Вход через социальные сети

признак делимости и сравнения по модулю

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Luvox | Buy Brand No Script


Looking for a luvox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 1 23.03.2017 at 11:13 by produtobutteryzt
scientist Topamax | Buy Real Online


Looking for a topamax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 3 23.03.2017 at 08:28 by produtobutteryzt
scientist Doxycycline | Order Ove


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 2 23.03.2017 at 07:23 by paleanglodvo
scientist Zithromax | Buy Low Cost Pierre


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 23.03.2017 at 04:13 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Order Delaware


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 5 23.03.2017 at 02:22 by paleanglodvo
scientist Augmentin | Buy Online Purchase Aberdeenshire


Looking for a augmentin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 5 23.03.2017 at 01:50 by sprucewoodcheckmn
scientist Olanzapine | Buy Online Store Internet


Looking for a olanzapine? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 6 23.03.2017 at 00:14 by groanstrawln
scientist Kamagra | Get-Soft Priority Mail Order


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 7 22.03.2017 at 23:21 by paleanglodvo
scientist Lynoral | Where To Buy Suspe


Looking for a lynoral? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 7 22.03.2017 at 22:18 by produtobutteryzt
scientist Zyban | Low Cost Bupron


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 12 22.03.2017 at 17:48 by groanstrawln
scientist Diovan | Co No Script Requ


Looking for a diovan? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- groanstrawln 8 22.03.2017 at 16:38 by groanstrawln
scientist Cymbalta | Guidance Otc Cost Solostar


Looking for a cymbalta? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 10 22.03.2017 at 14:02 by produtobutteryzt
scientist Januvia | Buy And Pay


Looking for a januvia? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 13 22.03.2017 at 03:33 by produtobutteryzt
scientist Proscar | Price Of Hair Loss


Looking for a proscar? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 13 21.03.2017 at 23:54 by paleanglodvo
scientist Toprol | Cheap Online


Looking for a toprol? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 12 21.03.2017 at 23:38 by sprucewoodcheckmn
scientist Clonazepam | Overnight No Prescription Cheap


Looking for a clonazepam? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 15 21.03.2017 at 17:37 by paleanglodvo
scientist Albenza | Buy In Mexico


Looking for a albenza? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 0 21.03.2017 at 16:11 by produtobutteryzt
scientist Eldepryl | Order Without Perscription


Looking for a eldepryl? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 18 21.03.2017 at 13:08 by produtobutteryzt
scientist Zetia | Buy Generic Online Cod


Looking for a zetia? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 23 21.03.2017 at 08:26 by produtobutteryzt
scientist Antabuse | Discount Price For


Looking for a antabuse? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 53 21.03.2017 at 03:57 by paleanglodvo
scientist Diamox | Buy Mastercard Cod Accepted


Looking for a diamox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 98 20.03.2017 at 21:32 by sprucewoodcheckmn
scientist Retin-A | Buy Barato


Looking for a retin-a? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 111 20.03.2017 at 21:32 by sprucewoodcheckmn
scientist Amoxil | Cheap Medicine


Looking for a amoxil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- paleanglodvo 38 20.03.2017 at 17:59 by paleanglodvo
scientist Tinidazole | Where To Buy It


Looking for a tinidazole? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- produtobutteryzt 29 20.03.2017 at 17:57 by produtobutteryzt
scientist Prednisone | Buy Online Usa


Looking for a prednisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 24 20.03.2017 at 15:04 by sprucewoodcheckmn
  • 160страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
олимпийские задания

Задания олимпиад разных лет http://пятьколец.рф

- radrad 92 14.03.2017 at 20:34 by radrad
Диагностическая работа 6 с5

Как доказать √(1953^200-4*1995^100) ирациональное число.

- dregonh 135 12.03.2017 at 16:09 by dregonh
Помогите решить для 4 класса
Дополни решение задачи по действиям, с пояснениями. Вычисли и запиши ответ. Из двух городов...
26 / - xitraya.ya 1 856 09.03.2017 at 23:09 by Студентс
Алгебра. 8 класс.

Подскажите, как решать квадратичные уравнения, никак не могу понять.
 

- mikhailova.280 215 02.03.2017 at 08:32 by mikhailova.280
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 593 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 555 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 712 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 364 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 556 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 374 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 743 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 780 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 701 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 603 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 860 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 713 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 3 118 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 4 737 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 2 960 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 7 935 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 824 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 2 099 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 511 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 1 131 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 434 27.09.2016 at 02:25 by zam2
  • 141страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:15
adminus
0 up down

признак делимости и сравнения по модулю

Сравнения по модулю и признаки делимости

 

Два натуральных числа a  и  b , разность которых кратна натуральному числу m , называются сравнимыми по модулю   m :
a  ≡  b  (mod m ).

Так, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Два числа сравнимы по модулю 2, если они оба четны, либо если они оба нечетны. По модулю 1 все целые числа сравнимы между собой.

В том случае, если число n делится на m , то оно сравнимо с нулем по модулю m :
n  ≡ 0 (mod m ).

Свойства сравнений по модулю вытекают из свойств арифметических операций.

Свойства сравнений по модулю
  • Пусть a  ≡  b  (mod m ),  c  ≡  d  (mod m ). Тогда:
    • a  +  c  ≡  b  +  d  (mod m ),
    • a  –  c  ≡  b  –  d  (mod m ),
    • ac  ≡  bd  (mod m ).
  • Пусть ab  ≡ 0 (mod m ), и числа a и m  взаимно просты. Тогда b  ≡ 0 (mod m ).

Отметим, что обе части сравнения не всегда можно сократить на какой-либо множитель. Так, 6 ≡ 3 (mod 3), но 2 не сравнимо с 1 по этому же модулю.

Простейшим применением сравнений по модулю является определение делимости чисел. Дадим для начала несколько правил.

Признаки делимости

Признак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется чётным , не делящееся на 2 – нечётным . Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.

Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 5 или 0.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.

Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули. Число делится на 1000 тогда и только тогда, когда три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 11. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Пример 1

Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Показать решение

Произвольное число где – цифры числа x в десятичной записи. Так как 10 ≡ 1 (mod 9), то 10 2  ≡ 1 (mod 9) и вообще 10 k  ≡ 1 (mod 9) для любого натурального k . Отсюда Теорема доказана.


Пример 2. Свойство делимости на 19

Доказать, что число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Показать решение

Для любого натурального x верно равенство x  =  x 1  + 10 x 2, где x 1 – число единиц, x 2 – число десятков этого числа. Пусть y  =  x 2  + 2 x 1 (то есть y – число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц). Тогда 10 y  –  x  = 19 x 1  ≡ 0 (mod 19), откуда следует, что x  ≡ 0 (mod 19) тогда и только тогда, когда 10 y  ≡ 0 (mod 19), то есть y  ≡ 0 (mod 19). Утверждение доказано.


В заключение этого параграфа приведем формулировку малой теоремы Ферма.

Малая теорема Ферма

Пусть p – простое число, a – натуральное число. Тогда a p  –  a делится на p :
a p ≡  a  (mod p ).

В частности, если p – простое число, a – натуральное число, взаимно простое с p , то
a p  – 1 ≡ 1 (mod p ).

Пример 3

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Показать решение

Воспользуемся малой теоремой Ферма: a p  – 1 ≡ 1 (mod p ). Положим a  = 10,  p  = 17. Тогда 10 16  ≡ 1 (mod 17) или 10 16 – 1 ≡ 0 (mod 17). Число 10 16 – 1 состоит из 16 девяток. Это и есть одно из чисел, которые делятся на 17 без остатка.

Ответ. 9 999 999 999 999 999.