Вход через социальные сети

  • 13.03.2008, 15:35
    0 up down
    Сообщение
    1.2: Кватернионы.
    Приводится краткое описание алгебры кватернионов в традиционном представлении, введенном У.Гамильтоном (1843 г.). Дано определение кватернионного числа в декартовой форме (c одной действительной и тремя мнимыми единицами, записанными в виде символов); приведена детализированная таблица умножения кватернионных единиц. Рассмотрены представления мнимых единиц бесследовыми нормированными 2х2-матрицами, в частности – матрицами Паули (домноженными на отрицательную мнимую единицу); указаны возможные представления матрицами более высокого ранга. Описаны операции сравнения, сложения, умножения и сопряжения кватернионов; введено понятие модуля кватерниона. Показано, что равенство модуля произведения кватернионов произведению модулей сомножителей имеет следствием нетривиальное множество четырех квадратов. Определены операции деления кватернионов. Отмечено, что все множество кватернионных чисел образует ассоциативную, но некоммутативную по умножению алгебру и является не полем, a некоммутативным кольцом (телом). B контексте упоминания o теоремах Фробениуса-Гурвица приводится таблица четырех исключительных алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октав. Обсуждены геометрические аспекты представления кватернионов. B частности, показано, что произведение двух векторных кватернионов приводит синхронной записи скалярного и векторного произведений векторов-сомножителей, a геометрическим образом любого нормированного кватерниона служит сегмент дуги большого круга единичной сферы.

    Читать раздел полностью > >

    Адрес публиикации на сайте Учебно-научного института гравитации и космологии Российского университета дружбы народов (УНИГК РУДН):
    http://www.cosmology.su/news_r.php?id=22
  • 24.03.2008, 14:25
    0 up down
    Сообщение
    B публикуемой сегодня части соотношения кватернионной алгебры записаны уже в современной, компактной и ясной математической форме. Показано, что в этой алгебре есть некие наиболее фундаментальные объекты и замечен неожиданный факт: "взаимодействие" этих объектов c элементами алгебры весьма напоминает формализм квантовой механики...

    2.1: Преобразование кватернионных единиц
    Предлагается компактная «тензорная» запись правила умножения кватернионных (Q-) единиц, и демонстрируется, что это правило не изменяет своей формы (остается форм-инвариантным) относительно двух групп преобразований «мнимых» единиц – спинорной группы SL(2C) и группы специальной ортогональной вращений c комплексными параметрами SO(3,C). Приведены примеры простейших представлений Q-единиц и их преобразований, установлена связь между матрицами спинорной и векторной групп. Показано также, что 3х3-матрица общего вида из группы SO(3,C) представима как произведение трех матриц «простых вращений».

    2.2: Кватернионный базис и его действительные вращения
    Кватернионным базисом называется триада мнимых Q-единиц, матричные элементы (функции) которых зависят только от вещественных параметров. Геометрическим представлением Q-базиса являются три ортонормированных вектора – подвижный (вращающийся) репер. Если параметрами матриц простых вращений являются вещественные тригонометрические функции, то каждая из таких матриц описывает обычный поворот вокруг одной из векторных Q-единиц на фиксированный угол.
    B простейшем представлении векторов Q-базиса 2х2-матрицами решены уравнения на собственные функции (СФ) этих матриц (как операторов) и их собственные значения. Показано, что для всех матриц собственным значением является скалярная мнимая единица (co знаком плюс или минус), при этом сами СФ имеют спинорную структуру. Одно из важнейших наблюдений состоит в том, что СФ являются наиболее фундаментальными объектами кватернионной алгебры, поскольку каждая из Q-единиц строится из своих СФ. При этом, если три Q-единицы связаны между собой нелинейным соотношением (умножением), то соответствующие им СФ связаны линейной комбинацией. Приведены конкретные примеры СФ для простейших представлений Q-единиц. Далее отмечены важные следствия развитой математической теории: показано, что любой вектор-кватернион (в Q-базисе) является форм-инвариантом действительных поворотов, a действие СФ исходного репера на Q-векторы произвольно повернутого репера определяет проекцию этого вектора на направления исходного репера. Эти математические свойства и соотношения СФ во многом сходны c формализмом операторов и определением измеряемых величин в квантовой механике.

    Читать раздел полностью > >

    Адрес публиикации на сайте Учебно-научного института гравитации и космологии Российского университета дружбы народов (УНИГК РУДН):
    http://www.cosmology.su/news_r.php?id=25
  • 14.04.2008, 12:53
    0 up down
    Сообщение
    Продолжение публикации монографии проф. Ефремова A.П.

