Вход через социальные сети

Рациональные выражения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума система неравенств

Уважаемые, подскажите, правильно ли я думаю?

...

6 / - stensen 4 671 08.01.2015 at 10:31 by venja
Тема форума Предельная геометрия

24 декабря 2014 года установлены основные положения "предельной (неевклидовой) геометрии" или...

3 / - Николай Ермак 2 751 02.01.2015 at 14:20 by 12d3
Тема форума Принцип инвариантности Ла Салля
Не понимаю суть...
16 / - spx-vnx 24 442 25.12.2014 at 10:56 by Ian
Тема форума Не могу решить задачу.

Друзья, помогите решить задачу.
Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму...

1 / - vovik3003 2 137 24.12.2014 at 21:51 by 12d3
Тема форума окружность и паралеллограм

Доброго всем времени суток. Помогите с задчей плз.

Окружность, построенная на стороне AD...

2 / - stensen 3 287 23.12.2014 at 16:54 by stensen
Тема форума неравенство с параметрами

всем математикам доброго времени суток! помогите плз разобраться. Дано нер-во (3,а) из...

3 / - stensen 2 468 18.12.2014 at 14:01 by 12d3
Тема форума Задача, алгебра 9 класс

Вниз по течению реки последовательно расположены пристани А, В, С. Расстояние между А и В равно...

8 / - Ольга007 6 900 11.12.2014 at 22:31 by Ольга007
Тема форума Очень большое число
Герцогиня Ксю утверждает, что она придумала такое натуральное число, что для любых натуральных...
22 / - Xenia1996 10 355 11.12.2014 at 13:04 by zam2
Тема форума Решение неравенства 6 / - Erjg_5_78 5 328 05.12.2014 at 08:16 by Erjg_5_78
Тема форума Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
60 / - Александр Амелькин 40 685 01.12.2014 at 18:38 by Viktor230
Тема форума Функция и неравенство

Пусть...

4 / - primarhus 4 092 24.11.2014 at 15:07 by Soul
Тема форума Траектория движения точки

Здравствуйте,

Дайте, пожалуйста, формулу для решения для следующего задания:

...

1 / - blanka.kato 2 184 21.11.2014 at 16:00 by zam2
Тема форума Найти значение произведения. (нужна помощь)

(1-1/4)*(1-1/9)*(1- 1/16)*... *(1-1/100)

Помогите с решением. Спасибо.

2 / - ogn_expo 3 127 18.11.2014 at 23:01 by Soul
Тема форума Неопределенный интеграл

Вот есть такой интеграл ...

2 / - GrandCube 2 741 15.11.2014 at 22:35 by GrandCube
Тема форума Нужна книжка по математике
Есть такая книга Математика, (для подготовительных отделений ВУЗов) авт. Метельский.
Кто ee...
5 / - Xilaim 70 603 13.11.2014 at 15:05 by vivo
Тема форума уравнение с параметром

Здравствуйте! Найти при каких значениях a  МЗФ  содержит отрезок [2;3]. Вообще не представляю,...

3 / - tata00tata 3 638 12.11.2014 at 19:16 by Ian
Тема форума Помогите кто-нибудь, пожалуйста

Постройте окружности с центрами в трех данных точках, попарно касающиеся друг друга внешним...

1 / - dan.khv 2 503 06.11.2014 at 10:32 by 12d3
Тема форума помогите пжл. очень срочно

Даны окружность, ее центр и две точки A и B,...

1 / - dan.khv 2 372 06.11.2014 at 10:17 by 12d3
Тема форума Можно как-нибудь решить, не используя угол поворота?

Проведите к данной окружности касательную, от которой данная прямая отсекала бы данный отрезок,...

3 / - dan.khv 3 299 06.11.2014 at 09:36 by Ian
Тема форума Выразить показатель степени

Здравствуйте! Товарищи подскажите пожалуйста, можно ли из этого выражения
...

2 / - niceandquickly 2 616 02.11.2014 at 23:19 by niceandquickly
Тема форума Полиномиальный алгоритм

Класс NP-полных задач NPC (NP-complet) /Класс NP/Класс P  образуют:

1....
1 / - 510272080 2 462 30.10.2014 at 15:13 by ARRY
Тема форума разложение многочленов на множители методом группировки

Уважаемые,плз. подскажите. Есть ли какой-нибудь алгоритм или рекомендации, помогающие ...

1 / - stensen 1 959 30.10.2014 at 11:24 by ARRY
Тема форума Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение?

Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение, зная лишь вероятности тех...

4 / - seen 5 749 17.10.2014 at 17:16 by Ian
Тема форума Помогите плиз решить неравенство!

неравенство: x*log _x+3 (7-2x)>=0. Во первых, находим одз. получаем два промежутка -3...

- r.babicheva 1 921 09.10.2014 at 11:21 by r.babicheva
Тема форума помогите решить задачу

По кругу размещено n шариков, занумерованных в произвольном порядке, n?3. Они обходятся по...

1 / - kemolife 2 418 24.09.2014 at 00:05 by Soul
  • 155страниц:
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 141страниц:
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
система неравенств

Уважаемые, подскажите, правильно ли я думаю?

...

6 / - stensen 4 671 08.01.2015 at 10:31 by venja
Предельная геометрия

24 декабря 2014 года установлены основные положения "предельной (неевклидовой) геометрии" или...

3 / - Николай Ермак 2 751 02.01.2015 at 14:20 by 12d3
Принцип инвариантности Ла Салля
Не понимаю суть...
16 / - spx-vnx 24 442 25.12.2014 at 10:56 by Ian
Не могу решить задачу.

Друзья, помогите решить задачу.
Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму...

1 / - vovik3003 2 137 24.12.2014 at 21:51 by 12d3
окружность и паралеллограм

Доброго всем времени суток. Помогите с задчей плз.

Окружность, построенная на стороне AD...

2 / - stensen 3 287 23.12.2014 at 16:54 by stensen
неравенство с параметрами

всем математикам доброго времени суток! помогите плз разобраться. Дано нер-во (3,а) из...

3 / - stensen 2 468 18.12.2014 at 14:01 by 12d3
Задача, алгебра 9 класс

Вниз по течению реки последовательно расположены пристани А, В, С. Расстояние между А и В равно...

8 / - Ольга007 6 900 11.12.2014 at 22:31 by Ольга007
Очень большое число
Герцогиня Ксю утверждает, что она придумала такое натуральное число, что для любых натуральных...
22 / - Xenia1996 10 355 11.12.2014 at 13:04 by zam2
Решение неравенства 6 / - Erjg_5_78 5 328 05.12.2014 at 08:16 by Erjg_5_78
Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
60 / - Александр Амелькин 40 685 01.12.2014 at 18:38 by Viktor230
Функция и неравенство

Пусть...

4 / - primarhus 4 092 24.11.2014 at 15:07 by Soul
Траектория движения точки

Здравствуйте,

Дайте, пожалуйста, формулу для решения для следующего задания:

...

1 / - blanka.kato 2 184 21.11.2014 at 16:00 by zam2
Найти значение произведения. (нужна помощь)

(1-1/4)*(1-1/9)*(1- 1/16)*... *(1-1/100)

Помогите с решением. Спасибо.

2 / - ogn_expo 3 127 18.11.2014 at 23:01 by Soul
Неопределенный интеграл

Вот есть такой интеграл ...

2 / - GrandCube 2 741 15.11.2014 at 22:35 by GrandCube
Нужна книжка по математике
Есть такая книга Математика, (для подготовительных отделений ВУЗов) авт. Метельский.
Кто ee...
5 / - Xilaim 70 603 13.11.2014 at 15:05 by vivo
уравнение с параметром

Здравствуйте! Найти при каких значениях a  МЗФ  содержит отрезок [2;3]. Вообще не представляю,...

3 / - tata00tata 3 638 12.11.2014 at 19:16 by Ian
Помогите кто-нибудь, пожалуйста

Постройте окружности с центрами в трех данных точках, попарно касающиеся друг друга внешним...

1 / - dan.khv 2 503 06.11.2014 at 10:32 by 12d3
помогите пжл. очень срочно

Даны окружность, ее центр и две точки A и B,...

1 / - dan.khv 2 372 06.11.2014 at 10:17 by 12d3
Можно как-нибудь решить, не используя угол поворота?

Проведите к данной окружности касательную, от которой данная прямая отсекала бы данный отрезок,...

3 / - dan.khv 3 299 06.11.2014 at 09:36 by Ian
Выразить показатель степени

Здравствуйте! Товарищи подскажите пожалуйста, можно ли из этого выражения
...

2 / - niceandquickly 2 616 02.11.2014 at 23:19 by niceandquickly
Полиномиальный алгоритм

Класс NP-полных задач NPC (NP-complet) /Класс NP/Класс P  образуют:

1....
1 / - 510272080 2 462 30.10.2014 at 15:13 by ARRY
разложение многочленов на множители методом группировки

Уважаемые,плз. подскажите. Есть ли какой-нибудь алгоритм или рекомендации, помогающие ...

1 / - stensen 1 959 30.10.2014 at 11:24 by ARRY
Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение?

Теория игр применительно к покеру. Как выбрать оптимальное решение, зная лишь вероятности тех...

4 / - seen 5 749 17.10.2014 at 17:16 by Ian
Помогите плиз решить неравенство!

неравенство: x*log _x+3 (7-2x)>=0. Во первых, находим одз. получаем два промежутка -3...

