Вход через социальные сети

  • 2страниц:
  • 1
  • 2
  • 10.11.2017, 08:58
    0 up down
    Сообщение

    TR63

    А почему у темы такое странное название?

    Ну, если для 8-го класса, лучше теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическим не найти. Доказывается довольно просто (хотя и муторно).

    \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3a}{1-a}+\frac{3b}{1-b}+\frac{3c}{1-c}+\frac{3d}{1-d}}{4} \geqslant \displaystyle \sqrt[4]{\frac{3a}{1-a} \cdot \frac{3b}{1-b} \cdot \frac{3c}{1-c} \cdot \frac{3d}{1-d}}

    А теперь долгое и нудное упрощение правой части. В LATEX-е это изображать немыслимо. В итоге подкоренное выражение должно быть равно 1.  Откуда и получаем требуемое неравенство.

  • 10.11.2017, 01:35
    1 up down
    Сообщение

    ARRY в 10.11.2017, 00:45 написал(а): link
    В итоге подкоренное выражение равно 1.
    Не выходит.

    Если a=1/2, \; b=c=d=1/6, то под корнем получается 81/125, что меньше 1.

  • 10.11.2017, 08:56
    0 up down
    Сообщение

    zykov в 10.11.2017, 01:35 написал(а): link
    Не выходит.
    Да, действительно не выходит. Но тогда что-то не так с исходным неравенством.
  • 10.11.2017, 15:07
    0 up down
    Сообщение

    Исходное верно.

    Вычислительный Монтекарло выдаёт, что всегда не меньше 4.

    Равенство достигается, когда все четыре равны друг другу. Если кто-то приближается к 1, то занчение сильно идёт вверх.

     

    Мне кажется, что проще доказать сначала для двух. А потом можно обобщить индукцией на любое количество.

    Дело тут в выпуклости функции \frac{x}{1-x}. Для 8-классников неравенство выпуклости можно доказать и без производной для этого частного случая.

  • 10.11.2017, 17:20
    0 up down
    Сообщение

    zykov в 10.11.2017, 15:07 написал(а): link
    Для 8-классников неравенство выпуклости можно доказать и без производной для этого частного случая.
    zykov

    Конечно, можно. Только придётся восьмиклассникам переварить определение выпуклой функции. Осилят ли?

  • 10.11.2017, 19:54
    0 up down
    Сообщение

     \; f(x_1+\alpha(x_2-x_1))<f(x_1)+\alpha(f(x_2)-f(x_1))

  • 10.11.2017, 19:57
    0 up down
    Сообщение

    Здесь наверно достаточно того, что \frac{1}{1-x} возрастает от 0 до 1.

    Из этого следует и выпуклось \frac{x}{1-x}, но её можно не использовать, а использовать напрямую возрастание \frac{1}{1-x}.

  • 10.11.2017, 20:25
    0 up down
    Сообщение

    Решение можно посмотреть http://dxdy.ru/topic122195.html. Но оно, думаю, не для восьмиклассников. Хотя само решнние красивое. Ещё мне там понравилась идея: если минимум существует, то он достигается в точке a=b=c=d=\frac{1}{4}

    Этот момент можно обосновать (просто). Наблюдения zykov интересны. Думаю, Вы близки к  моей идее доказательства этого неравенства (индукцию я не использовала).

    Сообщение было отредактировано TR63 в 10.11.2017, 20:25.


  • 10.11.2017, 20:12
    0 up down
    Сообщение

    В моём посте не следует учитывать последнее сообщение zykov. (Когда я  набирала свой текст, его не было.)

  • 10.11.2017, 20:22
    0 up down
    Сообщение

    ARRY в 10.11.2017, 08:58 написал(а): link
    А почему у темы такое странное название?

    Я нумерую, заинтересовавшие меня неравенства, для которых хочу уточнить своё решение или решение  проверить (может, оно ошибочно).