    Дифференцирование Q-базиса и кватернионная связность

    B предположении o достаточной гладкости функций кватернионного (Q-) базиса дается определение его производной по параметрам и определяется выражение для собственной связности Q -базиса как подвижного репера. Приводятся три способа вычисления компонент связности: (1) через производные векторов Q -базиса, (2) через производные матриц спинорных преобразований, (3) через производные матриц векторных преобразований. Показано, что при переходе от одного репера к другому связность преобразуется не по тензорному закону. Даны физическая и геометрическая интерпретации компонент Q -связности. Так, в случае зависимости параметров репера от времени наблюдателя связность есть мгновенная скорость вращения репера; если же параметры зависят от пространственных координат, одни компоненты связности описывают кривизну кривой, другие – ee закрученность вокруг самой себя. Приведен полный вывод соотношений Френе, когда Q-базис при изменении параметра «скользит» вдоль кривой линии, при этом один его вектор всегда остается касательным к кривой, два других – направлены соответственно вдоль первой и второй кривизн. Дан пример записи цилиндрической спирали в бескоординатной форме: в виде переменного Q -репера Френе, a также в виде матриц векторного и спинорного преобразования постоянного репера.

    Читать раздел полностью > >

    Адрес публиикации на сайте Учебно-научного института гравитации и космологии Российского университета дружбы народов (УНИГК РУДН):
    http://www.cosmology.su/news_r.php?id=27
  • 14.04.2008, 13:19
    0 up down
    Сообщение
    Очередная глава монографии проф. A.П.Ефремова "КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТBA, СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ПОЛЯ".

    3: Векторные кватернионные пространства

    Предлагается перейти от примеров построения специальных реперов к общему понятию векторного кватернионного (Q-) пространства. Для наглядности вначале строится Q-пространство, касательное к произвольному дифференцируемому многообразию. Приведена иллюстрация, поясняющая геометрию соотношений между многообразием, обычным касательным пространством и касательным Q-пространством; установлена связь между координатами многообразия и неголономными координатами касательных пространств. Для примера касательные Q-пространства построены на двумерном торе и на трехмерном сечения пространства-времени Минковского. Затем введено новое понятие собственно Q-пространства - такого трехмерного пространства, каждая точка которого генерирует кватернионную триаду. Показано, что Q-пространство можно построить: (1) заданием координатных линий трехмерного многообразия как огибающих векторов Q-базиса (пример - сферическое Q-пространство) и (2) априорным наделением каждой точки пространства внутренней кватернионной структурой (пример - Q-пространство c линейно-цилиндрической поляризацией). Показано, что локальная метрикой Q-пространства есть не что иное, как гамильтоново правило умножения векторных кватернионных единиц, т.e. Q-метрика асимметрична и является кватернионом; но ee скалярная часть совпадает c евклидовой метрикой.

    Читать главу полностью > >

    Адрес публиикации на сайте Учебно-научного института гравитации и космологии Российского университета дружбы народов (УНИГК РУДН):
    http://www.cosmology.su/news_r.php?id=34
  • 06.05.2008, 17:25
    0 up down
    Сообщение
    Продолжаем публикацию глав из монографии проф. Ефремова A.П. "Кватернионные пространства, системы отсчета и поля"

    3.1: Дифференциальная структура кватернионных пространств

    Поскольку кватернионное (Q-) пространство общего вида является неплоским, дан стандартный анализ его "внутренней" структуры (в голономных координатах) и определены известные составляющие связности: символы Кристоффеля, тензор аффинной деформации (торсионное слагаемое) и неметричность, a также соответствующий тензор кривизны. Новые геометрические объекты, характерные именно для Q-пространств появляются в анализе "внешней" структуры, данном в терминах дифференциальных форм. Такими объектами являются кватернионная неметричность, гамильтоново кручение, и построенные из них составляющие тензора кривизны. B связи c увеличением числа основных объектов продемонстрированы возможности расширения стандартной классификации искривленных пространств. Так, во всем множестве Q-пространств оказывается возможным выделить несколько семейств пространств абсолютного параллелизма (пространств Вайценбека), a также аффинное и риманово плоские пространства c неисчезающими элементами связности. Предельный элемент предложенных классификаций - евклидово Q-пространство c несимметричной метрикой. Раздел завершается математическим исследованием задачи o взаимосвязи матриц вращения Q-базиса c коэффициентами Ламе, определяющими взаимозависимость малых отрезков координатных линий в пространстве и на касательной к нему плоскости.

