Вход через социальные сети

Делители и кратные

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Disulfiram | Cheap Paypal Phoenix


Looking for a disulfiram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 20 18.02.2017 at 13:30 by whiteboxweaselkcy
scientist Citalopram | Order Cod Saturday


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 17 18.02.2017 at 05:47 by whiteboxweaselkcy
scientist Bonus Bagging | System Review

Dear Friend!

STOP!

...
- whiteboxweaselkcy 23 17.02.2017 at 22:15 by whiteboxweaselkcy
scientist Zithromax | Mail Order Medication


Looking for a zithromax? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 23 17.02.2017 at 16:33 by whiteboxweaselkcy
scientist Doxycycline | Without Prescription Ramysis


Looking for a doxycycline? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 32 16.02.2017 at 12:07 by whiteboxweaselkcy
scientist Diamox | Buy In Bangkok


Looking for a diamox? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 46 14.02.2017 at 20:29 by sprucewoodcheckmn
scientist Glucophage | Purchase 500


Looking for a glucophage? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 119 14.02.2017 at 08:52 by sprucewoodcheckmn
scientist Ambien | Buy Stendra


Looking for a ambien? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 71 12.02.2017 at 22:40 by whiteboxweaselkcy
scientist Seroflo | Online Price Order


Looking for a seroflo? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 47 12.02.2017 at 18:14 by whiteboxweaselkcy
scientist Motrin | Purchase Medication


Looking for a motrin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 53 12.02.2017 at 05:34 by whiteboxweaselkcy
scientist Triamterene | Without Prescription Generic Discounts


Looking for a triamterene? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 61 12.02.2017 at 05:09 by sprucewoodcheckmn
scientist Deltasone | Buy Sterapred


Looking for a deltasone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 63 11.02.2017 at 22:26 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadacip | Order Otc Tablet York


Looking for a tadacip? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 67 11.02.2017 at 08:24 by whiteboxweaselkcy
scientist Biaxin | Fedex Without Prescription


Looking for a biaxin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 75 10.02.2017 at 21:34 by sprucewoodcheckmn
scientist Coreg | Purchase Dilatrend Tablets Overnight


Looking for a coreg? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 104 10.02.2017 at 00:50 by sprucewoodcheckmn
Тема форума Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 286 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
scientist Prednisone | Buy Online For Humans


Looking for a prednisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 115 08.02.2017 at 01:26 by whiteboxweaselkcy
scientist Seroflo | 500Mcg Buy Seretide Johor


Looking for a seroflo? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 88 07.02.2017 at 20:12 by sprucewoodcheckmn
Тема форума Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 245 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
scientist Maxalt | Can Online Pharmacy Buy


Looking for a maxalt? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 105 07.02.2017 at 14:43 by sprucewoodcheckmn
scientist Tadalis | #


Looking for a tadalis? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 98 07.02.2017 at 12:17 by whiteboxweaselkcy
scientist Silagra | #


Looking for a silagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 110 07.02.2017 at 10:15 by whiteboxweaselkcy
scientist Strattera | Purchase Discount No Prescription


Looking for a strattera? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 94 07.02.2017 at 06:38 by sprucewoodcheckmn
scientist Levlen | Amitriptyline Buy Online Canada


Looking for a levlen? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- whiteboxweaselkcy 114 07.02.2017 at 00:39 by whiteboxweaselkcy
scientist Anafranil | Cheap Internet Minnesota


Looking for a anafranil? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 137 05.02.2017 at 17:19 by sprucewoodcheckmn
  • 158страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Уравнение нормали ПОМОГИТЕ

Задание: написать уравнение нормали к кривой y=e^(1-x) зная, что эта нормаль параллельна прямой...

2 / - Hidemi2013 286 08.02.2017 at 18:49 by ARRY
Помогите, 9класс

дана система 

х^2+(y-3)^2=9
y=[x]=a

2 / - abrosyalnr 245 07.02.2017 at 19:58 by GEPIDIUM
Пожалуйста , помогите найти интегралы!!!!!

Найти интегралы !

3 / - gennnevra 402 03.02.2017 at 17:44 by 12d3
Найти угол между плоскостями

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1
cтороны основания равны 1, а боковые...

