Вход через социальные сети

Иррациональные числа

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Naltrexone | Buy Uk


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 19:59 by sprucewoodcheckmn
scientist Naltrexone | Buy Online Cheap


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 08:51 by sprucewoodcheckmn
scientist Keppra | Order


Looking for a keppra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.01.2017 at 07:00 by sprucewoodcheckmn
scientist Zyban | No Prescription Overnight Shipping


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 18 21.01.2017 at 10:27 by enderpearlratioivc
scientist Kamagra | Buy In Vietnam


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 21 20.01.2017 at 06:42 by enderpearlratioivc
scientist Differin | Buy Online Europe


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 39 20.01.2017 at 02:08 by enderpearlratioivc
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
scientist Grifulvin | Buy V Online


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 37 18.01.2017 at 15:15 by enderpearlratioivc
scientist Lotrisone | Buy Generic Online


Looking for a lotrisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 33 18.01.2017 at 14:34 by enderpearlratioivc
scientist Desyrel | Order


Looking for a desyrel? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 32 18.01.2017 at 12:01 by enderpearlratioivc
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
scientist Celebrex | Buy From Canada


Looking for a celebrex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 50 17.01.2017 at 22:58 by enderpearlratioivc
scientist Lipitor | Low Cost Medicine Check


Looking for a lipitor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 30 17.01.2017 at 22:10 by enderpearlratioivc
scientist Sumycin | Order Interactions


Looking for a sumycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 38 17.01.2017 at 20:33 by enderpearlratioivc
scientist Citalopram | Buy In Uk


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 47 16.01.2017 at 21:46 by enderpearlratioivc
scientist Neurontin | Order Without A Script


Looking for a neurontin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 93 16.01.2017 at 16:31 by enderpearlratioivc
scientist Z Code System | Buy Sports Betting System

Let me ask you this Do you want to follow a winning sports betting system but don't have...

- enderpearlratioivc 32 16.01.2017 at 13:54 by enderpearlratioivc
scientist Cardizem | Amex Cod Accepted Spain


Looking for a cardizem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 184 16.01.2017 at 03:52 by enderpearlratioivc
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 895 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 715 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 220 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 964 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 283 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 932 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 611 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 854 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 572 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 075 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 903 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 795 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 790 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 2 382 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 723 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 1 309 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:15
adminus
0 up down

Иррациональные числа

Иррациональные числа

Оказывается, что для нужд самой математики как, впрочем, и для практики, уже введённых рациональных чисел не хватает. Исторически числа, отличные по своей природе от рациональных, впервые появились уже при желании вычислить диагональ квадрата по его стороне.

1
Рисунок 1.3.1.1

Покажем, что длина такой диагонали не может быть выражена рациональным числом. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Пусть длина его диагонали равна d . Тогда, по теореме Пифагора, имеем: то есть Предположим, что d – рациональное число. Тогда существуют такие числа что и дробь несократима. Получаем: Из этого равенства следует, что, так как правая его часть делится на 2, то и его левая часть делится на 2. Значит и число m делится на 2. Другими словами существует такое целое число что m  = 2 k . Но тогда Однако из последнего равенства аналогично следует, что число n делится на 2. Последнее обстоятельство приводит к противоречию, так как числа m и n не могут быть одновременно чётными (по предположению, дробь несократима). Значит, не существует такого рационального числа, которое бы выражало длину диагонали квадрата.

 

Числа, которые не являются рациональными, то есть не являются ни целыми, ни представимыми в виде дроби вида  , где m – целое число, а n – натуральное, называются иррациональными .

Из нашего примера следует, что такие числа существуют: длина диагонали квадрата со стороной 1 является именно таким числом. Аналогично можно доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10, то есть числа являются иррациональными. Теперь вспомним, что любое рациональное число может быть представлено в виде периодической десятичной дроби и наоборот, любая десятичная периодическая дробь может быть представлена в виде рационального числа.

Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом.

 

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел .

