Вход через социальные сети

Понятие натуральных чисел

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
scientist Naltrexone | Buy Uk


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 19:59 by sprucewoodcheckmn
scientist Naltrexone | Buy Online Cheap


Looking for a naltrexone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 3 24.01.2017 at 08:51 by sprucewoodcheckmn
scientist Keppra | Order


Looking for a keppra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- sprucewoodcheckmn 6 24.01.2017 at 07:00 by sprucewoodcheckmn
scientist Zyban | No Prescription Overnight Shipping


Looking for a zyban? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 18 21.01.2017 at 10:27 by enderpearlratioivc
scientist Kamagra | Buy In Vietnam


Looking for a kamagra? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 21 20.01.2017 at 06:42 by enderpearlratioivc
scientist Differin | Buy Online Europe


Looking for a differin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 39 20.01.2017 at 02:08 by enderpearlratioivc
Тема форума помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
scientist Grifulvin | Buy V Online


Looking for a grifulvin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 37 18.01.2017 at 15:15 by enderpearlratioivc
scientist Lotrisone | Buy Generic Online


Looking for a lotrisone? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 33 18.01.2017 at 14:34 by enderpearlratioivc
scientist Desyrel | Order


Looking for a desyrel? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 32 18.01.2017 at 12:01 by enderpearlratioivc
Тема форума Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
scientist Celebrex | Buy From Canada


Looking for a celebrex? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 50 17.01.2017 at 22:58 by enderpearlratioivc
scientist Lipitor | Low Cost Medicine Check


Looking for a lipitor? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 30 17.01.2017 at 22:10 by enderpearlratioivc
scientist Sumycin | Order Interactions


Looking for a sumycin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 38 17.01.2017 at 20:33 by enderpearlratioivc
scientist Citalopram | Buy In Uk


Looking for a citalopram? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 47 16.01.2017 at 21:46 by enderpearlratioivc
scientist Neurontin | Order Without A Script


Looking for a neurontin? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 93 16.01.2017 at 16:31 by enderpearlratioivc
scientist Z Code System | Buy Sports Betting System

Let me ask you this Do you want to follow a winning sports betting system but don't have...

- enderpearlratioivc 32 16.01.2017 at 13:54 by enderpearlratioivc
scientist Cardizem | Amex Cod Accepted Spain


Looking for a cardizem? Not a problem!

Guaranteed Worldwide...

- enderpearlratioivc 184 16.01.2017 at 03:52 by enderpearlratioivc
Тема форума Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тема форума Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
Тема форума почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Тема форума Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Тема форума Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Тема форума Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Тема форума Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
  • 155страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
помогите решать?

f(2-f(x))=6-4x  ,найти f(x)=ax+b
 

1 / - gelgelsema 79 19.01.2017 at 16:30 by grigoriy
Геометрия окружность HELP

Точки Р и Т принадлежат соответственно сторонам ВС и СД квадрата АВСД, причём ВР=ДТ и угол ВАР=...

- ssnnee 47 18.01.2017 at 11:43 by ssnnee
Прошу помогите Геометрия 7 класс
1. Периметр треуг. ABC равен 107 см. Сторона АВ равна 42 см, а разность сторон АС и ВС равна 15 см...
1 / - ser-evtushenko2015 278 28.12.2016 at 20:55 by Albe
Тригонометрия

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как начать:

...

1 / - Александр Малошенко 261 21.12.2016 at 21:07 by 12d3
почему Г. Перельман постеснялся принять призовой миллион долларов

Институт  Клэя  заявил о семи «задачах  тысячелетия»  за решение которых обещает миллион...

1 / - boguslavka1 283 19.12.2016 at 12:22 by GEPIDIUM
Известна точка пересечения диагоналей квадрата К (1,5;3,5) и уравнение одной из сторон х-4у+4=0 Помогите решить!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! хелп ми - kakveter02 237 06.12.2016 at 13:26 by kakveter02
Помогите решить

Какую высоту имеет медный провод с площей поперечного перереза 0.1 мм2 если при напряжении 1.7...

1 / - davidgt9500 374 02.12.2016 at 11:31 by Таланов
Разность двух величин

Здрасте всем. Тут в задании по электронике был расчёт операционного усилителя. Там есть 4-х...

14 / - GEPIDIUM 1 395 23.11.2016 at 10:34 by GEPIDIUM
Найти "красивую последовательность концентрических сфер"

Имеется система концентрических сфер, главный признак которых – один общий центр. Сферы –...

