Вход через социальные сети

Понятие комплексного числа

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Luvox | Buy Brand No Script


Looking for a luvox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 23.03.2017 at 11:13 by produtobutteryzt
scientist Topamax | Buy Real Online


Looking for a topamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 23.03.2017 at 08:28 by produtobutteryzt
scientist Doxycycline | Order Ove


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 23.03.2017 at 07:23 by paleanglodvo
scientist Zithromax | Buy Low Cost Pierre


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 23.03.2017 at 04:13 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Order Delaware


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 23.03.2017 at 02:22 by paleanglodvo
scientist Augmentin | Buy Online Purchase Aberdeenshire


Looking for a augmentin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 5 23.03.2017 at 01:50 by sprucewoodcheckmn
scientist Olanzapine | Buy Online Store Internet


Looking for a olanzapine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 6 23.03.2017 at 00:14 by groanstrawln
scientist Kamagra | Get-Soft Priority Mail Order


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 7 22.03.2017 at 23:21 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Where To Buy Suspe


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 7 22.03.2017 at 22:18 by produtobutteryzt
scientist Zyban | Low Cost Bupron


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 12 22.03.2017 at 17:48 by groanstrawln
scientist Diovan | Co No Script Requ


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 8 22.03.2017 at 16:38 by groanstrawln
scientist Cymbalta | Guidance Otc Cost Solostar


Looking for a cymbalta? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 10 22.03.2017 at 14:02 by produtobutteryzt
scientist Januvia | Buy And Pay


Looking for a januvia? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 13 22.03.2017 at 03:33 by produtobutteryzt
scientist Proscar | Price Of Hair Loss


Looking for a proscar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 13 21.03.2017 at 23:54 by paleanglodvo
scientist Toprol | Cheap Online


Looking for a toprol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 12 21.03.2017 at 23:38 by sprucewoodcheckmn
scientist Clonazepam | Overnight No Prescription Cheap


Looking for a clonazepam? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 15 21.03.2017 at 17:37 by paleanglodvo
scientist Albenza | Buy In Mexico


Looking for a albenza? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 0 21.03.2017 at 16:11 by produtobutteryzt
scientist Eldepryl | Order Without Perscription


Looking for a eldepryl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 18 21.03.2017 at 13:08 by produtobutteryzt
scientist Zetia | Buy Generic Online Cod


Looking for a zetia? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 23 21.03.2017 at 08:26 by produtobutteryzt
scientist Antabuse | Discount Price For


Looking for a antabuse? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 53 21.03.2017 at 03:57 by paleanglodvo
scientist Diamox | Buy Mastercard Cod Accepted


Looking for a diamox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 98 20.03.2017 at 21:32 by sprucewoodcheckmn
scientist Retin-A | Buy Barato


Looking for a retin-a? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 111 20.03.2017 at 21:32 by sprucewoodcheckmn
scientist Amoxil | Cheap Medicine


Looking for a amoxil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 38 20.03.2017 at 17:59 by paleanglodvo
scientist Tinidazole | Where To Buy It


Looking for a tinidazole? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 29 20.03.2017 at 17:57 by produtobutteryzt
scientist Prednisone | Buy Online Usa


Looking for a prednisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 24 20.03.2017 at 15:04 by sprucewoodcheckmn
  • 160страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 92 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 135 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 1 856 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 215 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 593 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 555 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 712 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 364 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 556 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 374 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 743 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 780 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 701 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 603 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 860 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 713 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 118 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 737 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 2 960 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 7 935 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 824 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 099 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 511 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 131 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 434 27.09.2016 at 02:25 by zam2
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:15
adminus
0 up down

Понятие комплексного числа

Понятие комплексного числа

 

Комплексным числом называется выражение вида a  +  ib , где a  и  b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей . Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

  1. Два комплексных числа a  +  ib и c  +  id называются равными тогда и только тогда, когда
    a  =  b и c  =  d .
  2. Суммой двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число
    a  +  c  +  i ( b  +  d ).
  3. Произведением двух комплексных чисел a  +  ib и c  +  id называется комплексное число
    ac  –  bd  +  i ( ad  +  bc ).

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z  =  a  +  ib . Действительное число a называется действительной частью комплексного числа   z , действительная часть обозначается a = Re z . Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа   z , мнимая часть обозначается b = Im z . Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z  =  a  +  i  · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,

Следовательно, комплексные числа вида a  +  i  · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно

В отличие от действительных чисел, числа вида 0 +  ib называются чисто мнимыми . Часто просто пишут bi , например, 0 +  i 3 = 3 i . Чисто мнимое число i 1 = 1 i  =  i обладает удивительным свойством:
Таким образом,


С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
то есть как раз получается нужная формула.

Пример 1

Вычислить z 1  +  z 2 и z 1 z 2, где z 1  = 1 + 2 i и z 2  = 2 –  i .

Показать решение

Имеем

Ответ.   z 1  +  z 2  = 3 +  i z 1 z 2  = 4 + 3 i .


 

1
Рисунок 1.4.1.1

Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью , на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью . Тогда любому комплексному числу z  =  x  +  iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью .

Очень важной является интерпретация комплексного числа z  =  a  +  ib как вектора с координатами ( a b ) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами ( a b ). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным. В самом деле, как было только что отмечено, любому комплексному числу z  =  a  +  ib соответствует вектор и наоборот, каждому вектору соответствует, и притом единственное, число z  =  a  +  ib .

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.

Модель 1.14. Комплексные числа на плоскости
 

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Модуль комплексного числа z обычно обозначается или r . Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

2
Рисунок 1.4.1.2

Если то то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной. Ясно, что для всех При этом тогда и только тогда, когда

 

Аргументом комплексного числа z  =  a  +  ib ( z  ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z . Для числа z = 0 аргумент не определён.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z  ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет. Действительно, если φ = arg z – аргумент этого комплексного числа, то все числа вида φ + 2π n также будут аргументами этого комплексного числа. Например, аргументами комплексного числа z  = 1 +  i являются углы и т. д. Поэтому в качестве аргумента комплексного числа обычно выбирают значение –π ≤ arg  z  ≤ π.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Из определения тригонометрических функций следует, что φ = arg z тогда и только тогда, когда для этого φ выполняется система

Пример 2

Найти модуль и аргумент комплексного числа z  = –1 –  i .

Показать решение

Так как Re z = –1 и Im z = –1, то точка z лежит в третьей координатной четверти.
Для поиска аргумента решим систему

Ответ.