Вход через социальные сети

  • 3страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 10.11.2017, 21:37
    2 up down
    Сообщение

    Вот схема возможного доказательства (не очень элегантно, зато итуитивно исходя из выпуклости).

    Сначала доказать, что  \; f(x_2+d)-f(x_2)>f(x_1+d)-f(x_1), где f(x)=\frac{x}{1-x}. Это должно быть по силам 8-класснику.

    Потом начиная с (a,b,c,d)=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}) по шагам увеличивать одно из значений и на столько же уменьшать другое из значений, пока за несколько шагов не получим требуемые (a,b,c,d). На каждом шаге сумма будет расти.

  • 11.11.2017, 12:26
    0 up down
    Сообщение

    zykov в 10.11.2017, 21:37 написал(а): link
    Потом начиная с (a,b,c,d)=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}) по шагам увеличивать одно из значений и на столько же уменьшать другое из значений, пока за несколько шагов не получим требуемые . На каждом шаге сумма будет расти.

    Да, я использовала эту идею. Вместо выпуклости использовала простое неравенство, сводящееся просто к линейному:

    \frac{a-\alpha}{1-(a-\alpha)}+\frac{b+\alpha}{1-(b+\alpha)}\geqslant \frac{a}{1-\alpha}+\frac{1}{1-b}

    при a\geqslant \frac{1}{4}, b\geqslant \frac{1}{4}a+b\leq 1

     

    zykov, спасибо. 

  • 11.11.2017, 13:53
    0 up down
    Сообщение

    Да, наверно проще всего использовать неравенство \frac{x}{1-x} \geq 1/3+16(x-1/4)/9 на интервале от 0 до 1. Тогда не нужна история с "шагами".

    Так это конечно уравнение касательной в точке 0.25 и неравенство следует из второй производной (из выпуклости).

    Но 8-классник может просто догадатся о линейной функции и доказать алгебраически.

    \frac{x}{1-x} - (16x-1)/9=\frac{x+(16x^2-17x+1)/9}{1-x}=\frac{(16x^2-8x+1)/9}{1-x}=\frac{(4x-1)^2/9}{1-x} \geq 0

     

    Тогда \frac{3a}{1-a}+\frac{3b}{1-b}+\frac{3c}{1-c}+\frac{3d}{1-d} \geq (16(a+b+c+d)-4)/3=12/3=4.

     

    PS: 1/3 - это просто значение функции в точке 1/4. Остается только найти коэффициент 16/9. Восьмиклассник может просто обозначить коэффициент буквой, провести выкладки в общем случае и найти этот коэффициент, чтобы квадратный многочлен был неотрицательным.

  • 11.11.2017, 20:27
    0 up down
    Сообщение

    zykov в 11.11.2017, 13:53 написал(а): link
    Тогда не нужна история с "шагами".

    В истории с"шагами" не требуется умения решать квадратные уравнения. С использованием моего неравенства, которое почти автоматом сводится к линейному (там есть маленькая изюминка, которая процесс очень упрощает), исходное неравенство без особых усилий может решить и шестиклассник (достаточно умения раскрывать скобки и решать линейные неравенства). Но вариант, предложенный Вами,  тоже хорош для восьмиклассников. 

  • 17.11.2017, 11:25
    0 up down
    Сообщение

    TR63 в 09.11.2017, 10:28 написал(а): link

    Докажите неравенство

     

    \frac{3a}{1-a}+\frac{3b}{1-b}+\frac{3c}{1-c}+\frac{3d}{1-d}\geqslant 4

    a+b+c+d=1 (a,b,c,d)>0

    Обозначим левую часть неравенства f_1(a,b,c,d). Сформулируем новую задачу:

    Задача

    Найдите верхнюю границу f_1(a,b,c,d) так, что f_1(a,b,c,d)\leqslant f_2(a,b,c,d).

