Вход через социальные сети

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Erythromycin | Buy For Cats


Looking for a erythromycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 2 27.05.2017 at 10:35 by featuresrawyw
scientist Cipralex | Purchase Withdrawal Symptoms


Looking for a cipralex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 1 27.05.2017 at 09:31 by leversdevioustwa
scientist Cozaar | Purchase Generic


Looking for a cozaar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 2 27.05.2017 at 08:19 by leversdevioustwa
scientist Celexa | Order Online


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 3 27.05.2017 at 06:01 by leversdevioustwa
scientist Abilify | Buy Australia


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 1 27.05.2017 at 05:59 by featuresrawyw
scientist Ventolin | Buy Online Usa


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 9 25.05.2017 at 21:13 by leversdevioustwa
scientist Elavil | Buy Online Cheap


Looking for a elavil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 10 25.05.2017 at 09:54 by leversdevioustwa
scientist Noroxin | Order Discontinued


Looking for a noroxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 17 23.05.2017 at 12:33 by featuresrawyw
scientist Florinef | Buy Cheap


Looking for a florinef? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 32 22.05.2017 at 23:26 by leversdevioustwa
scientist Remeron | Buy Mirtazapine


Looking for a remeron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 22 22.05.2017 at 23:16 by featuresrawyw
scientist Zanaflex | Purchase


Looking for a zanaflex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 42 22.05.2017 at 19:24 by leversdevioustwa
scientist Prednisolone | Purchase 5Mg Tablets


Looking for a prednisolone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 23 22.05.2017 at 19:23 by featuresrawyw
scientist Aspirin | Buy Malaysia


Looking for a aspirin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 34 22.05.2017 at 13:34 by leversdevioustwa
scientist Dihydrocodeine | Purchase Online Uk


Looking for a dihydrocodeine? Not a problem!

Guaranteed...

- leversdevioustwa 35 22.05.2017 at 10:11 by leversdevioustwa
scientist Temovate | Purchase Generic


Looking for a temovate? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 25 22.05.2017 at 10:10 by featuresrawyw
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
9 / - Ellipsoid 24 805 21.05.2017 at 13:55 by GEPIDIUM
scientist Zestoretic | Order Drug


Looking for a zestoretic? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 59 19.05.2017 at 19:01 by featuresrawyw
scientist Robaxin | Buy Canada


Looking for a robaxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 56 19.05.2017 at 14:20 by featuresrawyw
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 112 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
scientist Celexa | Buy Uk


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 66 18.05.2017 at 06:28 by featuresrawyw
scientist Clindamycin | Order Online


Looking for a clindamycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 92 18.05.2017 at 06:28 by featuresrawyw
scientist Cleocin | Buy Orlistat In Malaysia


Looking for a cleocin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 78 16.05.2017 at 16:18 by featuresrawyw
scientist Xanax | Buy Green Online


Looking for a xanax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 81 15.05.2017 at 19:25 by featuresrawyw
scientist Xanax | Buy Alternatives


Looking for a xanax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 101 14.05.2017 at 14:20 by featuresrawyw
scientist Ventolin | Buy Singapore


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 105 14.05.2017 at 05:38 by featuresrawyw
  • 171страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
9 / - Ellipsoid 24 805 21.05.2017 at 13:55 by GEPIDIUM
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 112 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 257 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 269 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 480 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 2 586 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 508 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 464 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 3 872 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 620 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 111 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 104 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 371 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 765 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 978 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 747 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 282 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 299 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 175 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 011 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 386 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 4 166 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 962 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 7 150 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 4 417 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:17
adminus
0 up down

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента


Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения .

1
Рисунок 2.4.2.1

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A , отвечающую этому углу, относительно прямой y  =  x . Пусть она при отражении перейдёт в точку B . Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y  =  x , то угол между осью ординат и радиус-вектором равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором равен Пусть координаты радиус-вектора будут ( x y ), а координаты радиус-вектора будут ( x' y' ). Так как при отражении относительно прямой y  =  x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора станет ординатой радиус-вектора и наоборот. Следовательно, x  =  y' y  =  x' . Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x  = cos α,  y  = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора

Так как x  =  y' и y  =  x' , то получаем:

Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны ( x ; – y ). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно,

Отсюда легко получить, что

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах и угол α на –α. Имеем

Итак, доказано, что

Выполним следующие преобразования:

Итак,

Аналогично доказываются формулы:

Из последних формул следует, что





Учтём теперь, что
   

Тогда из вышеприведённых формул следует:
   
  
  

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

Таблица 2.4.2.1
Пример 1

Упростите выражение:

Показать решение

Имеем:

Ответ:  2 cos  x .



Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

2
Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA  = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC . Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA  = 1, OC  = cos α, CA  = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство



Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством .

Отсюда следует, что
  

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

Пример 2

Найдите sin  x и cos  x , если и

Показать решение

Так как то sin  x  < 0 и cos  x  < 0. Имеем:

Ответ.  


Пример 3

Упростить выражение:

Показать решение

Ответ:  



Формулы сложения
3
Рисунок 2.4.2.3

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению .
поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.

2. Через координаты . Имеем:

Итак, получена следующая формула сложения:

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.

Имеем:
Значит,

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.

Из этих формул непосредственно следует, что

Последняя формула справедлива при



Эта формула справедлива при

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:

Последняя формула справедлива при



Эта формула справедлива при

Пример 4

Упростите выражения:

1)

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) tg ( x  –  y ); 2) tg  y .



Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β.
sin 2α = 2 sin α cos α;


Эти формулы называются формулами двойного угла .

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим:


Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента .

Совершенно аналогично получается формула
Полученные формулы называются формулами кратного аргумента . Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Пример 5

Вычислите tg  x , если

Показать решение

Так как то Имеем:

Делаем замену t  = tg  x и получаем уравнение корни которого Так как то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно,

Ответ.  


Пример 6

Упростите выражение

Показать решение

Ответ. −2.



Универсальная подстановка

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде:

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается
Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем:
Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде:



Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через а именно:



Говорят, что замена является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.


Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла
следуют формулы понижения степени :


Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на то получатся формулы половинного аргумента :



Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно:

Совершенно аналогично получается формула


Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения:

Сложим их:
Вычтем их:

Если рассмотреть две другие формулы сложения:

и сложить их, то получится

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму .


Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде

Сделаем замену переменных: x  = α – β,  y  = α + β. Из этой замены следует, что и и последняя формула имеет вид

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение .


Пример 7

Упростите выражения

1)

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) 2) 1.