Вход через социальные сети

  • 28.06.2014, 21:34
    0 up down
    Сообщение
    В геодезии при обработке результатов измерений ("разгоне невязок на полигоне") что-то такое делают.Там при предположении о нормальном (но неодинаковом) распределении каждой ошибки, и независимости ошибок, методом максимального правдоподобия получается МНК с весами, обратно пропорциональными дисперсиям соответствующих измерений, и неважно, как много (N) измерений разной точности сделано, даже если измерялось одно и то же несколько раз - каждое будет учтено своим слагаемым.
    Тут, если предположить, что эмпирические отношения распределены логнормально, также выйдет
    \displaystyle \sum_{k=1}^N\frac{(\ln x_{i(k)}-\ln x_{j(k)}-\ln r_k)^2}{\sigma_k^2}\to\min, где k-е данная оценка имеет вид
    \displaystyle \frac{x_{i(k)}}{x_{j(k)}}=r_k, а данные о достоверности надо пересчитать в оценки дисперсий логарифмов отношений \sigma_k^2
    Приравнивая частные производные по y_i=\ln x_i,i=1...n к 0, получаем n линейных уравнений с n неизвестными y_i
    Но это не единственный путь. Есть "методы анализа иерархий", их много и частично противоречат друг другу
  • 29.06.2014, 12:41
    0 up down
    Сообщение
    Ian, большое спасибо за развернутый ответ.

    Попробовал найти решение с помощью предложенного подхода для следующей ситуации. Поправьте, пожалуйста, если где-то допущена ошибка.

    Допустим N количество точек = 3. Известны следующие измерения:
    x_a = 2x_b \sigma^2 = 1
    x_b = 2x_c \sigma^2 = 1
    x_c = 2x_a \sigma^2 = \frac{1}{2}
    Таким образом вероятность последнего измерения в два раза больше вероятностей первых двух.

    Заменяя в исходной формуле \ln{x_i} на y_i получаем:

    f = (y_a - y_b - \ln{2})^2 + (y_b - y_c -\ln{2})^2+ 2*(y_c - y_a - \ln{2})^2 \to min

    \frac{\partial f}{\partial y_a} = - 4y_c - 2y_b + 6y_a + 2\ln{2} = 0
    \frac{\partial f}{\partial y_b} = - 2y_c + 4y_b - 2y_a = 0
    \frac{\partial f}{\partial y_c} = 6y_c - 2y_b - 4y_a - 2\ln{2} = 0

    Сложив эти три уравнения получаем 0 в левой части, и найти значения не получается.

    Интуитивно, исходя из условия задачи должно получится что x_c > x_a или x_b
  • 29.06.2014, 13:46
    0 up down
    Сообщение
    roki в 29.6.2014, 12:41 написал(а): link
    Таким образом вероятность последнего измерения в два раза больше вероятностей первых двух.
    Как-то коряво звучит. Может, лучше "точность последнего измерения в два раза больше точности первых двух"?
    roki в 29.6.2014, 12:41 написал(а): link
    Сложив эти три уравнения получаем 0 в левой части, и найти значения не получается.
    Все правильно. У вас игреки определяются с точностью до произвольного слагаемого (иксы с точностью до произвольного множителя). Один из игреков нужно задать произвольно, и выразить через него остальные. Получим:
    \\y_a-произвольное
\\y_b=y_a+\frac {1} {5}ln2
\\y_c=y_a+\frac {2} {5}ln2
    Отсюда:
    \\x_a-произвольное
\\x_b=x_a2^{1/5}=1.15x_a
\\x_c=x_a2^{2/5}=1.32x_a
  • 29.06.2014, 22:37
    0 up down
    Сообщение
    zam2 в 29.6.2014, 12:46 написал(а): link

    Все правильно. У вас игреки определяются с точностью до произвольного слагаемого (иксы с точностью до произвольного множителя). Один из игреков нужно задать произвольно, и выразить через него остальные. Получим:
    \\y_a-произвольное
\\y_b=y_a+\frac {1} {5}ln2
\\y_c=y_a+\frac {2} {5}ln2
    Отсюда:
    \\x_a-произвольное
\\x_b=x_a2^{1/5}=1.15x_a
\\x_c=x_a2^{2/5}=1.32x_a


    Отлично, действительно, мы можем произвольно выбрать шкалу отсчета, упустил это из виду.

    Думаю задача решена, как минимум выглядит многообещающе.
    Спасибо за помощь!