4 / - kimmak2014 2 436 22.11.2016 at 10:37 by kimmak2014
Доказать неравенство

Здраствуйте. Возникла у меня затыка в курсовой по рядам. Там в одной задаче я исследовала...

26 / - GEPIDIUM 2 895 12.11.2016 at 09:43 by ARRY
Выражение переменной из формулы

Добрый день товарищи форумчане! Поставлена задача выразить переменную из формулы и с этим...

16 / - dogd 1 715 25.10.2016 at 21:10 by Olelukoe
Составить математическую модель задачи
Есть задача
...
14 / - Ёрик 6 220 21.10.2016 at 20:26 by magammed-gasanov97
Помогите решить
Учитель размышляет: -Если я собиру по 75 руб с каждого ученика то не хватит 440 руб на поездку....
4 / - Natalie-2004 964 11.10.2016 at 00:04 by ARRY
Геометрия для поступающих в ВУЗ.

Диагонали прямоугольного четырёхугольника взаимно-перпендикулярны. Найдите площадь этого  ...

5 / - kpn65super9 1 283 04.10.2016 at 15:17 by losev.cergej
Логическая, может кому интересно типа 2+2

Вам завязали глаза. На столе лежат 13 монет 5 решкой и 8 орлом на ощупь различить их нельзя,...

3 / - losev.cergej 932 03.10.2016 at 23:00 by losev.cergej
Проверьте вычисление.

...

1 / - AAA1111 611 01.10.2016 at 03:14 by AAA1111
задача на вектора

Здравствуйте. Известно разложение вектора OD

OD=2OA+0,5ОВ-1,5ОС. Докажите, что точки A,...

2 / - tata00tata 854 27.09.2016 at 02:25 by zam2
Олимпиада

2+2=x 

Чему равен x?

2 / - hvosevrstislav 1 572 25.09.2016 at 15:02 by losev.cergej
Новые основы математики

«Свойства чисел на числовой оси.

Всякое положительное число и 0 больше...

5 / - piven 1 075 25.09.2016 at 14:04 by losev.cergej
Поясните с переводом единиц измерения.
0,1mm^{2} 
...
2 / - AAA1111 903 11.09.2016 at 13:37 by AAA1111
Легко найти площадь трапеции

Недавно сделала для себя открытие. Есть сайты, на которых можно на калькуляторе решить любую...

4 / - zav197816 1 795 28.08.2016 at 01:19 by losev.cergej
задача по комбинаторике

Здравствуйте. 

Задача. Сколько можно сотавить семизначных телефонных номеров из цифр 1 2...

1 / - tata00tata 790 27.08.2016 at 14:15 by ARRY
Помогите решить задачу по математике за 7 класс

3 груши весят как 4 яблока. Что тяжелее 4 груши или 5 яблок и на сколько?

14 / - eng001 2 382 16.08.2016 at 01:38 by Таланов
найти радиус ролика

как найти радиус ролика? 

на чертеже, вверху изображен сам ролик с неким радиусом(...

- moskito.cam 723 14.08.2016 at 17:59 by moskito.cam
Задание от начальства

Добрый день. Это меня на собеседовании спросили. А я и не смог ответить
Из пункта А в...

4 / - mymbamutumba 1 309 12.08.2016 at 02:37 by Самоед
  • 140страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
18.08.2014, 04:14
adminus
0 up down

Понятие натуральных чисел

Понятие натуральных чисел

Понятия «число» и «операция» не так просты, как это может показаться с первого взгляда. Почему, пользуясь одними и теми же числами, мы можем считать камушки и звезды? Это позволяет нам думать, что, сколько бы ни было объектов, мы всегда сможем их пересчитать, и операции сложения, умножения будут также применимы к ним. Подобные вопросы ставились и древними греками, и в наше время.

В этом курсе мы будем исходить из того, что умение считать и различать разные количества предметов – врожденные способности человека. Возьмем в руки камушки, как это делали пифагорейцы, будем прибавлять их по одному, называть последовательно каждое количество своим именем и таким «наглядным» способом определим сразу два основных для алгебры понятия – число и операцию увеличения на единицу. Повторяя эту процедуру и предполагая, что ничто не мешает нам делать это бесконечно, мы сможем определить сложение и умножение на бесконечном множестве натуральных чисел.

 

Натуральными называются числа, которые используются для счёта предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …

 

При сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число.

