Вход через социальные сети

Рациональные выражения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Теоретическая статья Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

- adminus 39 683 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Предел - adminus 27 274 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Поверхности второго порядка - adminus 31 354 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнение прямой - adminus 31 893 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Скалярное произведение векторов - adminus 27 651 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Преобразование уравнений при изменении координат - adminus 24 477 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Уравнение линии - adminus 25 589 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Дифференциальные уравнения - adminus 33 168 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Уравнение поверхности и уравнение линии - adminus 31 480 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Линейные операции над векторами - adminus 25 027 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Высшая математика (математический анализ) - adminus 66 141 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Геометрические свойства линий второго порядка - adminus 24 998 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Основные типы дифференциальных уравнений

Основные типы дифференциальных уравнений

...
- adminus 32 924 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья направленный отрезок

направленный отрезок

Определение:Направленный отрезок...

- adminus 29 788 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Векторное и смешаное произведения векторов - adminus 31 605 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве - adminus 32 270 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Линии первого порядка - adminus 30 620 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Разностные уравнения

Разностные уравнения

- adminus 27 388 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Основная проблема теории дифференциальных уравнений

Основная проблема теории дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения, являются...
- adminus 27 414 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Системы линейных уравнений общего вида

Системы линейных уравнений общего вида

- adminus 30 327 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Матричный метод

Матричный метод

- adminus 26 823 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Формулы Крамера

Формулы Крамера

- adminus 35 840 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Метод Гаусса

Метод Гаусса

- adminus 28 346 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Критерий совместности Кронекера-Капелли

Критерий совместности Кронекера-Капелли

- adminus 32 114 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Теоретическая статья Системы линейных уравнений - adminus 27 058 18.08.2014 at 04:32 by adminus
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Помогите определить раздел!
Подскажите, пожалуйста, к какой теме относится каждое из этих заданий? Чтобы я знал, по чему...
2 / - Jiaf 2 454 16.05.2014 at 14:58 by Jiaf
Найдите касательную
Здравствуйте! Нужна ваша помощь
Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая....
3 / - akirachin1 4 466 10.05.2014 at 21:34 by zam2
задача по геометрии
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. Из вершины В на эти биссектрисы опущены...
10 / - tata00tata 9 642 27.04.2014 at 06:53 by bot
Задача на производную
Задача: Площадь треугольника 6. Найти наименьшую площадь квадрата, построенного на...
4 / - Atom0 3 504 23.04.2014 at 16:29 by Atom0
Пересечение парабол
Две произвольные (в т. ч. и вырожденные, с абсолютно любыми коеффициентами в действительном...
11 / - sud08271 6 620 22.04.2014 at 17:47 by sud08271
Нечётная функция
Прошу подсказать, верно ли я рассуждаю по задаче.
Суть задачи: нечётная функция f1...
1 / - hranitel6 2 047 18.04.2014 at 09:42 by bot
C5 из егэ
Здравствуйте. Подскажите пожалуйста, что делать.
Найти все значения параметра а при каждом из...
8 / - tata00tata 5 486 16.04.2014 at 20:10 by СергейП
вопрос по геометрии
В ромб вписана окружность. радиус окружности равен площадь ромба делить на его полупериметр. Как...
31 / - tata00tata 11 201 16.04.2014 at 15:36 by tata00tata
путаница с чеком
Один человек пришел в банк, чтобы получить деньги по чек. кассир, при оплате чека ошибся, и вместо...
2 / - parnerdizayn7name 2 874 24.03.2014 at 09:45 by Potapych
Подскажите, пожалуйста, с чего начать
Найдите все натуральные значения m при каждом их которых ...
5 / - Ольга007 4 306 19.03.2014 at 10:12 by ponedilchyk
Положительные и отрицательные числа, действия с ними
Занимаюсь самообразованием, не вполне могу разобраться.

Итак, у нас есть некое...
1 / - Сергей Боголюбов 2 942 01.03.2014 at 23:23 by Hottabych
геометрия
в треугольнике АВС проекция АВ на ВС 2корень квадратный из3 а проекция АС на ВС 8см угол АВС 60*...
1 / - mamedov76 1 948 28.02.2014 at 00:33 by tata00tata
геометрия
стороны треугольника 11 см.15 см.16 см. найти проекции наименьших и наибольших сторон на среднюю...
9 / - mamedov76 4 989 27.02.2014 at 23:44 by omega
Ненадёжные весы
Даны чашечные весы, имеющие особенность — они могут выдержать ровно ...
12 / - Таланов 5 900 23.02.2014 at 09:50 by bot
Комплексные корни квадратного уравнения
Давно хочу понять - вот действительные корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0...
10 / - vladk 6 327 21.02.2014 at 08:27 by kiv
1 2 5 9
У кого хорошо с детской математикой?

