Вход через социальные сети

Общие приёмы решения уравнений

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Naltrexone | Buy Uk


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 19:59 by sprucewoodcheckmn
scientist Naltrexone | Buy Online Cheap


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 08:51 by sprucewoodcheckmn
scientist Keppra | Order


Looking for a keppra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.01.2017 at 07:00 by sprucewoodcheckmn
scientist Zyban | No Prescription Overnight Shipping


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 18 21.01.2017 at 10:27 by enderpearlratioivc
scientist Kamagra | Buy In Vietnam


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 21 20.01.2017 at 06:42 by enderpearlratioivc
scientist Differin | Buy Online Europe


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 39 20.01.2017 at 02:08 by enderpearlratioivc
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
scientist Grifulvin | Buy V Online


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 37 18.01.2017 at 15:15 by enderpearlratioivc
scientist Lotrisone | Buy Generic Online


Looking for a lotrisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 33 18.01.2017 at 14:34 by enderpearlratioivc
scientist Desyrel | Order


Looking for a desyrel? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 32 18.01.2017 at 12:01 by enderpearlratioivc
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
scientist Celebrex | Buy From Canada


Looking for a celebrex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 50 17.01.2017 at 22:58 by enderpearlratioivc
scientist Lipitor | Low Cost Medicine Check


Looking for a lipitor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 30 17.01.2017 at 22:10 by enderpearlratioivc
scientist Sumycin | Order Interactions


Looking for a sumycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 38 17.01.2017 at 20:33 by enderpearlratioivc
scientist Citalopram | Buy In Uk


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 47 16.01.2017 at 21:46 by enderpearlratioivc
scientist Neurontin | Order Without A Script


Looking for a neurontin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 93 16.01.2017 at 16:31 by enderpearlratioivc
scientist Z Code System | Buy Sports Betting System

Let me ask you this Do you want to follow a winning sports betting system but don't have...

- enderpearlratioivc 32 16.01.2017 at 13:54 by enderpearlratioivc
scientist Cardizem | Amex Cod Accepted Spain


Looking for a cardizem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 184 16.01.2017 at 03:52 by enderpearlratioivc
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 896 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 715 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 220 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 964 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 283 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 932 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 611 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 854 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 572 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 075 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 903 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 795 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 790 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 2 382 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 723 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 1 309 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:34
adminus
0 up down

Решение уравнения

Решение уравнения – это процесс, состоящий главным образом в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием.

Думаю, имеет смысл остановиться на самом уравнении. Обычно, в записи уравнения участвуют цифры и буквы латинского алфавита (a,b,c,d,x,y...). Что обозначают эти буквы? Оказывается, любые цифры, то есть числа. В связи с этим возникает вопрос: для чего использовать конкретные числа в исходном уравнении, если все буквы и так представляют собой любые числа? Наверное, чтобы запутать детей, пытающихся решить уравнение. Единственным внятным объяснением наличия цифр в дополнение к буквам можно считать появление их в результате преобразований при сложении одинаковых буквенных слагаемых. В этом случае цифры появляются для упрощения записи уравнения. Итак, с буквами и цифрами понятно — это одно и то же, только буквы являются более широким понятием и каждая буква в уравнении подразумевает, что на её месте может быть любое число.

Следует, также, помнить, что любая буква представляет собой только одно значение в этом уравнении. То есть буква не может в одном слагаемом иметь, например, значение 5, а в другом месте того же уравнения значение 2. Может быть это кому-то и очевидно прямо с детства, но большинству — нет.

Далее, надо вспомнить или выучить два основных правила арифметики:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется (для любого количесва слагаемых), то есть: a+b+c=a+c+b=c+a+b=b+c+a

От перемены мест сомножителей произведение не меняется (для любого количесва сомножителей), то есть: abc=acb=cab=bca. Обычно, в математике знак умножения обозначается либо точкой, либо не обозначается вообще. Если две цифры подряд обозначают одно двузначное число, то две буквы подряд обозначают произведение этих двух букв, то есть тех двух любых чисел, которые могут стоять на месте букв. Эти числа могут быть и двузначные и трёхзначные и стозначные, не играет роли. Эти числа могут быть как положительные, так и отрицательные.

Следующий важный момент — каждое слагаемое в уравнении имеет знак плюс или минус. Перед первым слагаемым, обычно, знака нет. Это значит, что знак плюс. Если знак минус, то он указывается явно.

Например: abc-dc=-dc+abc.

Это очень важно при раскрытии скобок и при переносе слагаемых на другую (относительно знака равенства) сторону уравнения.

Далее, правила приведения подобных. Если в уравнении есть одинаковые слагаемые выражения, то их можно и нужно складывать или вычитать.

Напрмер:

ab+ba=ba+ab=ab+ab=ba+ba=2ab=2ba

ab-ba=ba-ab=ab-ab=ba-ba=0

Количество сомножителей в каждом слагаемом может быть любым, включая цифры.

На основании этих правил выполняются тождественные преобразования уравнения.


Перенос слагаемых (выражений) уравнения

Перенос слагаемых (выражений) уравнения с одной стороны равенства в другую (относительно знака равенства) выполняется с противоположными знаками. То есть знак плюс надо сменить на минус, а минус на плюс. Если перед первым слагаемым знака нет, то знак считается плюсом. Если при этом слагаемых на одной из сторон не осталось, то это значит, что та сторона равна нулю, это так и записывают. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »:

25x^2+30x+9=12x+25

25x^2+30x+9-12x-25=0

после приведения подобных получим:

25x^2+(30-12)x+(9-25)=0

25x^2+18x-16=0



Раскрытие скобок

Как раскрыть произведение двух выражений, каждое из которых заключено в скобки? Для этого надо поочерёдно все слагаемые в первых скобках умножить на все слагаемые во вторых скобках. Можно и наоборот, но главное в этом деле выработать для себя методику, чтобы не пропустить пары перемножаемых слагаемых. В результате раскрытия скобок получим сумму произведений выражений, стоявших ранее в скобках.

