Маятник с вертикально колеблющ т подвеса по гармоническому закону

Главная
Группы
Физика
Маятник с вертикально колеблющ т подвеса по гармоническому закону

Правила форума
по Физика

Теоретическая база

eugrita
Комментарии: 51
Репутация:0
24.04.2018, 21:25
0 up down

Собственно непонятен переход от уравнения малых колебаний к уравнению Матье в стандартной форме
Уравнение малых колебаний если т подвеса колеблется по з-ну $y(t)=A\sin(\nu t)$ имеет вид

$\ddot(\varphi)+\omega_0^2 (1+4 \frac{A}{l} \sin(\nu t)) \cdot \varphi=0$ см например Ландау Лившиц т.1. Механика

вводя безразмерне время $2\tau =\nu t$ обозначая $q=2 \frac{A}{l}$ $a=4 \frac {\omega_0^2}{\nu^2}$ получим

$\frac{d^2 \varphi}{d^2 \tau ^2} +a (1+2q \cdot sin 2\tau) \varphi =0$

в то же время например здесь http://moluch.ru/archive/3/228/

авторы приводят похожее но другое уравнение (для удобства сравнения там заменил

$\alpha$ на $\varphi$ )

$\frac{d^2 \varphi}{d^2 \tau ^2} +(a -2q \cdot sin 2\tau) \varphi =0$

(скобка не на том месте) Где ошибка?
OFF

Ученые

zykov
- Комментарии: 2607
- Репутация:174
24.04.2018, 23:08
0 up down

Сообщение 1

eugrita в 24.04.2018, 21:25 написал(а): link
см например Ландау Лившиц т.1. Механика
Где именно?
OFF
- ответить

Volnovik
- Комментарии: 30
- Репутация:0
26.04.2018, 12:40
0 up down

Сообщение 2

eugrita в 24.04.2018, 21:25 написал(а): link
Собственно непонятен переход от уравнения малых колебаний к уравнению Матье в стандартной форме

Скорее всего, правильно у Ландавшица, поскольку размерности величин в формуле по ссылке различны, что является первой проверкой на правильность записи формул в физике. Формула по ссылке этот тесте не прошла. Размерность [а] 1 м:2, а q безразмерная величина.
OFF
- ответить

zykov
- Комментарии: 2607
- Репутация:174
26.04.2018, 14:38
0 up down

Сообщение 3

они обе безразмерные
OFF
- ответить

zykov
- Комментарии: 2607
- Репутация:174
26.04.2018, 14:40
0 up down

Сообщение 4

тут возможно дело в разных обозначениях (например если во второй q означает то, что в первой aq)
OFF
- ответить

Volnovik
- Комментарии: 30
- Репутация:0
26.04.2018, 15:12
0 up down

Сообщение 5

zykov в 26.04.2018, 14:38 написал(а): link
они обе безразмерные

Извините, сутал скорость и частоту по написанию шрифта.

Но если по Вашему

тут возможно дело в разных обозначениях (например если во второй q означает то, что в первой aq)

то не получается по статье дальше, где указано, что

$q = \frac{{2s_0 }}{l}$

s_0 - амплитуда вибрации.
OFF
- ответить

zykov
- Комментарии: 2607
- Репутация:174
26.04.2018, 18:59
0 up down

Сообщение 6

Volnovik в 26.04.2018, 15:12 написал(а): link
то не получается по статье дальше
Я не знаю.
Поэтому и просил указать месть в ЛЛ1.
OFF
- ответить

Volnovik
- Комментарии: 30
- Репутация:0
26.04.2018, 19:51
0 up down

Сообщение 7

zykov в 26.04.2018, 18:59 написал(а): link
Я не знаю. Поэтому и просил указать месть в ЛЛ1.

Ну, по отношению к формуле в ссылке понятно, что Ваша догадка не может иметь место из-за расшифровки самого автора.

Зала по Ландавшицу приведена в задачах к ч. 1 Механики (задача 2, рис. 1). Но атм другое уравнение и нужно просить автора темы как он его приводил к своей задаче, имхо
OFF
- ответить

Volnovik
- Комментарии: 30
- Репутация:0
27.04.2018, 05:40
0 up down

Сообщение 8

Если рассматривать саму задачу, то из моего обширного опыта решения задач для дискретных систем следует признать, что ни одно из уравнений, приведенных автором темы, не отражает рассматриваемую модель. Если точка подвеса способна двигаться, то она обладает своей массой и упругой связью. Следовательно, нужно решать задачу упруго связанных двух масс, а этому соответствует система двух уравнений, а не одного. Ведь смещение точки подвеса автоматически будет изменять систему сил, действующую на массу маятника и наоборот.
OFF
- ответить

zykov
- Комментарии: 2607
- Репутация:174
27.04.2018, 10:23
0 up down

Сообщение 9

Volnovik в 27.04.2018, 05:40 написал(а): link
Если точка подвеса способна двигаться, то она обладает своей массой и упругой связью
Но это не важно.
Постановка задача такая, что точка подвеса совершает движение по фиксированной траектории (назависимо от сил).
OFF
- ответить

Volnovik
- Комментарии: 30
- Репутация:0
27.04.2018, 13:34
0 up down

Сообщение 10

zykov в 27.04.2018, 10:23 написал(а): link
Постановка задача такая, что точка подвеса совершает движение по фиксированной траектории (назависимо от сил).

Это задача 3 у Ландавшица на с. 22, но с неизвестными преобразованиями автора темы. Хотя у Ландавшица есть и задача 2, на предыдущей странице со связанными колебаниями маятника и подвеса.

Тут есть, по-моему, ещё дополнительные соображения. Если мы имеем приведенные автором темы уравнения а-ля Ландавшиц, то из них следует следующее.

Как известно, непосредственно из волнового уравнения частота колебаний не может быть найдена, как и амплитуда колебаний. Уравнение только определяет гармоническую зависимость φ(t) при заданном значении $\omega _0$ . Без дополнительного уравнения, определяющего само $\omega _0$ , существует определённый произвол.

С точки зрения этого произвола и используя только одно уравнение, мы можем задать условие $\omega _0$ = 0 и получим абсурд, когда вынужденные движения точки подвеса никоим образом не приводят к колебаниям маятника. Но даже без уравнений понятно, что колебания подвеса, изменяющее его положение в пространстве, а значит, и наклон нити, автоматически приведут к колебаниям маятника и эти колебания достигнут максимума при совпадении частоты колебаний подвеса с собственной частотой маятника, как при любых вынужденных колебаниях. Указанное уравнение эту особенность не отражает даже при условии $\omega _0 = \nu$ (а там ведь должна существовать и вторая, третья и т.д. резонансная гармоника собственной частоты с убыванием амплитуды с ростом номера гармоники - это ведь вынужденные колебания). Более того, результирующая частота ω в этом случае будет изменяться в пределах $\nu \sqrt {1 - q} \leqslant \omega \leqslant \nu \sqrt {1 + q}$ , что действительно абсурдно при совпадении частот. Не может быть биений при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой маятника.

Уравнение по ссылке не лучше. Там тоже при условии $\omega _0$ = ν будут какие-то биения, как и в предыдущем уравнении и в том же диапазоне, но только в противофазе.

Так что без дополнительного уравнения, описывающего вынужденные (в данном случае) колебания, не обойтись. И тут вступает в силу выводы, полученные на основе нашей методики, изложенные в работе

Каравашкин С.Б., Каравашкина О.Н. Проблема граничных условий

Решение может быть найдено исключительно путём решения дискретной задачи, а не привязываясь к волновому уравнению. А там иные моделирующие уравнения.
OFF
- ответить