- kicul.tanya 178 28.01.2017 at 05:48 by kicul.tanya
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 317 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 201 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 484 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 476 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 463 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 397 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 587 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 2 025 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 753 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 3 691 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 2 252 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 987 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 1 376 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 692 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 1 209 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 837 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 1 130 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 860 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 416 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 1 163 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 2 142 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:14
adminus
0 up down

Делители и кратные

Делители и кратные

Для натурального числа b всякое целое число a единственным образом представимо в виде a  =  bq  +  r , где 0 ≤  r  ≤ | b |.

Со времен древних греков известен рисунок, иллюстрирующий доказательство этой теоремы:

1
Рисунок 1.1.2.1

Если натуральное число p не делится на натуральное число q , то говорят о делении с остатком . Так, если p – делимое, q – делитель и p  >  q , то
p  =  kq  +  r , где r  <  q , k – частное, r – остаток. Деление без остатка описывается случаем r  = 0.

Если положить, например, q  = 5 и r  = 1, то получим p  = 5 k  + 1, что представляет собой общую формулу чисел, при делении которых на 5 в остатке получается 1.

Модель 1.1. Деление с остатком

Напомним, что для натурального числа q всякое натуральное число p единственным образом представимо в виде
p  =  kq  +  r .

Все натуральные числа имеют, по крайней мере, два натуральных делителя: единицу и самого себя. В случае с единицей эти два делителя совпадают. Все остальные натуральные числа (кроме 1) имеют, по крайней мере, два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

 

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме единицы и самого себя, называют составными .

Число 1 имеет единственный натуральный делитель – самого себя. А значит, согласно данным определениям, оно не является ни простым, ни составным.

Для того, чтобы доказать, что данное натуральное число простое, достаточно установить, что оно не делится ни на одно из чисел от 2 до включительно. Если же N делится на одно из таких чисел, то оно составное.

Более удобный способ отбора составных чисел – решето Эратосфена – предложил в III в. до н. э. древнегреческий математик Эратосфен. Предположим, что нам нужно установить, какие из чисел 2, …,  N являются простыми. Выпишем их в ряд и вычеркнем каждое второе число из следующих за числом 2 – все они составные, так как кратны числу 2. Первое из оставшихся невычеркнутыми чисел – 3 – является простым. Вычеркнем каждое третье число из следующих за числом 3; следующее из невычеркнутых чисел – 5 – также будет простым. По тому же принципу вычеркнем каждое пятое число из следующих за числом 5 и вообще каждое k -ое из следующих за числом k . Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство
 

Предположим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквой N . Тогда число x  = 1 · 2 · … · ( N  – 1) ·  N  + 1 должно быть составным. Это число при делении на числа 2, 3, …,  N  – 1,  N всякий раз дает в остатке единицу. Таким образом, x не делится без остатка ни на одно из чисел 2, …,  N , а простых чисел, бóльших N , по нашему предположению не существует. Но если бы x было составным числом, то оно должно было делиться хотя бы на одно простое число. Мы приходим к противоречию – следовательно, ряд простых чисел бесконечен.

Доказательство этой теоремы принадлежит древнегреческому математику Евклиду и описано в его «Началах».

Приведем список простых чисел в пределах первой сотни:

Глядя на эту таблицу, можно убедиться в том, что простые числа распределены в натуральном ряду неравномерно. Существует расположенные рядом простые «числа-близнецы» (2 и 3, 3 и 5, 17 и 19, 41 и 43 и т. д.). С другой стороны, есть бесконечно длинные отрезки натурального ряда, на которых простых чисел нет вообще (так, среди последовательных чисел x  + 2,  x  + 3,  x  + 4, …,  x  +  k , где x  = 1 · 2 · … · ( k  – 1) ·  k , нет ни одного простого).

Обозначим через π ( n ) число простых чисел, меньших n . Немецкий математик Леонард Эйлер доказал, что отношение при больших n сколько угодно близко приближается к нулю. Позже математики доказали, что для больших n число (с понятием логарифма мы познакомимся позже). Также доказано, что для натурального числа n в промежутке [ n ; 2 n ] всегда найдется хотя бы одно простое число.

