Построим два правильных n -угольника: P ₁ – вписанный в круг и P ₂ – описанный около круга (рис. 13.3.1).

Многоугольники являются простыми фигурами. Многоугольник содержит круг, а многоугольник содержится в круге. Радиусы, проведенные в вершины многоугольника разбивают его на n треугольников, равных треугольнику AOD . Поэтому   Так как     где p – периметр многоугольника   r – радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника :       Итак, многоугольник содержащийся в круге, имеет площадь   а многоугольник, содержащий круг, имеет площадь   При достаточно большом n периметр p отличается сколь угодно мало от длины l окружности, а cos α сколь угодно мало отличается от единицы, поэтому площади многоугольников сколь угодно мало отличаются от величины   Согласно определению площади произвольной фигуры это значит, что площадь круга   Теорема доказана.