Вход через социальные сети

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Naltrexone | Buy Uk


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 19:59 by sprucewoodcheckmn
scientist Naltrexone | Buy Online Cheap


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 08:51 by sprucewoodcheckmn
scientist Keppra | Order


Looking for a keppra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.01.2017 at 07:00 by sprucewoodcheckmn
scientist Zyban | No Prescription Overnight Shipping


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 18 21.01.2017 at 10:27 by enderpearlratioivc
scientist Kamagra | Buy In Vietnam


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 21 20.01.2017 at 06:42 by enderpearlratioivc
scientist Differin | Buy Online Europe


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 39 20.01.2017 at 02:08 by enderpearlratioivc
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
scientist Grifulvin | Buy V Online


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 37 18.01.2017 at 15:15 by enderpearlratioivc
scientist Lotrisone | Buy Generic Online


Looking for a lotrisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 33 18.01.2017 at 14:34 by enderpearlratioivc
scientist Desyrel | Order


Looking for a desyrel? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 32 18.01.2017 at 12:01 by enderpearlratioivc
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
scientist Celebrex | Buy From Canada


Looking for a celebrex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 50 17.01.2017 at 22:58 by enderpearlratioivc
scientist Lipitor | Low Cost Medicine Check


Looking for a lipitor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 30 17.01.2017 at 22:10 by enderpearlratioivc
scientist Sumycin | Order Interactions


Looking for a sumycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 38 17.01.2017 at 20:33 by enderpearlratioivc
scientist Citalopram | Buy In Uk


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 47 16.01.2017 at 21:46 by enderpearlratioivc
scientist Neurontin | Order Without A Script


Looking for a neurontin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 93 16.01.2017 at 16:31 by enderpearlratioivc
scientist Z Code System | Buy Sports Betting System

Let me ask you this Do you want to follow a winning sports betting system but don't have...

- enderpearlratioivc 32 16.01.2017 at 13:54 by enderpearlratioivc
scientist Cardizem | Amex Cod Accepted Spain


Looking for a cardizem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 184 16.01.2017 at 03:52 by enderpearlratioivc
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 895 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 715 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 220 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 964 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 283 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 932 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 611 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 854 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 572 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 075 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 903 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 795 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 790 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 2 382 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 723 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 1 309 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:17
adminus
0 up down

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента


Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения .

1
Рисунок 2.4.2.1

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A , отвечающую этому углу, относительно прямой y  =  x . Пусть она при отражении перейдёт в точку B . Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y  =  x , то угол между осью ординат и радиус-вектором равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором равен Пусть координаты радиус-вектора будут ( x y ), а координаты радиус-вектора будут ( x' y' ). Так как при отражении относительно прямой y  =  x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора станет ординатой радиус-вектора и наоборот. Следовательно, x  =  y' y  =  x' . Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x  = cos α,  y  = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора

Так как x  =  y' и y  =  x' , то получаем:

Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны ( x ; – y ). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно,

Отсюда легко получить, что

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах и угол α на –α. Имеем

Итак, доказано, что

Выполним следующие преобразования:

Итак,

Аналогично доказываются формулы:

Из последних формул следует, что





Учтём теперь, что
   

Тогда из вышеприведённых формул следует:
   
  
  

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

Таблица 2.4.2.1
Пример 1

Упростите выражение:

Показать решение

Имеем:

Ответ:  2 cos  x .



Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

2
Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA  = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC . Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA  = 1, OC  = cos α, CA  = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство



Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством .

Отсюда следует, что
  

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

Пример 2

Найдите sin  x и cos  x , если и

Показать решение

Так как то sin  x  < 0 и cos  x  < 0. Имеем:

Ответ.  


Пример 3

Упростить выражение:

Показать решение

Ответ:  



Формулы сложения
3
Рисунок 2.4.2.3

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению .
поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.

2. Через координаты . Имеем:

Итак, получена следующая формула сложения:

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.

Имеем:
Значит,

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.

Из этих формул непосредственно следует, что

Последняя формула справедлива при



Эта формула справедлива при

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:

Последняя формула справедлива при



Эта формула справедлива при

Пример 4

Упростите выражения:

1)

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) tg ( x  –  y ); 2) tg  y .



Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β.
sin 2α = 2 sin α cos α;


Эти формулы называются формулами двойного угла .

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим:


Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента .

Совершенно аналогично получается формула
Полученные формулы называются формулами кратного аргумента . Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Пример 5

Вычислите tg  x , если

Показать решение

Так как то Имеем:

Делаем замену t  = tg  x и получаем уравнение корни которого Так как то нас интересует только отрицательный корень. Следовательно,

Ответ.  


Пример 6

Упростите выражение

Показать решение

Ответ. −2.



Универсальная подстановка

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде:

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается
Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем:
Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде:



Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через а именно:



Говорят, что замена является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.


Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла
следуют формулы понижения степени :


Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на то получатся формулы половинного аргумента :



Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно:

Совершенно аналогично получается формула


Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения:

Сложим их:
Вычтем их:

Если рассмотреть две другие формулы сложения:

и сложить их, то получится

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму .


Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде

Сделаем замену переменных: x  = α – β,  y  = α + β. Из этой замены следует, что и и последняя формула имеет вид

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение .


Пример 7

Упростите выражения

1)

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) 2) 1.