Пусть p и q – натуральные числа. Тогда:

  • s = p + q – натуральное число,  s сумма p и q слагаемые ;
  • t  =  pq – натуральное число,  t произведение p и q сомножители .

 

Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения не только для чисел, но и для гораздо более сложных объектов, таких, как множества, функции, группы и так далее.

Сложение и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами:

  1. a  +  b  =  b  +  a ( переместительный закон сложения ).
  2. ( a  +  b ) +  c  =  a  + ( b  +  c ) ( сочетательный закон сложения ).
  3. ab  =  ba ( переместительный закон умножения ).
  4. ( ab ) c  =  a ( bc ) ( сочетательный закон умножения ).
  5. a ( b  +  c ) =  ab  +  ac ( распределительный закон умножения относительно сложения).

 

К сложению и умножению можно добавить обратные операции – вычитание и деление.

Если p q  и  k – натуральные числа, то при натуральном k  =  p  –  q говорят, что

  • p уменьшаемое q вычитаемое ; k разность .

Если же натуральное k  =  p  :  q , то говорят, что

  • p делимое ; q делитель ; k частное .

При этом число p называется кратным числа q , а число q делителем числа p . Другими словами, если число p кратно числу q , то существует такое число k , что k  =  p  :  q .

Вычитание и деление натуральных чисел, вообще говоря, не всегда приводит опять к натуральному числу: 15 – 3 = 12 – натуральное число, но 4 – 9 = –5 – не натуральное число. 25 : 5 = 5 – натуральное число, 22 : 7 – не натуральное число.

Увы, нам придется вводить ограничения на применимость новых операций, так как в некоторых случаях они выводят нас за рамки натуральных чисел, а другие числа мы еще не определили. Так что будем пока считать, что нельзя вычитать большее из меньшего, и делить на число, которое не укладывается нацело в делимом. Но с этими ограничениями мы можем уже записывать числовые выражения.

 

 

Числовым называется выражение , составленное из чисел с помощью знаков арифметических действий. Если в числовом выражении выполнить все указанные действия, то получится число, которое называется значением данного выражения .

Для того, чтобы определить порядок действий в выражении, введем еще один, парный, знак – скобки.

Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

Пример 1

В каком порядке нужно выполнять действия в выражении

Показать решение

Порядок действий указан цифрами над знаками арифметических действий:


Пример 2

В каком порядке нужно выполнять действия в выражении

Показать решение

Порядок действий указан цифрами над знаками арифметических действий:


 

Еще один простой вопрос – можем ли мы наше множество упорядочить? Существует ли последовательность действий, выполнив которую, мы можем перечислить все элементы множества? Это было бы равнозначно введению какого-то однозначного отношения между элементами. Самым простым упорядочивающим отношением служит понятие «больше», и, чтобы ввести его, расположим натуральные числа на числовой прямой.

1
Рисунок 1.1.1.1.

Нарисуем горизонтальную прямую x , выберем на ней точку O и назовём её началом отсчёта , выберем на этой прямой направление (обычно слева направо) и единичный отрезок (то есть отрезок, длина которого по определению равна 1) (см. рисунок). Говорят, что задана координатная прямая . Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одну и только одну точку. Именно, если, например, задано число 5, отложим от точки O вправо выбранный единичный отрезок 5 раз. Точно так же можно поступить с любым натуральным числом. Если некоторая точка A соответствует некоторому числу a , то говорят, что число a является координатой точки A . В этом случае пишут A  ( a ).

  • Говорят, что натуральное число a   меньше другого натурального числа b , и записывают этот факт так: a  <  b , если точка на числовой оси, отвечающая числу a , лежит левее точки, отвечающей числу b .

  • Говорят, что натуральное число a   больше другого натурального числа b , и записывают этот факт так: a  >  b , если точка на числовой оси, отвечающая числу a , лежит правее точки, отвечающей числу b .

Ясно, что число 0 (нуль) – координата точки O – меньше любого натурального числа.

Для любых двух натуральных различных чисел a и b справедливо одно и только одно утверждение: a  <  b , a  >  b или a  =  b . Знаки < и > называются знаками строгих неравенств , знаки ≤ и ≥ – знаками нестрогих неравенств . Запись a  ≤  b означает, что верно одно из двух утверждений: либо a  <  b , либо a  =  b . Неравенства a  <  b и c  <  d называют неравенствами одного знака ; неравенства a  <  b и c  >  d называют неравенствами разных знаков .