Вход через социальные сети

Иррациональные числа

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Paracetamol | Buy Tablets 500Mg


Looking for a paracetamol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 26.04.2017 at 05:35 by groanstrawln
scientist Abilify | Where To Buy


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 26.04.2017 at 04:17 by produtobutteryzt
scientist Abilify | Injection Buy


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 26.04.2017 at 04:16 by produtobutteryzt
scientist Keppra | Buy Liquid


Looking for a keppra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 26.04.2017 at 02:33 by groanstrawln
scientist Abilify | Buy Australia


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 26.04.2017 at 01:14 by produtobutteryzt
scientist Ventolin | Buy Nebules 5Mg Online


Looking for a ventolin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 25.04.2017 at 22:56 by groanstrawln
scientist Cipro | Buy Uk


Looking for a cipro? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 1 25.04.2017 at 19:56 by groanstrawln
scientist Diovan | Order Blood Pressure Medicine


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 25.04.2017 at 19:55 by paleanglodvo
scientist Nitrofurantoin | Buy 100Mg Online Uk


Looking for a nitrofurantoin? Not a problem!

Guaranteed...

- produtobutteryzt 1 25.04.2017 at 19:51 by produtobutteryzt
scientist Zanaflex | Purchase Online


Looking for a zanaflex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 1 25.04.2017 at 19:47 by sprucewoodcheckmn
scientist Clomipramine | Buy


Looking for a clomipramine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 1 25.04.2017 at 17:11 by paleanglodvo
scientist Buspar | Order Online


Looking for a buspar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 25.04.2017 at 13:15 by groanstrawln
scientist Celexa | Purchase


Looking for a celexa? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 2 25.04.2017 at 13:14 by produtobutteryzt
scientist Abilify | Purchase Medication


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 2 25.04.2017 at 11:44 by sprucewoodcheckmn
scientist Abilify | Buy Online Uk


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 25.04.2017 at 10:15 by sprucewoodcheckmn
scientist Reminyl | Order Tablets


Looking for a reminyl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 2 25.04.2017 at 09:10 by groanstrawln
scientist Cyklokapron | Buy Package


Looking for a cyklokapron? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 6 25.04.2017 at 06:32 by produtobutteryzt
scientist Enalapril | Buy 10 Mg


Looking for a enalapril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 25.04.2017 at 04:51 by paleanglodvo
scientist Minocycline | Purchase Hydrochloride


Looking for a minocycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 2 25.04.2017 at 03:53 by sprucewoodcheckmn
scientist Ibuprofen | Buy 400 Mg


Looking for a ibuprofen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 25.04.2017 at 02:18 by produtobutteryzt
scientist Tamoxifen | Buy Cheap Uk


Looking for a tamoxifen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 24.04.2017 at 23:53 by paleanglodvo
scientist Lisinopril | Cheap Price


Looking for a lisinopril? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 6 24.04.2017 at 22:36 by paleanglodvo
scientist Elimite | Buy Cream Online


Looking for a elimite? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 8 24.04.2017 at 22:19 by sprucewoodcheckmn
scientist Abilify | Buy Online Usa


Looking for a abilify? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 7 24.04.2017 at 17:24 by groanstrawln
scientist Paroxetine | Purchase


Looking for a paroxetine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.04.2017 at 17:05 by sprucewoodcheckmn
  • 168страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
решение задач по геометрии

Помогите решить задачи:

1.Даны вершины треугольника АВС А(2;1),В(-1;-1),С(3;2).Составить...

- shea11 93 20.04.2017 at 19:47 by shea11
Помоготе решить

В саду вишнёвых деревьев на 63 меньше, чем сливовых, а яблонь на 144 больше, чем слив. Сколько...

- Zvilkovskaya 103 18.04.2017 at 18:19 by Zvilkovskaya
Помогите составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3) равно расстоянию до прямой у=-2 . Сделать чертеж

Помогите хелп!составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки F(3;3)...

1 / - any_times 233 15.04.2017 at 13:35 by ARRY
О доказательстве пятого постулата Евклида

Спешу сообщить - я доказал пятый постулат Евклида. Сегодня отправил доказательство известным...

19 / - viksan31 1 892 03.04.2017 at 12:50 by viksan31
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 330 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 303 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 2 995 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 442 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 870 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 871 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 1 078 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 584 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 787 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 576 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 1 018 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 1 051 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 960 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 828 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 1 131 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 3 521 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 608 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 6 004 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 3 710 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 9 168 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 2 260 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:15
adminus
0 up down

Иррациональные числа

Иррациональные числа

Оказывается, что для нужд самой математики как, впрочем, и для практики, уже введённых рациональных чисел не хватает. Исторически числа, отличные по своей природе от рациональных, впервые появились уже при желании вычислить диагональ квадрата по его стороне.

