Вход через социальные сети

Понятие комплексного числа

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Cipralex | Purchase Withdrawal Symptoms


Looking for a cipralex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 1 27.05.2017 at 09:31 by leversdevioustwa
scientist Cozaar | Purchase Generic


Looking for a cozaar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 2 27.05.2017 at 08:19 by leversdevioustwa
scientist Celexa | Order Online


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 3 27.05.2017 at 06:01 by leversdevioustwa
scientist Abilify | Buy Australia


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 1 27.05.2017 at 05:59 by featuresrawyw
scientist Ventolin | Buy Online Usa


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 9 25.05.2017 at 21:13 by leversdevioustwa
scientist Elavil | Buy Online Cheap


Looking for a elavil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 10 25.05.2017 at 09:54 by leversdevioustwa
scientist Noroxin | Order Discontinued


Looking for a noroxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 17 23.05.2017 at 12:33 by featuresrawyw
scientist Florinef | Buy Cheap


Looking for a florinef? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 32 22.05.2017 at 23:26 by leversdevioustwa
scientist Remeron | Buy Mirtazapine


Looking for a remeron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 21 22.05.2017 at 23:16 by featuresrawyw
scientist Zanaflex | Purchase


Looking for a zanaflex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 42 22.05.2017 at 19:24 by leversdevioustwa
scientist Prednisolone | Purchase 5Mg Tablets


Looking for a prednisolone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 23 22.05.2017 at 19:23 by featuresrawyw
scientist Aspirin | Buy Malaysia


Looking for a aspirin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- leversdevioustwa 34 22.05.2017 at 13:34 by leversdevioustwa
scientist Dihydrocodeine | Purchase Online Uk


Looking for a dihydrocodeine? Not a problem!

Guaranteed...

- leversdevioustwa 35 22.05.2017 at 10:11 by leversdevioustwa
scientist Temovate | Purchase Generic


Looking for a temovate? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 25 22.05.2017 at 10:10 by featuresrawyw
Тема форума Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
9 / - Ellipsoid 24 805 21.05.2017 at 13:55 by GEPIDIUM
scientist Zestoretic | Order Drug


Looking for a zestoretic? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 58 19.05.2017 at 19:01 by featuresrawyw
scientist Robaxin | Buy Canada


Looking for a robaxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 56 19.05.2017 at 14:20 by featuresrawyw
Тема форума Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 112 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
scientist Celexa | Buy Uk


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 66 18.05.2017 at 06:28 by featuresrawyw
scientist Clindamycin | Order Online


Looking for a clindamycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 92 18.05.2017 at 06:28 by featuresrawyw
scientist Cleocin | Buy Orlistat In Malaysia


Looking for a cleocin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 78 16.05.2017 at 16:18 by featuresrawyw
scientist Xanax | Buy Green Online


Looking for a xanax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 80 15.05.2017 at 19:25 by featuresrawyw
scientist Xanax | Buy Alternatives


Looking for a xanax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 101 14.05.2017 at 14:20 by featuresrawyw
scientist Ventolin | Buy Singapore


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 103 14.05.2017 at 05:38 by featuresrawyw
scientist Zolpidem | Where To Buy


Looking for a zolpidem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- featuresrawyw 97 14.05.2017 at 03:30 by featuresrawyw
  • 171страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Найти последнюю цифру числа.
Нужно найти последнюю цифру числа:
1. 3 в степени 1993.
2. 1993 в степени 1993.
...
9 / - Ellipsoid 24 805 21.05.2017 at 13:55 by GEPIDIUM
Решите пж задачу
№1Ковалок меди объёмом 18 куб. см сплавили с ковалком цинка объёмом 21 куб. см. Найдите массу 1 куб...
- darya.kryla 112 18.05.2017 at 20:28 by darya.kryla
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 257 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 269 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 480 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 2 584 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 508 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 464 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 3 872 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 620 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 1 111 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 1 104 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 371 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 765 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 978 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 747 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 282 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 299 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 1 175 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 1 011 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 386 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 4 166 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 962 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 7 149 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 4 416 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:15
adminus
0 up down

Понятие комплексного числа

Понятие комплексного числа

 

Комплексным числом называется выражение вида a  +  ib , где a  и  b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей . Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

  1. Два комплексных числа a  +  ib и c  +  id называются равными тогда и только тогда, когда
    a  =  b и c  =  d .
  2. Суммой двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число
    a  +  c  +  i ( b  +  d ).
  3. Произведением двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число
    ac  –  bd  +  i ( ad  +  bc ).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z  =  a  +  ib . Действительное число a называется действительной частью комплексного числа   z , действительная часть обозначается a = Re z . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа   z , мнимая часть обозначается b = Im z . Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z  =  a  +  i  · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a  +  i  · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 +  ib называются чисто мнимыми . Часто просто пишут bi , например, 0 +  i 3 = 3 i . Чисто мнимое число i 1 = 1 i  =  i обладает удивительным свойством:
Таким образом,


С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
то есть как раз получается нужная формула.

Пример 1

Вычислить z 1  +  z 2 и z 1 z 2, где z 1  = 1 + 2 i и z 2  = 2 –  i .

Показать решение

Имеем

Ответ.   z 1  +  z 2  = 3 +  i z 1 z 2  = 4 + 3 i .


 

1
Рисунок 1.4.1.1

Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью , на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью . Тогда любому комплексному числу z  =  x  +  iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью .

Очень важной является интерпретация комплексного числа z  =  a  +  ib как вектора с координатами ( a b ) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами ( a b ). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным. В самом деле, как было только что отмечено, любому комплексному числу z  =  a  +  ib соответствует вектор и наоборот, каждому вектору соответствует, и притом единственное, число z  =  a  +  ib .

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.

Модель 1.14. Комплексные числа на плоскости
 

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Модуль комплексного числа z обычно обозначается или r . Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

2
Рисунок 1.4.1.2

Если то то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что для всех При этом тогда и только тогда, когда

 

Аргументом комплексного числа z  =  a  +  ib ( z  ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z . Для числа z = 0 аргумент не определён.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z  ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет. Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2π n также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z  = 1 +  i являются углы и т. д. Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg  z  ≤ π.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа z  = –1 –  i .

Показать решение

Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти.
Для поиска аргумента решим систему

Ответ.