    Замечание

    Это задача простая. Но она интересна в плане возможных гипотетических обобщений, которые позволяют решать более сложные задачи. Например, на форуме dxdy есть такая в "Олимпиадном разделе". Ещё нерешёная. Но в разделе ПРР я её решила. Нашла точный ответ стандартными средствами, исходя из гипотетической теории, которая будет следовать и из поставленной здесь задачи тоже.

    Но, поскольку теория гипотетическая, то интересно, как она будет действовать на этой задаче.Т.е. будут ли сбываться прогнозируемые ею результаты.

    Предлагаемая конкретная задача решается стандартными средствами просто. Главное-поставить обобщённую задачу (для восьмиклассников, думаю, это вполне реальная задача; ничего заумного; возможны и другие обобщения на задачи другого плана, но с использованием такой же идеи, как в этой задаче; на dxdy, кстати, сейчас рассматривают такую задачу (в ней присутствует эта же гипотетическая идея, дающая верный ответ, но при этом доказательство основной задачи будет гипотетическим; что интересно, контрпримеров к гипотезе не приведено, говорят (в другой теме), мол, лень искать; но, те не менее, пока нет контрпримера, утверждение следует считать гипотезой и полезной гипотезой, раз она позволяет найти точный ответ там, где никто не может (это я подразумеваю задачу из "Олимпиадного раздела" dxdy))).

     

  • 17.11.2017, 15:29
    0 up down
    Сообщение

    TR63 в 17.11.2017, 11:25 написал(а): link
    Найдите верхнюю границу f_1(a,b,c,d)
    Плюс бесконечность.

    По мере того как одно из значений приближается к 1 слева, сумма стремится к плюс бесконечности.

  • 17.11.2017, 19:17
    0 up down
    Сообщение

    Это, конечно, верно. Но это не ответ на поставленную задачу.

    Попробуйте решить задачу в частном виде:

     b=c=d, a+3b=1, f_2(a,b,c,d)=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{d}+\frac{d}{c}

    Я начинала с этой функции. Но не она является искомым ответом (проверьте при двух равных переменных). Однако гипотетическая теория, которой я пользуюсь,  вид этой функции и вид исходного (первоначального) неравенства помогут составить нужную функцию. И ещё подсказка: аналогичную (почти) задачу я рассматривала в теме "Неравенство 9." на dxdy. 

  • 19.11.2017, 09:23
    0 up down
    Сообщение

    При трёх равных переменных, предложенная мною функция, подходит. При двух равных переменных уже не подходит. Т.е. экстраполировать результат с четырёх и трёх равных переменных нельзя. А, в исходном первоначальном неравенстве было можно. Почему так? В одном случае функция однородна, неперестановочна, в другом однородна, перестановочна. Думаю, что причина в этом. Поэтому для решения поставленной задачи надо подобрать функцию однородную, перестановочную и чтобы при четырёх и трёх равных переменных выполнялось нужное неравенство (ещё надо подумать о задействованных операциях, но на этом не будем пока останавливаться). Поэтому продолжаем предложенную выше функцию f_2(a,b,c,d) по аналогии до перестановочной  . Получим в итоге после преобразований небольших неравенство:

    \frac{3a}{1-a}+\frac{3b}{1-b}+\frac{3c}{1-c}+\frac{3d}{1-d}\leqslant \frac{1-a}{3a}+\frac{1-b}{3b}+\frac{1-c}{3c}+\frac{1-d}{3d}

    \left ( \frac{1}{3a}-\frac{3a}{1-a} \right )+\left ( \frac{1}{3b}-\frac{3b}{1-b} \right )+\left ( \frac{1}{3c}-\frac{3c}{1-c} \right )+\left ( \frac{1}{3d}-\frac{3d}{1-d} \right )\geq \frac{4}{3}

    Это уже легко доказывается. Т.е. на конкретном примере гипотеза подтвердилась. Интересно, существует ли контрпример? На dxdy косвенно говорят, что нашли контрпример. Но пока это только блеф. (Судя по их пробным попыткам, слышали звон, да не знают, где он; а всего то надо чуть-чуть подправить итоговое рассуждение, чтобы получить гипотетическое доказательство, а не белиберду.)