- r.babicheva 1 921 09.10.2014 at 11:21 by r.babicheva
помогите решить задачу

По кругу размещено n шариков, занумерованных в произвольном порядке, n?3. Они обходятся по...

1 / - kemolife 2 418 24.09.2014 at 00:05 by Soul
  • 141страниц:
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
18.08.2014, 04:16
adminus
0 up down

Рациональные выражения

Рациональные выражения

Вспомним определение функции (подробнее см. курс «Открытая Математика 2.6. Функции и Графики», § 1.3.1):

 

Пусть задано числовое множество Если каждому числу x     D поставлено в соответствие единственное число y , то говорят, что на множестве D задана числовая функция :
y  =  f  ( x ),  x     D Множество D , называется областью определения функции и обозначается D  ( f  ( x )).

Множество, состоящее из всех элементов f  ( x ), где x     D , называется областью значений функции и обозначается E  ( f  ( x )).

Рациональной называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов, то есть где − многочлен n -ной степени, − многочлен m -ной степени. Такую функцию f  ( x ) ещё иногда называют рациональной дробью.

Модель 2.2. Дробно-линейная функция
Пример 1
  • − рациональные функции;
  • − эти функции изначально не представлены в виде отношения многочленов, но могут быть представлены в таком виде.

Основное свойство рациональной дроби можно выразить формулой
справедливой при и где R  ( x ) − многочлен. Кратко основное свойство рациональной дроби может быть выражено фразой: числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить и разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен.

Из основного свойства рациональной дроби следуют равенства:
Например,

Основное свойство дроби даёт возможность умножить и разделить числитель и знаменатель рациональной дроби на одно и то же выражение, отличное от нуля. Такая операция называется сокращением дроби. Для того, чтобы сократить рациональную дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители. При этом сокращение возможно, лишь если числитель и знаменатель имеют общие множители. Если же они не имеют общих множителей, то дробь сократить нельзя.

Пример 2

Сократите дробь

Показать решение

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:  x 3  – 4 x  =  x ( x 2  – 4) =  x ( x  + 2)( x  – 2). Мы воспользовались вынесением общего множителя за скобку и формулой разности квадратов.

Знаменатель:

Имеем:

Ответ.  


Для того чтобы описать действия с рациональными дробями, опишем процедуру их приведения к наименьшему общему знаменателю.

 

Общим знаменателем нескольких рациональных функций называется многочлен, который делится на знаменатель каждой дроби.

Например, общим знаменателем двух дробей и будет многочлен ( x  – 2)(2 x  – 1). Но общим знаменателем этих дробей также служит многочлен 2 x ( x  – 2)(2 x  – 1), а также Обычно удобнее найти многочлен минимальной степени. Такой знаменатель называется наименьшим общим знаменателем . В нашем примере таким знаменателем является многочлен ( x  – 2)(2 x  – 1). Имеем:

Множители, на которые нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, называются дополнительными множителями . В нашем примере дополнительный множитель для дроби равен ( x  – 2), а для дроби равен (2 x  – 1).

Итак, для того, чтобы привести несколько рациональных дробей к общему знаменателю, нужно:

  • во-первых, разложить числитель и знаменатель каждой дроби на множители;
  • во-вторых, найти общий знаменатель всех этих дробей;
  • в-третьих, найти дополнительные множители для каждой дроби, они получаются путём деления общего знаменателя на знаменатель каждой из дробей;
  • в-четвёртых, умножить каждую из дробей на свой дополнительный множитель.
Пример 3

Привести к общему знаменателю дроби

Показать решение

Разложим знаменатели дробей на множители:

2 x 3  + 2 x 2  = 2 x 2 ( x  + 1).

6 x 2  – 6 = 6( x 2  – 1) = 6( x  + 1)( x  – 1).

3 x 2  + 3 x  = 3 x ( x  + 1).

Значит, общим знаменателем данных дробей будет многочлен 6 x 2 ( x  + 1)( x  – 1). Дополнительными множителями для каждой из дробей будут:

  • для первой дроби
  • для второй дроби
  • для третьей дроби

Умножим каждую из дробей на её дополнительный множитель, приводя их тем самым к общему знаменателю:

Ответ.  


Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.

 

Сложение. Сумма двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:
то есть для того, чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание. Разность двух рациональных дробей с одинаковыми знаменателями определяется следующей формулой:
то есть для того, чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить тем же.

Если же нужно сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, то сперва их следует привести к одному знаменателю и после произвести сложение и вычитание.

Модель 2.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей
Пример 4

Упростите выражение

Показать решение

Ответ.   x  + 1.


Пример 5

Упростите выражение

Показать решение

Ответ.  


Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле:
Другими словами, для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и результат разделить на произведение знаменателей.

Деление. Частное двух дробей находится по следующей формуле:
Другими словами, для того, чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 6

Упростите выражение

Показать решение

Ответ.