Вход через социальные сети

тригонометрия

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Flomax | Buy Tamsulosin 0


Looking for a flomax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 10 26.03.2017 at 11:41 by groanstrawln
scientist Famvir | No Prescription Fedex


Looking for a famvir? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 3 26.03.2017 at 11:04 by groanstrawln
scientist Erythromycin | Prescription Cheap Buy


Looking for a erythromycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 26.03.2017 at 11:03 by groanstrawln
scientist Ditropan | Get Visa Without Prescription


Looking for a ditropan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 5 26.03.2017 at 07:42 by groanstrawln
scientist Diovan | Order Online Saturday Delivery


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 6 26.03.2017 at 07:41 by groanstrawln
scientist Dramamine | Buy Online Uk


Looking for a dramamine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 8 26.03.2017 at 07:39 by produtobutteryzt
scientist Differin | Cheapest Online Delivery


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 5 26.03.2017 at 06:42 by groanstrawln
scientist Olanzapine | Purchase Medication


Looking for a olanzapine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 26.03.2017 at 06:40 by produtobutteryzt
scientist Fosamax | Purchase Osteoporosis


Looking for a fosamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 26.03.2017 at 01:49 by produtobutteryzt
scientist Suprax | Buy 400 Mg Online


Looking for a suprax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 15 25.03.2017 at 23:43 by produtobutteryzt
scientist Altace | Order Side


Looking for a altace? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 25.03.2017 at 21:40 by produtobutteryzt
scientist Prinivil | Purchase Manufacturer


Looking for a prinivil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 10 25.03.2017 at 13:00 by produtobutteryzt
scientist Aldactone | Purchase Online Without Prescription


Looking for a aldactone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 7 25.03.2017 at 00:17 by groanstrawln
scientist Accutane | Order Pharmacy


Looking for a accutane? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 10 24.03.2017 at 23:02 by groanstrawln
scientist Proventil | To Buy


Looking for a proventil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 16 24.03.2017 at 19:13 by produtobutteryzt
scientist Ditropan | Purchase


Looking for a ditropan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 12 24.03.2017 at 18:10 by produtobutteryzt
scientist Clonazepam | Purchase Online Seho1p


Looking for a clonazepam? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 10 24.03.2017 at 15:09 by paleanglodvo
scientist Lamisil | Purchase 250Mg Tablets


Looking for a lamisil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 10 24.03.2017 at 13:56 by produtobutteryzt
scientist Cyklokapron | Buy Price


Looking for a cyklokapron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 25 24.03.2017 at 13:55 by produtobutteryzt
scientist Effexor | Xr Canada Cheap


Looking for a effexor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 26 24.03.2017 at 11:21 by groanstrawln
scientist Bentyl | Best Price Pharmaceutical Visa


Looking for a bentyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 17 24.03.2017 at 11:20 by paleanglodvo
scientist Avapro | Low Cost Aprovel Visa


Looking for a avapro? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 28 24.03.2017 at 10:43 by paleanglodvo
scientist Cleocin | Buy Cheap Canada Online


Looking for a cleocin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 17 24.03.2017 at 04:27 by paleanglodvo
scientist Ambien | Mail Order Cheap


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 14 24.03.2017 at 02:10 by paleanglodvo
scientist Vasotec | Coumadin Purchase Buy Fedex


Looking for a vasotec? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 12 24.03.2017 at 01:26 by produtobutteryzt
  • 162страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 127 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 153 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 1 978 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 237 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 615 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 587 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 762 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 400 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 575 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 399 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 767 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 810 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 726 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 622 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 890 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 801 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 163 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 848 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 041 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 8 025 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 856 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 134 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 538 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 158 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 458 27.09.2016 at 02:25 by zam2
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:17
adminus
0 up down

тригонометрия

Тригонометрические выражения

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Пусть одна сторона угла α с вершиной в начале координат O идёт по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. Из геометрии известно, что отношение длины дуги l , на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла:

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. Говорят, что угол равен определённому числу радиан. Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу. В самом деле: Обозначение радиана – «рад». Так как длина всей окружности радиуса R равна 2π R , то всей окружности соответствует угол радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует градусов:

И наоборот,

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:

и от радианного измерения к градусному:

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = π рад пишут просто 180° = π.

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Угол, градусы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Угол, радианы 0 π Таблица 2.4.1.1
Пример 1

Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2°; 2) 225°.

Показать решение

1)

2)

Ответ. 1) 2)


Снова рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Как известно, координатные оси делят окружность на четыре дуги, которые называют четвертями .

1
Рисунок 2.4.1.1.

Рассмотрим произвольный угол α. Изобразим его как угол поворота радиус-вектора против часовой стрелки. При таком повороте точка A  ( R ; 0) перейдёт в некоторую точку B  ( x y ) на этой окружности, при этом (α может быть больше не только 180°, но и больше 360°). В зависимости от того, в какой четверти лежит точка B , угол α называется углом этой четверти.

2
Рисунок 2.4.1.2

Докажем, что отношения и не зависят от величины радиуса R . Действительно, выберем на отрезке OA точку такую, что Построим окружность с центром в начале координат радиуса Построенная окружность пересекает радиус-вектор в точке Так как векторы и коллинеарны и одинаково направлены, то

Однако равные векторы имеют равные координаты, следовательно,

Откуда следует после деления обеих частей последних равенств на R 1, что

Итак, для любого угла поворота отношение координат радиус-вектора к его длине не зависит от этой длины радиус-вектора. Следовательно, отношения и характеризуют не окружность, а лишь угол поворота. Значит, для того, чтобы рассмотреть основные свойства этих отношений, можно взять окружность любого радиуса, например, R  = 1. Так мы и сделаем. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат называется тригонометрической окружностью .

