Вход через социальные сети

  • 3страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 10.12.2017, 20:35
    0 up down
    Сообщение

    Так, контрпример к первой формулировке гипотезы есть:

    \left ( 2a^4+bcde \right )\left ( 2b^4+acde \right )\left ( 2c^4+abde \right )\left ( 2d^4+abce \right)\left ( 2e^4+abcd \right )

    \left \{ \frac{3}{5}\left ( bcde+acde+abde+abce+abcd \right ) \right \}^5

    Разность этих функций является однородной перестановочной функцией. Но она не будет непрерывна относительно знака (\leqslant ,\geqslant). Но, если по аналогии записать эту функцию для (двух, трёх, четырёх переменных), используя алгоритм для пяти переменных, то получим неравенства непрерывные относительно знака \geqslant.

    Поэтому гипотезу следует ослабить, как я и предполагала выше. Но  мне хотелось найти контрпример. Итак, новая формулировка гипотезы:

     

    Гипотеза.

     

    Если однородная перестановочная функция от (n) переменных f\geqslant 0 при (n) равных переменных и при \left ( n-1 \right ) равной переменной тоже f\geq 0, то f\geq 0 и при прочих количествах равных переменных. (Это довольно слабый вариант гипотезы, но пусть пока будет так; в качестве операций используем только сложение, умножение и обратные; переменные положительны.)

     

    В качестве иллюстрации рассмотрим предложенную для контрпримера функцию. А, заодно, посмотрим, почему оказалась невозможной экстраполяция на другие количества переменных.

     

    1). \left ( 2a+b \right )\left ( 2b+a \right )\geqslant[\frac{3}{2}(n-1)^0(a+b)]^2

    2) (2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)\geqslant (bc+ac+ab)^3

    3). (2a^3+bcd)(2b^3+acd)(2c^3+abd)(2d^3+abc)\geqslant [\frac{3}{4}(bcd+acd+abd+abc)]^4

     

    Первое неравенство доказывается просто. Второе я доказываю "в лоб" (правда, там есть две хитринки, которые не каждый может увидеть; желающие могут привести своё доказательство.) Третье неравенство тоже доказываю "в лоб"; правда оно очень громоздкое, но с Вольфрамом просто.

    Я подразумеваю доказательство в рамках гипотезы (для третьего неравенства).

     

    Почему же для пяти переменных облом? Думаю, что разгадка в неравенстве для одной переменной. Вид его будет таков, что он не допускает непрерывной экстраполяции по количеству переменных. Но это не означает облом гипотезы. (Это о другом; при пяти переменных, четыре из которых равны, неравенство не является непрерывным относительно знака, что опровергает первоначальную гипотезу.)