Вход через социальные сети

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 483 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Тема форума Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 1 118 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Тема форума Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 835 27.06.2017 at 22:33 by piven
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 28 611 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Тема форума Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 3 026 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 587 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
Тема форума решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 720 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Тема форума Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 729 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Тема форума Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 229 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
Тема форума О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 5 339 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
Тема форума олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 992 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Тема форума Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 006 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Тема форума Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 6 907 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Тема форума Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 133 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 859 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 859 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Тема форума Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 297 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Тема форума Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 255 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 572 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 227 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 965 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 999 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 814 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 485 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 2 125 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Нахождение координат центра окружности и конца дуги в 90 градусов. Помогите.

Дано: отрезок А(85;-20) В(-5;15)...

1 / - lexfromtver 483 30.06.2017 at 19:16 by zykov
Найти координату третьей точки

Столкнулся в жизни с такой проблемой, как найти примерные координаты третьей точки, если...

10 / - theanton3399 1 118 30.06.2017 at 13:38 by vipakoz
Математики не умеют логически вычитать из уменьшаемого

Автор темы, к сожалению,...
4 / - piven 835 27.06.2017 at 22:33 by piven
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
13 / - Ellipsoid 28 611 30.05.2017 at 18:24 by Dredd
Задачи c натуральными числами
Есть задача:

Доказать, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность...
3 / - МУХ 3 026 30.05.2017 at 18:19 by echss01
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 587 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 720 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 729 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 1 229 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 5 339 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 992 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 1 006 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 6 907 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 1 133 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 859 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 859 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 2 297 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 1 255 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 1 572 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 1 227 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 965 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 999 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 814 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 485 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 2 125 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:17
adminus
0 up down

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента


Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения .

1
Рисунок 2.4.2.1

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A , отвечающую этому углу, относительно прямой y  =  x . Пусть она при отражении перейдёт в точку B . Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y  =  x , то угол между осью ординат и радиус-вектором равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором равен Пусть координаты радиус-вектора будут ( x y ), а координаты радиус-вектора будут ( x' y' ). Так как при отражении относительно прямой y  =  x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора станет ординатой радиус-вектора и наоборот. Следовательно, x  =  y' y  =  x' . Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x  = cos α,  y  = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора

Так как x  =  y' и y  =  x' , то получаем:

Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны ( x ; – y ). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно,

Отсюда легко получить, что

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах и угол α на –α. Имеем

Итак, доказано, что

Выполним следующие преобразования:

Итак,

Аналогично доказываются формулы:

Из последних формул следует, что





Учтём теперь, что
   

Тогда из вышеприведённых формул следует:
   
  
  

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

Таблица 2.4.2.1
Пример 1

Упростите выражение:

Показать решение

Имеем:

Ответ:  2 cos  x .



Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

2
Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA  = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC . Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA  = 1, OC  = cos α, CA  = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство



Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством .

Отсюда следует, что
  

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

Пример 2

Найдите sin  x и cos  x , если и

Показать решение

Так как то sin  x  < 0 и cos  x  < 0. Имеем:

Ответ.  


Пример 3

Упростить выражение:

Показать решение

Ответ:  



Формулы сложения
3
Рисунок 2.4.2.3

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению .
поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.

2. Через координаты . Имеем:

Итак, получена следующая формула сложения:

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.

Имеем:
Значит,

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.

Из этих формул непосредственно следует, что

Последняя формула справедлива при



Эта формула справедлива при

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:

Последняя формула справедлива при



Эта формула справедлива при

Пример 4

Упростите выражения:

1)

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) tg ( x  –  y ); 2) tg  y .



Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β.
sin 2α = 2 sin α cos α;


Эти формулы называются формулами двойного угла .

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим:


Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента .

Совершенно аналогично получается формула
Полученные формулы называются формулами кратного аргумента . Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Пример 5

Вычислите tg  x , если

Показать решение

Так как то Имеем:

Делаем замену t  = tg  x и получаем уравнение корни которого Так как то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно,

Ответ.  


Пример 6

Упростите выражение

Показать решение

Ответ. −2.



Универсальная подстановка

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде:

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается
Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем:
Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде:



Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через а именно:



Говорят, что замена является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.


Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла
следуют формулы понижения степени :


Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на то получатся формулы половинного аргумента :



Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно:

Совершенно аналогично получается формула


Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения:

Сложим их:
Вычтем их:

Если рассмотреть две другие формулы сложения:

и сложить их, то получится

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму .


Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде

Сделаем замену переменных: x  = α – β,  y  = α + β. Из этой замены следует, что и и последняя формула имеет вид

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение .


Пример 7

Упростите выражения

1)

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) 2) 1.