Модель 2.6. Координатная окружность

Ввиду всего вышесказанного, рассмотренные отношения и пр. как характеристики только угла (но не окружности) удобно как-либо обозначить. Введём несколько ключевых определений.

 

Косинусом угла α называется абсцисса x точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.
cos α =  x .

Модель 2.8. Функция y  = cos  x
 

Синусом угла α называется ордината y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.
sin α =  y .

Модель 2.7. Функция y  = sin  x
 

Тангенсом угла α называется отношение ординаты y к абсциссе x точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.

Модель 2.9. Функция y  = tg  x
 

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x к ординате y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.

Модель 2.10. Функция y  = ctg  x

Ясно, что для данного угла α функции sin α, cos α, tg α и  ctg α, которые называются тригонометрическими функциями , определены однозначно (поскольку каждому углу соответствует единственная точка на тригонометрической окружности). Однако если функции sin α и  cos α определены для любого угла α, то функции tg α и  ctg α определены только для тех углов, для которых не равен нулю знаменатель дробей и Значит, tg α не определён для углов вида где  ctg α не определён для углов вида

Поскольку синус по определению равен ординате точки на единичной окружности, а косинус − абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

Функция Знаки тригонометрических функций по четвертям I II III IV sin α + + − − cos α + − − + tg α + − + − ctg α + − + − Таблица 2.4.1.2
Вычисление тригонометрических функций некоторых углов
3
Рисунок 2.4.1.3.

Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов. Конец радиус-вектора, отвечающего углу 0°, точка A , имеет координаты (1; 0). Поэтому cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0, ctg 0° не определён. Совершенно аналогично рассматриваются точки B  (0; 1),  C  (–1; 0)  и   D  (0; –1), что даёт:

  • sin 90° = 1, cos 90° = 0, ctg 90° = 0, tg 0° не определён.

  • sin 180° = 0, cos 180° = –1, tg 180° = 0, ctg 180° не определён.

  • sin 270° = –1, cos 270° = 0, ctg 270° = 0, tg 270° не определён.

Данные нами определения совпадают для острых углов с определениями тригонометрических функций в геометрии. В самом деле, например, синусом острого угла прямоугольного треугольника AOC (см. рис. 2.4.1.4) называлось отношение противолежащего катета к гипотенузе: Кроме того, в курсе геометрии было доказано, что значения тригонометрических функций острых углов не зависят от размеров прямоугольного треугольника.

Однако если мы поместим наш прямоугольный треугольник так, что его вершина – точка O – совпадёт с началом координат, а точка A будет лежать на единичной окружности (то есть мы выбираем тем самым гипотенузу OA  = 1), то геометрическое определение синуса примет вид:

Значит, синус острого угла равен ординате точки, лежащей на тригонометрической окружности. А это как раз совпадает с нашим определением синуса. Совершенно те же самые рассуждения приводят нас к полной эквивалентности геометрического определения тригонометрических функций с тем, что дано в настоящем разделе. Следовательно, для вычисления значений тригонометрических функций мы можем воспользоваться их геометрическим определением.

4
Рисунок 2.4.1.4.
5
Рисунок 2.4.1.5.

Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1. Тогда по теореме Пифагора легко найти, что длина его высоты BH равна

6
Рисунок 2.4.1.6.

Значит, Рассматривая угол ABH , найдём, что Соответственно,      

Рассмотрим теперь прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с катетами, равными CA  =  CB  = 1,   CAB  = 45°. Тогда по теореме Пифагора и Следовательно,

Итак, мы вычислили значения тригонометрических функций основных углов. Составим таблицу значений тригонометрических функций, которую мы только что получили.

Функция Углы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Градусы 0° Радианы sin α 0 1 0 –1 0   cos α 1 0 –1 0 1 tg α 0 1 – 0 – 0 ctg α – 1 0 – 0 – Таблица 2.4.1.3
Пример 2

Найдите значения выражений

1)

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) 1; 2)



Периодические функции  

Функция f называется периодической с периодом T  ≠ 0, если для любого x из области определения функции выполнено:

Если функция f имеет период T , то она, очевидно, имеет период nT , где Поэтому говорят о наименьшем положительном периоде (НПП) функции f . Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Так, например, f  ( x ) =  C , где C − произвольная постоянная, является периодической, однако любое положительное число является её периодом. Очевидно, среди них нет наименьшего.

Пример 3

Доказать, что НПП функции y  = sin  x является 2π.

Показать решение

Из определения функции следует, что у точек x и x  + 2π одинаковая ордината, следовательно, sin  x  = sin ( x  + 2π), а это означает, что 2π является периодом функции sin  x . Пусть T − некоторый период функции y  = sin  x . Тогда для всех x должно выполняться равенство sin  x  = sin ( x  +  T ). При x  = 0 имеем sin  T  = 0. Значит, T может принимать значения только π n , где Нас интересуют T  < 2π. Таким периодом может быть только T  = π, однако T  = π не является периодом данной функции, так как равенство sin  x  = sin ( x  + π) неверно при Значит, НПП функции y  = sin  x является T  = 2π.


Аналогично можно показать, что функция y  = cos  x также имеет НПП T  = 2π. А функции y  = tg  x и y  = ctg  x имеют НПП T  = π.