Например: (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd.

Здесь мы брали последовательно по одному слагаемые из вторых скобок и перемножали на все слагаемые из первых скобок, то есть, сначала (a+b) умножили на «с», а затем (a+b) умножили на «-d». Обратите внимание, что «-d» взяли вместе с его знаком, как и «+с». Можно было перемножать наоборот, то есть брать слагаемые из первых скобок и умножать на все слагаемые заключённые во вторые скобки. Результат от этого не изменился бы: (a+b)(c-d)=ac-ad+bc-bd.

Вместо каждой буквы в этом примере может стоять произведение из любого количества букв и цифр, правила от этого не меняются. Если в скобках находится другое количество слагаемых — от этого принцип тоже не меняется: поочерёдно все слагаемые одной скобки умножаем на слагаемые другой скобки.

Например:

(4ad+3cy)(2sk-3fg-5hq)=4ad2sk+3cy2sk-4ad3fg-3cy3fg-4ad5hq-3cy5hq.

Теперь можем перемножить цифры во всех слагаемых выражениях:

4ad2sk+3cy2sk-4ad3fg-3cy3fg-4ad5hq-3cy5hq=8adsk+6cysk-12adfg-9cyfg-20adhq-15cyhq

Таким образом можно раскрыть скобки в каждой половине уравнения. В примере сознательно все буквы выбраны разные, чтобы показать принцип. Если буквы одинаковые, то они перемножаются так же, но в результате записываются разными степенями (в зависимости от количества умножений).

Для выражений в скобках без произведения скобки можно просто убрать, при этом у каждого слагаемого, заключённого ранее в скобки, может измениться только знак. Если перед скобкой стоял знак плюс, то знак всех слагаемых не меняется, если стоял минус — тогда знаки всех слагаемых надо сменить на противоположные, то есть плюс сменить на минус, а минус на плюс. Например: (a+b)-(c-d)+(-g+f)=a+b-c+d-g+f

Ну вот, теперь можно перейти непосредственно к уравнениям.

Например, уравнение (5x+3)^2=12x+25 можно заменить следующим равносильным: 25x^2+30x+9=12x+25 .

Здесь мы просто раскрыли скобки по общей формуле

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=aa+ba+ab+bb=a^2+2ab+b^2

Если взять конкретно пример, то имеем

(5x+3)^2=(5x+3)(5x+3)=5x*5x+3*5x+5x*3+3*3=25x^2+15x+15x+9=25x^2+30x+9

Здесь «*» обозначает знак умножения


Умножение или деление обеих частей уравнения

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так обе часть нового уравнения станут равны нулю при умножении на ноль обеих частей уравнения. Делить же на ноль вообще нельзя, поскольку результатом такого деления будет бесконечность. В компьютерах такая операция приводит к переполнению разрядной сетки.

Пример: Уравнение x–1=0 имеет единственный корень x=1.

Умножим обе его части на x–3, мы получим уравнение

(x–1)(x–3)=0, у которого два корня: x=1 и x=3.

Последнее значение не является корнем заданного уравнения

x–1=0. Это, так называемый, посторонний корень. Он появился потому, что таким умножением превратили линейное уравнение в квадратичное. Таких операций делать не следует, посколько увеличение показателя степени обычно увеличивает неопределённость, то есть увеличивает количество возможных решений.

И наоборот, деление может привести к потере корня.

Так в нашем случае, если (x–1)(x–3)=0 является исходным уравнением,

то корень x=3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x–3.

В 9x^2-3x-6=0 уравнении мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

3x^2-x-2=0

Исходное уравнение:

(3x+2)^2=15x+10

Раскроем скобки в левой части:

9x^2+12x+4=15x+10

Перенесём слагаемые правой части в левую часть со сменой знака на противоположный:

9x^2+12x+4-15x-10=0

Приведём подобные:

9x^2+(12-15)x+(4-10)=0

9x^2-3x-6=0

Теперь можем все слагаемые разделить на 3:

3x^2-x-2=0

Это уравнение равносильно исходному:

(3x+2)^2=15x+10




Возведение в степень(извлечение корня) уравнения

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени.

Необходимо помнить, что:

возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;

неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

Примеры. Уравнение 7x=35 имеет единственный корень x=5.

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение:

49x^2=1225

имеющее два корня: x=5 и x=–5.

Последнее значение является посторонним корнем.

Это был пример того, как делать не надо.)))))


Теперь представим, что наше исходное правильное уравнение:

49x^2=1225

Это уже совсем другой пример, не связанный с первым, хоть и числа используются те же.

Неправильное извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

49x^2=1225

даёт в результате

7x=35,

и мы теряем корень x=–5 — так делать нельзя.

Правильное извлечение квадратного корня приводит к уравнению: |7x|=35, а следовательно, к двум случаям:

7x=35, тогда x=5;

7x=35, тогда x=–5.

Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.

Что значит правильно извлечь корень? Это значит, учитывая знак. В чётной степени и положительное и отрицательное число даёт положительный результат.