     

     

    Сообщение было отредактировано TR63 в 19.11.2017, 09:23.


  • 29.11.2017, 17:29
    0 up down
    Сообщение

    Сформулируем наметившуюся, исходя из примеров, гипотезу.

    Гипотеза.

    Любая однородная, перестановочная функция (использовать можно только операции сложения, умножения и обратные) f(a,b,c), обладающая свойством f(a,b,c)=0, непрерывна относительно знака (>) или (меньше). Т.е. во всей области определения знак не меняется (непрерывен). Для определения знака достаточно определить знак f(a=b). Если при этом функция всюду равна нулю, то знак надо определть в другой точке. Далее знак гипотетически экстраполируем на всю область определения.

    Замечание.

    Если функция однородна но не перестановочна, то гипотеза может как выполняться, так и не выполняться. Т.е. для однородной функции перестановочность является достаточным условием для экстраполяции, но не необходимым. Покажем это на примере неравенства с dxdy lhttp://dxdy.ru/topic13011-60.html Я его добавила ещё одним однородным, перестановочным неравенством (это крайняя правая функция):

    \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})\geqslant 12(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3b+c}+\frac{1}{3c+a})\geqslant 12(\frac{1}{2(3a+b)}+\frac{1}{2(3b+c)}+\frac{1}{2(3c+a)}+\frac{1}{2(3a+c)}+\frac{1}{2(3b+a)}+\frac{1}{2(3c+b)})

    Введём для этих неравенств обозначения: f_1\geqslant f_2\geqslant f_3; (f_1-f_3)-это однородная, перестановочная функция. Определим её знак в точке (a=b). Результат экстраполируем (гипотетически). Получаем f_1\geqslant f_3. Утверждение f_3\geqslant f_2 является непрерывно ложным во всей области определения (это можно логически доказать). Значит гипотетически можно считать, что (f_1-f_2) знак не меняет. Выясняем знак в точке (a=b). Результат гипотетически экстраполируем. Все неравенства могут быть доказаны и логическими рассуждениями. Гипотетический результат сходится с логически обоснованным.

    Вот момент, который многие не учитывают. Ага, используя ложное утверждение, можно получить ложное утверждение. Но забывают, что никто не утверждал, что могут получаться только правдивые утверждения. Обещана была лишь непрерывность во всей области определения. Вот, получили на dxdy, что \sqrt{2}=\frac{p}{q}  при любых натуральных (p;q) рационально. Результат надо проверить в одной точке (это ложь оказывается) и экстраполируем его на всю область определения. Получаем: иррационально (гипотетически). Логически рассуждая, получим этот же результат.

    Ещё замечание.

    При формулировке гипотезы некоторые детали пропущены, чтобы не затуманивать основное содержание гипотезы. Главное, понять, когда  возможна экстраполяция.

    Решение неравенства с dxdy f_1\geqslant f_2  сводится к неравенству

    x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\geqslant 3(x^3y+y^3z+z^3x)

    Там оно доказывается с помощью Лагранжа. Можно доказать ещё двумя способами проще и третьим способом (он длиннее).

    x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)=(x^2+y^2+z^2)^2\geqslant 3(x^3y+y^3z+z^3x)\geqslant \frac{3}{2}(x^3y+y^3z+z^3x+x^3z+y^3x+z^3y)

    x^3y+y^3z+z^3x\geqslant x^3z+y^3x+z^3y

    Для упрощения рассматриваем положительные переменные.

    Это простые неравенства, и они иллюстрируют гипотезу. Для этого их надо доказать логически и с помощью гипотезы. Всё сходится.

    Сообщение было отредактировано TR63 в 29.11.2017, 17:29.


  • 28.11.2017, 21:50
    0 up down
    Сообщение

    Возможно, если найдётся контрпример, то гипотезу придётся ослабить до непрерывности знака и при равенстве двух переменных. Тогда делать экстраполяцию.