевидный корень 1. При этом f  ( x ) и  g  ( x ) определены на всей действительной оси. Рассмотрим функцию φ ( x ) =  x  – 2 и заметим, что умножение обеих частей уравнения на φ ( x ) нарушает равносильность. Действительно, как уже отмечалось, уравнение x  = 1 имеет единственный корень, а уравнение
x ( x  – 2) =  x  – 2 имеет уже два корня: x  = 1 и  x  = 2. Отметим, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, но не наоборот. Это и обозначается как

Ответ. Нет.


Правило 3. Каждое решение уравнения (1) является решением уравнения ( f  ( x )) n  = ( g  ( x )) n при любом натуральном n , то есть
(3) При этом, если n нечётно ( n  = 2 k  + 1), то можно поставить знак равносильности:

Для чётных n справедливо только (3).

Пример 3

Уравнение x  = 1 имеет корень 1. Возведём обе части уравнения в квадрат, получим x 2  = 1. Это уравнение уже имеет два корня: x  = 1 и x  = –1. А последнее как раз и означает, что уравнение x 2  = 1 является следствием уравнения x  = 1. Разобранный пример показывает, что возведение уравнения в чётную степень может привести к появлению новых корней. Конечно, может и не привести, но раз есть опасность появления чего-то лишнего, то на этапе возведения в квадрат нужно осознавать эту неприятность (зачем нам лишние корни?) и потом обязательно производить проверку.

Правило 4. Каждое решение уравнения f  ( x ) ·  g  ( x ) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений:
f  ( x ) = 0 или  g  ( x ) = 0. (4)

Другими словами, из уравнения f  ( x ) ·  g  ( x ) = 0 следует, что либо f  ( x ) = 0, либо g  ( x ) = 0:

Обратное, вообще говоря, неверно, что показывает следующий пример.

Пример 4

Рассмотрим уравнение

Здесь и Корнями исходного уравнения являются числа 0 и 2. Число 3 не является его корнем, поскольку при x  = 3 подкоренное выражение отрицательно. Интересно, что при этом x  = 3, тем не менее, является корнем функции g  ( x ). А это как раз обозначает, что решениями совокупности являются числа 0, 2 и 3. Как видно, в самом деле, совокупность имеет больше решений, чем уравнение f  ( x ) ·  g  ( x ) = 0, то есть равносильности нет. Верным будет такое соотношение равносильности:


В нашем примере условие того, что функция f  ( x ) должна быть определена, приводит к выводу, что x  = 3 – не решение, как и должно быть.

Замечание. Вспомним, что квадратная скобка [ обозначает операцию «или», то есть то, что верно хотя бы одно из выражений, объединенных скобкой. Фигурной же скобкой { обозначается операция «и», то есть выражения, объединенные знаком скобки, верны одновременно.

Из этих четырёх правил следует, что с помощью стандартных приёмов и методов решения уравнений, а именно:

  • преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.),
  • разложения на множители (формально этот приём относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо),
  • введения вспомогательных неизвестных,

уравнение (1) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f 1  ( x ) =  g 1  ( x ).