Тренирую малого к поступлению в 5 класс. Дали нам...
4 / - kiv 3 205 17.02.2014 at 16:47 by grigoriy
полярная система координат
Скажите пожалуйста, правильно ли я понимаю
1) уравнение
...
4 / - tata00tata 2 910 10.02.2014 at 20:46 by tata00tata
Выразить объем пирамиды как функцию х
Здравствуйте! Сразу предупрежу, моя племянница учится на другом языке (на французском), поэтому,...
7 / - margoblues 4 578 08.02.2014 at 06:28 by bot
Расчет длины затухающей синусоиды
Здравствуйте. Помогите найти формулу (вывести) для расчета длины затухающей синусоиды. То есть, на...
4 / - Володимир405 4 535 30.01.2014 at 13:08 by zam2
геометрия
В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник. Найти сечение,...
3 / - Janets 3 983 28.01.2014 at 09:02 by walkrunm
c5 егэ
Здравствуйте! У меня немного не совпадает ответ, подскажите пожалуйста, что я не так делаю
...
12 / - tata00tata 8 536 27.01.2014 at 20:32 by zam2
Сумма длин ребер прямоугольного параллелепипеда.Задача для 5 класса
Задачу для 5 класса не могу решить. Пожалуйста, помогите найти ошибку в решении.
Задача.Сумма...
4 / - Аннана 11 368 26.01.2014 at 04:05 by Аннана
Уравнение прямоугольного треугольника.
Дано: прямоугольный треугольник ABC, координаты его вершин следующие:
A(0;0) B(0;b) C(a;0)...
6 / - geh 5 078 12.01.2014 at 19:03 by Hottabych
быстрое умножение
Вообще в школе изучаются формулы сокращенного умножения, например
...
5 / - geh 4 668 07.01.2014 at 14:04 by geh
Общие члены арифметических прогрессий
Здравствуйте, дана задача:
Сколько одинаковых членов находится среди первых 400 членов...
4 / - kerf 4 266 07.01.2014 at 08:23 by bot
18.08.2014, 04:16
adminus
0 up down

Рациональные выражения

Рациональные выражения

Вспомним определение функции (подробнее см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 1.3.1):

 

Пусть задано числовое множество Если каждому числу x     D поставлено в соответствие единственное число y , то говорят, что на множестве D задана числовая функция :
y  =  f  ( x ),  x     D Множество D , называется областью определения функции и обозначается D  ( f  ( x )).

Множество, состоящее из всех элементов f  ( x ), где x     D , называется областью значений функции и обозначается E  ( f  ( x )).

Рациональной называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов, то есть где − многочлен n -ной степени, − многочлен m -ной степени. Такую функцию f  ( x ) ещё иногда называют рациональной дробью.

Модель 2.2. Дробно-линейная функция
Пример 1
  • − рациональные функции;
  • − эти функции изначально не представлены в виде отношения многочленов, но могут быть представлены в таком виде.

Основное свойство рациональной дроби можно выразить формулой
справедливой при и где R  ( x ) − многочлен. Кратко основное свойство рациональной дроби может быть выражено фразой: числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить и разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Из основного свойства рациональной дроби следуют равенства:
Например,

Основное свойство дроби даёт возможность умножить и разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Такая операция называется сокращением дроби. Для того, чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Пример 2

Сократите дробь

Показать решение

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:  x 3  – 4 x  =  x ( x 2  – 4) =  x ( x  + 2)( x  – 2). Мы воспользовались вынесением общего множителя за скобку и формулой разности квадратов.

Знаменатель:

Имеем:

Ответ.  


Для того чтобы описать действия с рациональными дробями, опишем процедуру их приведения к наименьшему общему знаменателю.

 

Общим знаменателем нескольких рациональных функций называется многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Например, общим знаменателем двух дробей и будет многочлен ( x  – 2)(2 x  – 1). Но общим знаменателем этих дробей также служит многочлен 2 x ( x  – 2)(2 x  – 1), а также Обычно удобнее найти многочлен минимальной степени. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем . В нашем примере таким знаменателем является многочлен ( x  – 2)(2 x  – 1). Имеем:

Множители, на которые нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, называются дополнительными множителями . В нашем примере дополнительный множитель для дроби равен ( x  – 2), а для дроби равен (2 x  – 1).

Итак, для того, чтобы привести несколько рациональных дробей к общему знаменателю, нужно:

  • во-первых, разложить числитель и знаменатель каждой дроби на множители;
  • во-вторых, найти общий знаменатель всех этих дробей;
  • в-третьих, найти дополнительные множители для каждой дроби, они получаются путём деления общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей;
  • в-четвёртых, умножить каждую из дробей на свой дополнительный множитель.
Пример 3

Привести к общему знаменателю дроби

Показать решение

Разложим знаменатели дробей на множители:

2 x 3  + 2 x 2  = 2 x 2 ( x  + 1).

6 x 2  – 6 = 6( x 2  – 1) = 6( x  + 1)( x  – 1).

3 x 2  + 3 x  = 3 x ( x  + 1).

Значит, общим знаменателем данных дробей будет многочлен 6 x 2 ( x  + 1)( x  – 1). Дополнительными множителями для каждой из дробей будут:

  • для первой дроби
  • для второй дроби
  • для третьей дроби

Умножим каждую из дробей на её дополнительный множитель, приводя их тем самым к общему знаменателю:

Ответ.  


Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.

 

Сложение. Сумма двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:
то есть для того, чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание. Разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:
то есть для того, чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.

Если же нужно сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, то сперва их следует привести к одному знаменателю и после произвести сложение и вычитание.

Модель 2.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей
Пример 4

Упростите выражение

Показать решение

Ответ.   x  + 1.


Пример 5

Упростите выражение

Показать решение

Ответ.  


Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле:
Другими словами, для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и результат разделить на произведение знаменателей.

Деление. Частное двух дробей находится по следующей формуле:
Другими словами, для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 6

Упростите выражение

Показать решение

Ответ.