Каждому действительному числу отвечает точка на координатной прямой, и наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу. Действительно, для любой точки координатной прямой достаточно найти расстояние до неё от начала координат, а потом поставить перед этим числом знак плюс (+), если точка располагается правее начала координат, и знак минус (–) – если левее.

 

Изученные множества чисел обозначаются следующим образом:

  • – множество натуральных чисел;
  • – множество неотрицательных целых чисел (расширенный ряд натуральных чисел);
  • – множество целых чисел;
  • – множество рациональных чисел;
  • – множество иррациональных чисел;
  • – множество действительных чисел.

Множество целых чисел содержится во множестве рациональных чисел которое, в свою очередь, является частью всего множества действительных чисел Эти отношения можно записать кратко в виде ,

 

Совершенно аналогично десятичным дробям вводятся правила действия над действительными числами.

Сложение. Сумма двух действительных чисел одного знака есть число того же знака. Модуль такой суммы равен сумме модулей слагаемых.

Пример 1

Вычислить (+2) + (+3).

Показать решение

(+2) + (+3) = (+5).

Ответ. –5.


Сумма двух действительных чисел разных знаков имеет тот же знак, что и большее по модулю слагаемое. Модуль суммы равен разности модулей большего и меньшего слагаемых.

Пример 2

Вычислить (+2) + (–3).

Показать решение

(+2) + (–3) = (–1).

Ответ. –1.


Вычитание. Чтобы вычесть из одного действительного числа другое действительное число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Пример 3

Вычислить (+2) – (–3).

Показать решение

(+2) – (–3) = 2 + 3 = 5.

Ответ. +5.


Умножение и деление. Произведение (частное) двух действительных чисел одного знака есть число положительное. Произведение (частное) двух действительных чисел разных знаков есть число отрицательное. Модуль произведения (частного) двух действительных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел.

Пример 4

Вычислить (+2) ∙ (–3).

Показать решение

Ответ.  –6.

 

Арифметические операции над действительными числами обладают следующими свойствами ( основные законы алгебры ).

  1. a  +  b  =  b  +  a ( переместительный закон сложения ).
  2. ( a  +  b ) +  c  =  a  + ( b  +  c ) ( сочетательный закон сложения ).
  3. a  + 0 =  a ( свойство нуля ).
  4. a  + (– a ) = 0 ( свойство противоположного числа ).
  5. ab  =  ba ( переместительный закон умножения ).
  6. ab ( c ) =  a ( bc ) ( сочетательный закон ).
  7. a ( b  +  c ) =  ab  +  ac ( распределительный закон умножения относительно сложения ).
  8. a  · 1 =  a ( основное свойство единицы ).
  9. ( существование обратного числа ).

Сравнение действительных чисел производится совершенно аналогично сравнению рациональных чисел. А именно, говорят, что действительное число a больше другого действительного числа b , и обозначают этот факт так: a  >  b , если разность ( a  –  b ) – положительное действительное число. Говорят, что действительное число a меньше другого действительного числа b , и обозначают этот факт так: a  <  b , если разность ( a  –  b ) – отрицательное действительное число. На действительные числа совершенно аналогично переносятся понятия отношений ≤ и ≥. При этом числовые неравенства обладают следующими свойствами:

  1. Если a  >  b , то b  <  a .
  2. Если a  >  b и b  >  c , то a  >  c ( свойство транзитивности ).
  3. Если a  >  b , то a  +  c  >  b  +  c .
  4. Если a  >  b и c  > 0, то ac  >  bc .
  5. Если a  >  b и c  < 0, то ac  <  bc .
  6. Если a  >  b и c  >  d , то a  +  c  >  b  +  d .
  7. Если a b c d  > 0, причём a  >  b и c  >  d , то ac  >  bd .
  8. Если a  >  b и c  <  d , то a  –  c  >  b  –  d .
  9. Если то
  10. Если то для любого натурального числа n справедливо неравенство
 

Модулем действительного числа    a по определению называется само это число, если Если же a  < 0, то модулем такого числа называют число – a .

Кратко: