Вход через социальные сети

  • 18.08.2016, 12:29
    0 up down
    Сообщение

    Попробуйте так:

    U=xy''

    Тогда U'=2x-3

    До конца не мутузил, но вроде всё должно свестись к интегрированию многочленов.

    P.S. Там вроде ещё логарифм появится, но вполне съедобный. Smile

    Сообщение было отредактировано grigoriy в 18.08.2016, 12:29.


  • 18.08.2016, 13:48
    0 up down
    Сообщение

    grigoriy, точно, там же слева производная произведения. Какая же я слепая! Только тогда один вопрос:

    \displaystyle xy''=\int (2x-3)dx=x^2-3x

    Могу ли я теперь разделить обе части уравнения на x? Не потеряю ли я при этом часть решений?

  • 18.08.2016, 14:47
    0 up down
    Сообщение

    GEPIDIUM в 18.08.2016, 13:48 написал(а): link
    Могу ли я теперь разделить обе части уравнения на x? Не потеряю ли я при этом часть решений?
    Уже потеряли. Константа где?
  • 19.08.2016, 05:19
    -3 up down
    Сообщение

    Б

    Сообщение было отредактировано losev.cergej в 19.08.2016, 05:19.


  • 18.08.2016, 15:28
    0 up down
    Сообщение

    12d3 в 18.08.2016, 14:47 написал(а): link
    Уже потеряли. Константа где?
     

    Да, да, 12d3, Вы правы. Получается так: 

    \displaystyle xy''=\int (2x-3)dx=x^2-3x+C_1

    \displaystyle y''=x-3+\frac {C_1}{x},

    и потом ещё дважды проинтегрировать. Всё поняла. Только вот при этом делении на x не было ли потери части решений?

  • 18.08.2016, 16:09
    0 up down
    Сообщение

    GEPIDIUM в 18.08.2016, 15:28 написал(а): link
    Только вот при этом делении на x не было ли потери части решений?
    Раз мы делим на x, то что-нибудь плохое может возникнуть только при x=0. При решении диффуров можно спокойно наплевать на то, что происходит что-то нехорошее в отдельных изолированных точках. Вот если бы вы поделили на y или на (xy'+5) или вообще на какое-нибудь выражение, в которое входит функция и/или ее производные, вот тогда действительно можно потерять решения.
  • 18.08.2016, 16:21
    0 up down
    Сообщение

    12d3, а это Ваша интуиция, или можно строго обосновать, что поведением функции в точке x=0 можно пренебречь. В учебнике об этом ничего нет. Где можно прочесть об этом?

  • 18.08.2016, 17:18
    0 up down
    Сообщение

    Тут интуиция, а чтоб совсем строго, надо лезть в теорию и глядеть теоремки о существовании и единственности решения задачи Коши, но я это уже позабыл давно. Smile
    Хотя может я перегибаю слегка, и есть простое обоснование.

    Сообщение было отредактировано 12d3 в 18.08.2016, 17:18.


  • 18.08.2016, 20:15
    0 up down
    Сообщение

    GEPIDIUM в 18.08.2016, 16:21 написал(а): link

    12d3, а это Ваша интуиция, или можно строго обосновать, что поведением функции в точке x=0 можно пренебречь. В учебнике об этом ничего нет. Где можно прочесть об этом?

    Если уравнение свести к автономной системе, то всё будет видно на фазовой картинке. И будет понятно, почему и от чего. Суть не меняется, просто размерность пространства возрастает. Соответственно, можно почитать про автономные системы.
    Рекомендую пакет Maple. Там можно (если это возможно) получать решение в замкнутой форме, распечатывать последовательность действий, ну, и всегда рисовать фазовую картинку, да и вообще много чего. Говорят, по дифурам это лучший пакет, но и в остальном он редко ниже первого места. (Например, Maple делает за меня всю работу, компенсируя мне нехватку  знаний и позволяя исходить лишь из предположений и фантазий.)