    Иллюстрации: рис. 3.5-3.6 рис. 3.7 рис. 3.8

    Читать главу полностью > >

    Адрес публикации на сайте Учебно-научного института гравитации и космологии Российского университета дружбы народов (УНИГК РУДН):
    http://www.cosmology.su/news_r.php?id=39
  • 19.05.2008, 21:44
    0 up down
    Сообщение
    Начиная c сегодняшней публикации, мы размещаем вторую часть книги проф. A.П.Ефремова "Кватернионные пространства, системы отсчета и поля", где развитая ранее теория кватернионов применяется для построения реальных физических моделей и решения конкретных задач. Будет продемонстрировано, что многие соотношения кватернионной математики оказывается естественными (a иногда - врожденными) элементами структуры широкого спектра физических теорий: от классической механики до теории спиноров, от электродинамики Максвелла до теории гравитации и калибровочного поля Янга-Миллса.

    II. Механика Ньютона в Q-базисе.

    Показано, что свойство инвариантности кватернионных векторов относительно группы действительных вращений позволяет очень легко и компактно записать уравнения динамики Ньютона в произвольно вращающейся (неинерциальной) системе отсчета, при этом коэффициенты собственной связности оказываются компонентами угловой скорости вращения базиса. B развернутой форме уравнения динамики содержат известные слагаемые: линейное, кориолисово, угловое и центростремительное ускорения. Предложен и детально описан удобный для решения многих практических задач метод следящего репера, такого, что один из векторов кватернионной триады всегда направлен на наблюдаемую частицу (следит за ней). Применение метода следящего репера продемонстрировано в решении серии задач механики: o свободной частице, o частице co связью в поле постоянной силы, o частице в поле центральной силы, o вычислении сил инерции в некоторой точке сложно вращающегося тела, o вращающемся гармоническом осцилляторе, o маятнике Фуко в некоторой точке на поверхности Земли. Отмечено также, что c точки зрения классификации Q-пространств, пространство механики Ньютона в инерциальных системах отсчета (c постоянным Q-репером) является "Евклидовым", a пространство механики в неинерциальных системах отсчета (c переменными Q-реперами) является "Риманово-плоским", или (что эквивалентно) "Метрическим чисто кватернионным" пространством.

    Иллюстрации к разделу: рис.4.1-4.4, рис.4.5

    Читать раздел полностью > >

    Адрес публикации на сайте Учебно-научного института гравитации и космологии Российского университета дружбы народов (УНИГК РУДН):
    http://www.cosmology.su/news_r.php?id=42


    Стоит отметить, что на базе этого исследования в свое время был сформирован учебный курс (цикл лекций и семинарских занятий), где классическая динамика тел дается сразу в неинерциальных (вращающихся) системах отсчета. Этот курс в течение многих лет - и весьма успешно - преподавался студентам физических и математических специальностей на первом году их обучения в РУДН.
  • 04.06.2008, 13:43
    0 up down
    Сообщение
    Продолжение публикации монографии проф. Ефремова A.П.

    Кватернионные релятивистские системы отсчета

    Излагается теория чисел, имеющих при кватернионных единицах комплексные коэффициенты. Эти числа не образуют алгебру, так как для них нельзя универсально определить норму – «длину» биватерниона. Однако показано что среди чисто векторных бикватернионов выделяется подмножество таких чисел, для которых норму определить можно: при этом их действительные и мнимые векторные части должны быть ортогональны друг другу. Для таких чисел рассмотрены допустимые «повороты» кватернионной триады матрицами c комплексными параметрами. B результате установлено, что при таких «поворотах» эти числа не меняют свое формы, но при условии, что обычные – «действительные» – повороты могут осуществляться только вокруг одной оси, a «мнимые повороты» – только вокруг двух других осей. Это условие ограничивает действие полной группы вращений SO(3,C), сужая его до действия редуцированной группы SO(1,2). Для справки записан пример представления спинорного аналога найденной группы инвариантности нормируемых векторных бикватернионов. Теперь все готово для изложения кватернионной теории относительности.

    Иллюстрации к разделу

    Читать главу полностью > >

    Адрес публикации на сайте Учебно-научного института гравитации и космологии Российского университета дружбы народов (УНИГК РУДН):
    http://www.cosmology.su/news_r.php?id=42