Вход через социальные сети

  • 3страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 01.11.2016, 14:33
    0 up down
    Сообщение

    Распишите по биному Ньютона и посмотрите, как меняется каждое слагаемое при увеличении n (ну и следует учесть изменение количества слагаемых при увеличении n).

    А вообще, замечательные пределы подробно расписываются в учебниках матанализа. В том числе возрастание указанной выше последовательности используется для доказательства второго замечательного предела. Не смотрели?

  • 01.11.2016, 15:21
    0 up down
    Сообщение

    12d3, в учебнике доказывается ограниченность этой последовательности, и написано, что последовательность возрастающая, о чём известно из школьного курса алгебры. Вот я и пытаюсь сама вспомнить этот самый школьный курс.

    Попробую расписать по биному Ньютона. Только поясните, как именно учесть количество слагаемых при n\to \infty?

  • 01.11.2016, 15:37
    1 up down
    Сообщение

    GEPIDIUM в 01.11.2016, 15:21 написал(а): link
    Только поясните, как именно учесть количество слагаемых при n\to \infty?
    Я имею в виду, что в раскрытом биноме для n+1 на одно слагаемое(положительное) больше, чем в раскрытом биноме для n. Если вдруг окажется, что и без последнего слагаемого сумма для n+1 больше, чем сумма для n(а оно так и окажется), то и с последним слагаемым тоже будет больше.

    GEPIDIUM в 01.11.2016, 15:21 написал(а): link
    12d3, в учебнике доказывается ограниченность этой последовательности, и написано, что последовательность возрастающая, о чём известно из школьного курса алгебры.
    Значит, стоит открыть другой учебник. Я открыл Фихтенгольца, там есть.

    И честно говоря, не помню, чтобы такое было в школьном курсе алгебры. Может, это в каком-то очень продвинутом школьном курсе?

     

  • 01.11.2016, 18:44
    1 up down
    Сообщение

    Можно наверно просто показать возрастание функции (1+1/x)^x через производную.

  • 01.11.2016, 19:45
    0 up down
    Сообщение

    Неравенство Бернулли:

    \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{n}}>1+\frac 1 n

  • 01.11.2016, 21:26
    1 up down
    Сообщение

    Shadows в 01.11.2016, 19:45 написал(а): link
    Неравенство Бернулли

    Как вариант, предлагаю неравенство Коши.

  • 01.11.2016, 22:00
    0 up down
    Сообщение

    zykov, Shadows, предложенные вами методы имеют один небольшой недостаток - в них так или иначе неявно используется второй замечательный предел, для вывода которого надо доказать требуемое неравенство.

     

     
  • 02.11.2016, 09:48
    0 up down
    Сообщение

    12d3, согласен.

  • 02.11.2016, 12:58
    0 up down
    Сообщение

    12d3, вот попробовала раскрыть левую часть неравенства по биному Ньютона. Получается так: 

    \displaystyle \left (1+\frac {1}{n+1}\right )^{n+1}=1~+~ \frac {n+1}{1!}\cdot \frac {1}{n+1}~+~\frac {(n+1)\cdot n}{2!}\cdot \frac {1}{(n+1)^2}~+~\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)}{3!}\cdot \frac {1}{(n+1)^3}+\ldots +\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}{(n+1)!}\cdot \frac {1}{(n+1)^{n+1}}=

    \displaystyle =1~+~1~+~\frac {1}{2!}\cdot \left (1-\frac {1}{n+1}\right )~+~\frac {1}{3!}\cdot \left (1-\frac{1}{n+1}\right )\cdot \left (1-\frac {2}{n+1}\right )+\ldots +\frac {1}{(n+1)!}\cdot \left (1-\frac {1}{n+1}\right )\cdot \left (1-\frac {2}{n+1}\right )\cdot \ldots \cdot \left (1-\frac{n}{n+1}\right )

    И что? Я вижу, что с ростом n число слагаемых увеличивается. Но это не повод считать эту последовательность возрастающей. Что-то не соображу, как я могу оценить величину этих слагаемых.

  • 02.11.2016, 13:13
    0 up down
    Сообщение

    Между прочим, тут мне в личку один уважаемый форумчанин скинул доказательство данного неравенства. Называть его не буду, не знаю, наверное, не хочет светиться в теме. Хотя почему? Ну это его дело.

    Так вот решение вроде правильное. Но во его подход вызывает сомнение. Он изначально принял данное неравенство за истинное. И преобразовывая его, пришёл к бесспорно верному утверждению. Всё понятно, кроме одного. Ведь истинность исходного неравенства нам нужно было доказать, а он от него отталкивался как от верного. Вот я и спрашиваю: допустим ли такой подход?