Вход через социальные сети

  • 2страниц:
  • 1
  • 2
  • 05.10.2017, 17:59
    0 up down
    Сообщение

    По какому множеству сумма?

  • 05.10.2017, 20:18
    0 up down
    Сообщение

    :

    \frac{a^2+(b+c+d)^2}{b^2+c^2+d^2+bc+bd+cd}+\frac{b^2+(a+c+d)^2}{a^2+c^2+d^2+ac+ad+cd}+\frac{c^2+(b+a+d)^2}{b^2+a^2+d^2+ba+bd+ad}\geqslant 5





     



     

  • 05.10.2017, 20:30
    0 up down
    Сообщение

    TR63 в 05.10.2017, 16:53 написал(а): link

    Для положительных (a,b,c,d) докажите или опровергните неравенство:

    \sum \frac{a^2+(b+c+d)^2}{b^2+c^2+d^2+bc+bd+cd}\geqslant 5

    На dxdy рассмотрен частный случай этого неравенства. http://dxdy.ru/topic121278.html. Один юзер сделал косвенный намёк, что можно сделать обобщение. Но пока движения нет. А, неравенство, вроде, простое. У меня получилось, что оно верно. Тогда, если нет ошибок, интересно, можно ли обобщить далее (хотя бы на пять переменных).

     

    Сделала исправление.

  • 05.10.2017, 20:42
    0 up down
    Сообщение

    А четвёртого слагаемого нет (где сверху d^2 вначале)?

  • 05.10.2017, 21:32
    0 up down
    Сообщение

    Нет. Сумма трёх дробей; четыре переменных. Не знаю, как это кратко записать (три дроби; пять переменных- над этим ещё не думала). При d=0 задача решается, как минимум, тремя различными способами. Но это будет частный случай обобщённой задачи.
     

  • 05.10.2017, 21:52
    0 up down
    Сообщение

    Подставьте a=b=c=1 и посмотрите предел при d \rightarrow +\infty.

  • 05.10.2017, 22:48
    0 up down
    Сообщение

    zykov, понятно. Спасибо. У меня получалось, что каждая дробь больше, чем эта же дробь при d=0, но при условии, что минимальная переменная слева  это (d). Тогда Ваш контрпример не подходит при таком добавочном условии. Правда такая формулировка менее интересна. Но такой вариант тоже надо проверить на предмет ошибки. Ещё раз спасибо и за оперативность.

    Нашла ошибку: получилось, что должно быть d>0.5. При условии a+b+c+d=1 этого не может быть при минимальности d.

    Надо ещё проверить, нельзя ли развернуть знак неравенства в другую сторону. Но уже не сегодня.  



     

    Сообщение было отредактировано TR63 в 05.10.2017, 22:33.



     

    Сообщение было отредактировано TR63 в 05.10.2017, 22:43.


     

    Сообщение было отредактировано TR63 в 05.10.2017, 22:48.


  • 05.10.2017, 23:33
    0 up down
    Сообщение

    При a=b=c=1 сумма больше или равна 5 только если d\leq1.

    При условии a+b+c+d=1 это будет a=b=c=(1-d)/3 и d\leq 1/4.

  • 06.10.2017, 09:49
    0 up down
    Сообщение

    Да, для частного случая неравенство в новой формулировке верно. Далее, т.к. для такой формулировки в общем случае оно следует из абсолютно ложного во всей области определения утверждения (этот момент, т.е. асолютную ложность надо проверить на предмет ошибки, что, действительно, имеется абсолютно ложное утверждение), то его можно гипотетически экстраполировать на всю область определения, предварительно проверив в одной точке. В зависимости от результата в одной точке результат будет (это гипотеза, правда, не в полной формулировке) непрерывно экстраполироваться на всю область определения.

    Вывод:

    требуется доказать или опровергнуть исходное неравенство с добавленным условием: d=min(a,b,c,d):

    TR63 в 05.10.2017, 20:18 написал(а): link

    :

    \frac{a^2+(b+c+d)^2}{b^2+c^2+d^2+bc+bd+cd}+\frac{b^2+(a+c+d)^2}{a^2+c^2+d^2+ac+ad+cd}+\frac{c^2+(b+a+d)^2}{b^2+a^2+d^2+ba+bd+ad}\geqslant 5









     







     




     




     




     





     

  • 06.10.2017, 10:20
    0 up down
    Сообщение

    Учитывая однородность системы можно переформулировать как d=1 и a\geq1, b\geq1, c\geq1.

    Чтобы вообще избавится от d.

    Сообщение было отредактировано zykov в 06.10.2017, 10:20.