Вход через социальные сети

  • 3страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 09.10.2008, 21:31
    0 up down
    Сообщение
    Сначала замену u=y'', a там посмотрим.

    Это не настоящеe уравнение высших порядков, это муляж Smile
  • 09.10.2008, 21:57
    0 up down
    Сообщение
    Действительно Blum 3

    Тогда сделаем замену:


    y'' = u

    xu' + u = x + 1

    u + x(u' - 1) = 1

    Я сначала подумал, что это линейное уравнение и попытался решить методом Бернули :no:
    Да и разделить переменые чтото пока не вышло :search:
  • 09.10.2008, 21:58
    0 up down
    Сообщение
    fynt в 9.10.2008, 19:21 написал(а): link

    Bсем привет.
    Чтото непойму как подступиться к этому ДУ:

    xy''' + y''=x+1

    Впринципе можно переделать это уравнение и получить такое:

    \frac {y''-1} {1-y'''} = x

    но никаких мыслей непоявилось :no:

    Что вообще надо сделать c ним? :search:

    Выполни замену x=e^t, это уравнение Эйлера.
    x=e^t \Rightarrow y'_x=y'_t* e^{-t} \Rightarrow y''_x =e^{-2t}*(y''_t-y'_t) \Rightarrow y'''_x=e^{-3t}*(y'''_t-3y''_t+2y'_t) \Rightarrow y'''_t-2y''_t+y'_t=e^{3t}+ e^{2t}
    Это просто стандартный приём, может быть пригодится на экзамене.
  • 09.10.2008, 22:20
    0 up down
    Сообщение
    xu' + u = x + 1
    Это линейное неоднородное уравнение. Решается обычно так.
    1. Угадываем какое-нибудь решение попроще. B данном случае можно поискать решение в виде линейной функции w=ax+b. Подставив в уравнение получим:
    xa+ax+b=x+1, откуда понятно, что надо брать a=\frac{1}{2} и b=1.
    w=\frac{x}{2}+1 - частное решение неоднородного уравнения.
    2. Убиваем правую часть заменой u=v+w=v+\frac{x}{2}+1 и получаем xv' + v = 0.
    3. Решаем: v=\frac{C}{x}
    Итого ответ:
    u=\frac{C}{x}+\frac{x}{2}+1

    Бред исправлен.
  • 10.10.2008, 12:34
    0 up down
    Сообщение
    При замене y''=z
    Упорно получается z=\frac{x}{2}+1+\frac{C}{x}
  • 10.10.2008, 14:07
    0 up down
    Сообщение
    Ярослав в 10.10.2008, 12:34 написал(а): link
    При замене y''=z
    Упорно получается z=\frac{x}{2}+1+\frac{C}{x}
    Как именно получается? И в каком уравнении?
    Ответ можно подставить и проверить.
  • 10.10.2008, 15:00
    0 up down
    Сообщение
    xz'+z=x+1
  • 10.10.2008, 15:58
    0 up down
    Сообщение
    Да, конечно, Акела опять промахнулся. Единица же не решение.
    Исправил.
  • 10.10.2008, 19:33
    0 up down
    Сообщение
    ..... это уравнение Эйлера


    Eсли честно, то ни в одной моей книжке не рассматривалось это уравнение :search:
    Поэтому пока его отложим..

    Mipter снова поиграл в игру "угадай решение" Lol Надо будет научиться тоже угадывать Smile
    Например неочень понятно по какой причине появилась мысль:

    1. Угадываем какое-нибудь решение попроще. B данном случае можно поискать решение в виде линейной функции......


    Теперь моя мысль....

    Делаем замену:

    xy''' + y'' = x + 1

    y'' = p ,\, \, \, y''' = p'

    xp' + p = x + 1

    Делим на х и получаем линейное уравнение:

    p' + \frac {p} {x} = \frac {x + 1 } {x}

    Метод Бернулли (ага Smile ) . Замена.....

    p = ab, \, \, \, p' = a'b +ab'

    a'b + ab' +  \frac {ab} {x}= \frac {x+1} {x}

    Группируем.....

    a'b + a(b' + \frac {b} {x}) = \frac {x+1} {x}

    Найдём b:

    b' + \frac {b} {x} = 0

    \frac {db} {dx} + \frac {b} {x} = 0

    \frac {db} {b} + \frac {dx} {x} = 0

    \int_{}^{}{}\frac {db} {b} + \int_{}^{}{}\frac {dx} {x} = c

    ln|b| + ln|x| = c

    ln|bx| = c

    bx = c

    b = \frac {c} {x}

    Найдём a:

    a'b = \frac {x+1} {x}

    a' \frac {c} {x} = \frac {x+1} {x}

    a' = \frac {x+1} {c}

    a = \int_{}^{}{\frac {x+1} {c}} = \frac {x^2} {2c} + \frac {x} {c} + c

    Найдём то что хотели:

    p = ab =  (\frac {x^2} {2c} + \frac {x} {c} + c) \frac {c} {x} = \frac {x} {2} + 1 + \frac {c^2} {x}

    Сделаем проверку:

    xp' + p = x+1

    p = \frac {x} {2} + 1 + \frac {c^2} {x}

    p' = \frac {1} {2} - \frac {c^2} {x^2}

    x(\frac {1} {2} - \frac {c^2} {x^2}) + \frac {x} {2} + 1 + \frac {c^2} {2} = x +1

    \frac {x} {2} - \frac {c^2} {x} + \frac {x} {2} + 1 + \frac {c^2} {2} = x +1

    x + 1 = x +1


    У нас правда ответы не совпали чуток... У меня C в квадрате :search:
  • 10.10.2008, 20:33
    0 up down
    Сообщение
    fynt в 10.10.2008, 18:33 написал(а): link

    У нас правда ответы не совпали чуток... У меня C в квадрате :search:

    переобозначьте и совпадет.