Перейти к содержимому.

Портал Естественных Наук

Разделы


Персональные инструменты
Вход


 

Понятие множества

Новость: Открыт форум по нанотехнологии.

Понятие множества


Понятие множества

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников. Множества обычно обозначают большими буквами: A , B , C , N , ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a , b , c , n , ... Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,

  • − множество целых чисел;
  • − множество рациональных чисел;
  • − множество иррациональных чисел;
  • − множество действительных чисел;
  • − множество комплексных чисел.

Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут: a A .

Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Если A есть пустое множество, то пишут: A =

Если любой элемент множества A является элементом другого множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B , и пишут: A B .

Например, множество всех натуральных чисел является подмножеством всех действительных чисел Из определения непосредственно следует, что A A , то есть всякое множество является подмножеством самого себя.

Если A B , а B A , то пишут A = B и говорят, что множества A и B равны.

В математике часто приходится иметь дело с числовыми множествами . Приведём определения и обозначения множеств, которые имеют общее название числовых промежутков .

Название промежутка Определение Обозначение Отрезок от a до b ( замкнутое множество ) a x b [ a ; b ] Интервал от a до b ( открытое множество ) a < x < b ( a ; b ) Открытый слева промежуток от a до b a < x b ( a ; b ] Открытый справа промежуток от a до b a x < b [ a ; b ) Закрытый числовой луч от a до +∞ x a [ a ; +∞) Открытый числовой луч от a до +∞ x > a ( a ; +∞) Закрытый числовой луч от −∞ до a x a (−∞; a ] Открытый числовой луч от −∞ до a x < a (−∞; a ) Числовая прямая −∞ < x  < +∞ Таблица 4.1.1.1
Пример 1

Задайте перечислением множество B = { x : x 2 − 2 x + 1 = 0}. Это стандартная запись для задания множества, читается она так: множество элементов x таких, что x 2 − 2 x + 1 = 0.

Показать решение

Так как уравнение x 2 − 2 x + 1 = 0 имеет единственный корень x = 1, то множество B состоит из одного элемента B = {1}.

Ответ. B = {1}.


Пример 2

Определите множество A натуральных чисел, меньших

Показать решение

Так как любое натуральное число больше 1 и тем более то натуральных чисел, обладающих указанным свойством, не существует, и A =

Ответ. A =





 

(c) Портал Естественных Наук

Портал Естественных Наук