Одно дело – знать, что простых чисел бесконечно много, и совсем другое – доказать, что данное число n является простым. В 2005 году было доказано, что число (2 30402457 – 1) простое; оно содержит в своей записи более 900 тысяч цифр.

Определить, является ли большое число простым, очень непросто. В настоящее время эта проблема решается при помощи ЭВМ, однако даже на самых быстрых из современных ЭВМ доказательство того, что число, состоящее из нескольких сотен цифр, является простым, может занять месяцы и годы. На сложности определения простоты чисел основаны современные механизмы шифрования данных.

Справедлива фундаментальная теорема о разложении числа на простые множители.

Любое натуральное число, отличное от 1, единственным образом разлагается в произведение простых чисел с точностью до порядка сомножителей.

Если требуется разложить небольшое число на простые множители, то эти простые множители можно угадать. Для того, чтобы разложить большое число на простые множители, используют следующий приём. Применяют признаки делимости и запись в столбик, причём делимое располагается слева от вертикальной черты, а делители – справа.

Модель 1.2. Разложение на простые множители

 

Для того чтобы не писать несколько раз одно и то же число в разложении на простые множители, можно записать коротко   И вообще, если какой-то множитель a встречается n раз, то записывают коротко: то есть .

 

Выражение называется степенью с натуральным показателем . Ясно, что Число a называется основанием степени , а n показателем степени . Третья степень числа называется кубом , вторая – квадратом . Первой степенью называется само число a .

Извлечением корня называется нахождение основания степени по степени и её показателю. Данная степень называется подкоренным числом, данный показатель называется показателем корня, искомое основание степени называется корнем. Например, так как то пишут: Здесь 5 – корень, 3 – показатель корня, 125 – подкоренное выражение. Корень второй степени называется квадратным корнем, корень третьей степени – кубическим. Принято опускать показатель корня, если корень является квадратным: поскольку

Общим делителем нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого их этих чисел. Среди всех делителей всегда есть наибольший. Такой делитель называется наибольшим общим делителем (обозначается НОД). Так, например, числа 16, 24, 32 имеют наибольший общий делитель – число 8. Этот факт коротко записывается так: НОД (16, 24, 32) = 8.

Если данные числа небольшие, то наибольший общий делитель можно легко угадать. Если же даны большие числа, то НОД можно найти разложением чисел на простые множители и выписыванием тех множителей, которые входят во все данные числа. Затем каждый такой множитель следует взять с наименьшим показателем, с которым он входит во все данные числа, после чего нужно произвести умножение.

Модель 1.3. Наибольший общий делитель
Пример 2

Пусть даны числа 1080 и 8100. Найти НОД (1080, 8100).

Показать решение

Выпишем все простые делители числа 1080:
2, 2, 2, 3, 3, 3, 5. Выпишем теперь все простые делители числа 8100:
2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5. Таким образом, а Значит,
Ответ.  


Если числа a и b таковы, что НОД ( a b ) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми . Например, числа 21 и 26 являются взаимно простыми, хотя каждое из них – составное.

 

Общим кратным нескольких чисел называется число, являющееся кратным каждого из них. Например, числа 14, 18, 7 имеют общее кратное число 252, однако число 126 тоже является общим кратным этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, которое называется наименьшим общим кратным (обозначается НОК). В нашем примере наименьшим общим кратным перечисленных чисел будет число 126. Кратко этот факт записывается так: НОК (14, 18, 7) = 126.

Если числа небольшие, то наибольшее общее кратное можно легко угадать. Если же даны большие числа, то НОК можно найти разложением чисел на простые множители и выписыванием тех множителей, которые входят хотя бы в одно из данных чисел. После этого каждый такой множитель нужно взять с наибольшим показателем, с которым он входит во все данные числа. Затем следует произвести умножение.

Модель 1.4. Наименьшее общее кратное
Пример 3

Пусть даны числа 1080 и 8100. Найти НОК (1080, 8100).

Показать решение

Выпишем все простые делители числа 1080:
2, 2, 2, 3, 3, 3, 5. Выпишем теперь все простые делители числа 8100:
2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5. Таким образом, а Значит,
НОК (1080, 8100) = 2 3  ∙ 3 4  ∙ 5 2 = 16200.

Ответ. НОК (1080, 8100) = 16200.