1
Рисунок 1.3.1.1

Покажем, что длина такой диагонали не может быть выражена рациональным числом. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Пусть длина его диагонали равна d . Тогда, по теореме Пифагора, имеем: то есть Предположим, что d – рациональное число. Тогда существуют такие числа что и дробь несократима. Получаем: Из этого равенства следует, что, так как правая его часть делится на 2, то и его левая часть делится на 2. Значит и число m делится на 2. Другими словами существует такое целое число что m  = 2 k . Но тогда Однако из последнего равенства аналогично следует, что число n делится на 2. Последнее обстоятельство приводит к противоречию, так как числа m и n не могут быть одновременно чётными (по предположению, дробь несократима). Значит, не существует такого рационального числа, которое бы выражало длину диагонали квадрата.

 

Числа, которые не являются рациональными, то есть не являются ни целыми, ни представимыми в виде дроби вида  , где m – целое число, а n – натуральное, называются иррациональными .

Из нашего примера следует, что такие числа существуют: длина диагонали квадрата со стороной 1 является именно таким числом. Аналогично можно доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10, то есть числа являются иррациональными. Теперь вспомним, что любое рациональное число может быть представлено в виде периодической десятичной дроби и наоборот, любая десятичная периодическая дробь может быть представлена в виде рационального числа.

Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом.

 

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел .

Каждому действительному числу отвечает точка на координатной прямой, и наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу. Действительно, для любой точки координатной прямой достаточно найти расстояние до неё от начала координат, а потом поставить перед этим числом знак плюс (+), если точка располагается правее начала координат, и знак минус (–) – если левее.

 

Изученные множества чисел обозначаются следующим образом:

  • – множество натуральных чисел;
  • – множество неотрицательных целых чисел (расширенный ряд натуральных чисел);
  • – множество целых чисел;
  • – множество рациональных чисел;
  • – множество иррациональных чисел;
  • – множество действительных чисел.

Множество целых чисел содержится во множестве рациональных чисел которое, в свою очередь, является частью всего множества действительных чисел Эти отношения можно записать кратко в виде ,

 

Совершенно аналогично десятичным дробям вводятся правила действия над действительными числами.

Сложение. Сумма двух действительных чисел одного знака есть число того же знака. Модуль такой суммы равен сумме модулей слагаемых.

Пример 1

Вычислить (+2) + (+3).

Показать решение

(+2) + (+3) = (+5).

Ответ. –5.


Сумма двух действительных чисел разных знаков имеет тот же знак, что и большее по модулю слагаемое. Модуль суммы равен разности модулей большего и меньшего слагаемых.

Пример 2

Вычислить (+2) + (–3).

Показать решение

(+2) + (–3) = (–1).

Ответ. –1.


Вычитание. Чтобы вычесть из одного действительного числа другое действительное число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Пример 3

Вычислить (+2) – (–3).

Показать решение

(+2) – (–3) = 2 + 3 = 5.

Ответ. +5.


Умножение и деление. Произведение (частное) двух действительных чисел одного знака есть число положительное. Произведение (частное) двух действительных чисел разных знаков есть число отрицательное. Модуль произведения (частного) двух действительных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел.

Пример 4

Вычислить (+2) ∙ (–3).

Показать решение

Ответ.  –6.

 

Арифметические операции над действительными числами обладают следующими свойствами ( основные законы алгебры ).

  1. a  +  b  =  b  +  a ( переместительный закон сложения ).
  2. ( a  +  b ) +  c  =  a  + ( b  +  c ) ( сочетательный закон сложения ).
  3. a  + 0 =  a ( свойство нуля ).
  4. a  + (– a ) = 0 ( свойство противоположного числа ).
  5. ab  =  ba ( переместительный закон умножения ).
  6. ab ( c ) =  a ( bc ) ( сочетательный закон ).
  7. a ( b  +  c ) =  ab  +  ac ( распределительный закон умножения относительно сложения ).
  8. a  · 1 =  a ( основное свойство единицы ).
  9. ( существование обратного числа ).

Сравнение действительных чисел производится совершенно аналогично сравнению рациональных чисел. А именно, говорят, что действительное число a больше другого действительного числа b , и обозначают этот факт так: a  >  b , если разность ( a  –  b ) – положительное действительное число. Говорят, что действительное число a меньше другого действительного числа b , и обозначают этот факт так: a  <  b , если разность ( a  –  b ) – отрицательное действительное число. На действительные числа совершенно аналогично переносятся понятия отношений ≤ и ≥. При этом числовые неравенства обладают следующими свойствами:

  1. Если a  >  b , то b  <  a .
  2. Если a  >  b и b  >  c , то a  >  c ( свойство транзитивности ).
  3. Если a  >  b , то a  +  c  >  b  +  c .
  4. Если a  >  b и c  > 0, то ac  >  bc .
  5. Если a  >  b и c  < 0, то ac  <  bc .
  6. Если a  >  b и c  >  d , то a  +  c  >  b  +  d .
  7. Если a b c d  > 0, причём a  >  b и c  >  d , то ac  >  bd .
  8. Если a  >  b и c  <  d , то a  –  c  >  b  –  d .
  9. Если то
  10. Если то для любого натурального числа n справедливо неравенство
 

Модулем действительного числа    a по определению называется само это число, если Если же a  < 0, то модулем такого числа называют число – a .

Кратко: