Латинские и магические квадраты, латинский квадрат, магический квадрат, методы построения Опции

[Георгий]

Более 40 лет занимаюсь увлекательнейшими головоломками, название которых - магический квадрат. Создал свои методы построения обычных МК и, так называемых, идеальных магических квадратов (в английском варианте - ultramagic). Ищу единомышленников - умную и творческую молодежь, с которой мы сообща напишем книгу-бестеллер. У меня в инете много публикаций, ссылки на которые я готов давать по мере надобности. Сейчас главная задача - это собрать команду. Молодежь, ау!

[Вадим Шловиков]

Более 40 лет занимаюсь увлекательнейшими головоломками, название которых - магический квадрат. Создал свои методы построения обычных МК и, так называемых, идеальных магических квадратов (в английском варианте - ultramagic). Ищу единомышленников - умную и творческую молодежь, с которой мы сообща напишем книгу-бестеллер. У меня в инете много публикаций, ссылки на которые я готов давать по мере надобности. Сейчас главная задача - это собрать команду. Молодежь, ау!

Как для Вас "магический квадрат",так для меня "Задачи минимазации и максимизации линейной функции".Способ решения их легко развить,но оплачивает ли это государство?..

[Георгий]

А Евклиду с Пифагором государство платило? Зато вот что интересно: скорее таблица Менделеева вымрет, как отсталое понятие о строении материи, чем простая, но вечная теорема Пифагора. В этом суть! Математика - это единственная бессмертная вещь. Кстати, я тоже долго занимался проблемами поиска оптимальных значений функций. Причем решал дискретную задачу. Но это совсем другая тема, и если откроем новый раздел, то поговорим от души.

[Вадим Шловиков]

А Евклиду с Пифагором государство платило? Зато вот что интересно: скорее таблица Менделеева вымрет, как отсталое понятие о строении материи, чем простая, но вечная теорема Пифагора. В этом суть! Математика - это единственная бессмертная вещь. Кстати, я тоже долго занимался проблемами поиска оптимальных значений функций. Причем решал дискретную задачу. Но это совсем другая тема, и если откроем новый раздел, то поговорим от души.

Конечно.Если бы им не платило государство,они бы померли...

[Георгий]

Если уж так рассуждать, то и динозавры вымерли, потому что государство на них рукой махнуло
Но вернусь к нашим баранам.
Латинские квадраты нечетного порядка n (но не кратные трем), позволяют строить самые красивые идеальные магические квадраты. Вот, например, латинский квадрат 5х5:

1 5 4 3 2
3 2 1 5 4
5 4 3 2 1
2 1 5 4 3
4 3 2 1 5

Это так называемый классический латинский квадрат. Здесь в каждом столбце задействованы все числа от 1 до 5. То же самое - в каждой строке, в каждой главной и ломаной диагоналях. Если эту матрицу обозначить как Z(i,j), то по правилу n*[Z(i,j)-1]+Z(j,i) сразу получим идеальный магический квадрат. То есть он будет пандиагональным и ассоциативным. Здесь i - номер строки, j - номер столбца.
Например, если начало координат - левый верхний угол и i=4, j=3, то M(4,3)=5*(5-1)+2 = 22 (закрашенная ячейка).

Еще более потрясающие - магические квадраты четного порядка. Они не только пандиагональные и ассоциативные, но еще и совершенные ( в любом элементе 2х2 сумма чисел в ячейках постоянна. Группа магических квадратов n=4k+2 , правда, нетрадиционная. Смотрите подробно в статье http://renuar911.narod.ru/ideal_sov.html Здесь - наглядный урок, как интуиция помогает решать сложнейшие задачи.



Сообщение отредактировал Георгий - 18.12.2008, 9:44

[Nataly-Mak]

Еще более потрясающие - магические квадраты четного порядка. Они не только пандиагональные и ассоциативные, но еще и совершенные ( в любом элементе 2х2 сумма чисел в ячейках постоянна. Группа магических квадратов n=4k+2 , правда, нетрадиционная. Смотрите подробно в статье http://renuar911.narod.ru/ideal_sov.html Здесь - наглядный урок, как интуиция помогает решать сложнейшие задачи.

Пандиагональные и ассоциативные магические квадраты чётного порядка - это суть идеальные квадраты и они никак не могут быть совершенными, потому что совершенные квадраты - это пандиагональные квадраты, обладающие несколькими особыми свойствами и эти свойства исключают ассоциативность квадрата.
О построении магических квадратов методом латинских квадратов мной написан цикл статей "Новые аспекты метода латинских квадратов" [первая статья цикла http://www.natalimak1/narod.ru/aspekty.htm ].
Эта тема коснулась темы построения пар ортогональных латинских квадратов, которая оказалась необычайно интересной. Сейчас я пишу цикл статей о группах взаимно ортгональных латинских квадратов (MOLS).
О магических квадратах сделала из своих статей маленькую книжечку "Волшебный мир магических квадратов":
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

[Nataly-Mak]

Никак не возьму в толк: почему у российских математиков не возникает никакого интереса к латинским квадратам? Зарубежные математики столько о них написали статей и книг!
Хочу предложить задачу, которая возникла у меня при разработке метода построения пар ортогональных латинских квадратов порядка (подробно в статье).
Метод разработан с применением квази-разностных матриц (КРМ).
В алгоритме есть один изъян. Этот изъян возникает, начиная с порядка 18, для порядка 12 всё прекрасно. Сначала покажу два частных примера. При построении пары ОЛК порядка получаем такие две строки КРМ (из четырёх):

Код

3 5 7 9 11 2 3 4 5 6 1 8 7
2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 1 13 2

(не записаны символьные элементы строк, которые в разностях не участвуют).
Проверяется совместимость этих строк КРМ по такому критерию: все разности между соответствующими элементами строк по модулю 13 должны быть различны. Очевидно, что приведённые строки несовместимы по этому критерию. Задача состоит в том, чтобы найти такую перестановку чисел , при которой совместимость строк будет иметь место. Такая перестановка легко находится по программе. Например:

Код

3 5 7 9 11 5 6 4 3 2 1 8 7
5 6 4 3 2 3 5 7 9 11 1 13 2

Аналогично для пары ОЛК 24-го порядка. Строки КРМ будут такие:

Код

3 5 7 9 11 13 15 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9
2 3 4 5 6 7 8 3 5 7 9 11 13 15 1 17 2

Здесь разности между соответствующими элементами строк вычисляются по модулю 17. Нужная перестановка чисел снова находится по программе. Например:

Код

3 5 7 9 11 13 15 2 8 3 7 6 5 4 1 10 9
2 8 3 7 6 5 4 3 5 7 9 11 13 15 1 17 2

Я решила задачу и для порядка 30. Однако совершенно понятно, что с ростом порядка находить нужную перестановку всё сложнее. В том, что такая перестановка существует для любого порядка рассматриваемой серии, я почти не сомневаюсь. Но как её найти для больших порядков? В этом изъян данного метода.
Следует отметить, что я оставляю неизменной первую группу чисел в строке: 3, 5, 7, 9, 11 в случае порядка 18, и 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 в случае порядка 24. Мне удалось получить совместимость строк, переставляя числа только во второй группе чисел. Однако можно переставлять числа в обеих группах. Нельзя переставлять только последние три числа в каждой строке.
Метод построения пар ОЛК порядков вида у меня получился без сучка, без задоринки. А для группы порядков пока не нашла алгоритм построения пар ОЛК. Правда, в этой группе содержится ровно половина порядков, для которых работает метод составных квадратов.

[Nataly-Mak]

Между прочим, о практическом применении латинских квадратов люди пишут докторские диссертации (см. тему "Магические квадраты" на форуме dxdy.ru, ссылка: http://dxdy.ru/topic12959.html )
Совсем недавно узнала о существовании совершенных латинских квадратов. Это совершенный латинский квадрат 9-го порядка:



Подробное определение совершенных латинских квадратов смотрите в статье http://www.natalimak1.narod.ru/perfect1.htm
Предлагаю ВСЕМ задачу:
Построить совершенный латинский квадрат 36-го порядка или доказать, что он не существует.
Я уже построила несколько вариантов квази-совершенных латинских квадратов 36-го порядка, то есть они почти совершенные, но чего-нибудь да не хватает для полной совершенности.
Меня этот квадрат здорово зацепил! Три из построенных мной варианта квази- показаны в указанной выше теме.
Совершенные латинские квадраты 16-го и 25-го порядка построила легко по аналогии с квадратом 9-го порядка. А вот для порядка 36 не получается никак!

[Nataly-Mak]

Я всё о том же
У меня есть статья о совершенных латинских квадратах на английском языке (единственная). Определение совершенных латинских квадратов мне любезно перевели на форуме dxdy.ru
Далее я взяла совершенный квадрат, приведённый в статье (фигура 3), благо, квадраты в переводе не нуждаются, и начала строить совершенные латинские квадраты. Как уже сообщила выше, у меня никак не получается совершенный латинский квадрат 36-го порядка.
Просьба (здесь ведь много ребят, хорошо знающих английский): посмотрите, пожалуйста, статью, не написано ли в ней что-нибудь по поводу совершенного латинского квадрата порядка 36? Может, такой квадрат вообще не существует, и я зря голову ломаю. А также и совершенный ЛК порядка 1296, может, тоже не существует...
Вот статья:
 heinrich.pdf ( 568.06 килобайт ) Кол-во скачиваний: 31

[Nataly-Mak]

В теме ”Вопросы мироздания” Георгий высказался о практическом применении магических квадратов. Господин Munin назвал это высказывание ”художественным свистом”.
Попытаюсь доказать, что это отнюдь не ”художественный свист”, а реальный факт. Хотя господин Munin опять же может сказать, что информация взята с какого-то неизвестного и непроверенного сайта и может быть недостоверной. Ну, это ещё надо доказать, что она недостоверна!

Ссылку на этот сайт я нашла в одной из статей Георгия (не помню сейчас, в какой именно, но это и не важно) и скопировала её на всякий случай.
Как я уже сообщала в указанной теме, французский математик Бернар Френикль де Бесси подробнейшим образом исследовал магические квадраты 4-го порядка, построив все 880 штук (вручную! ведь компьютеров в XVII веке не было). Знал ли он, что через 3 с лишним века его квадраты найдут своё практическое применение? Думал ли учёный о сиюминутной практической пользе?
Вот ссылка на статью о применении совершенных магических квадратов 4-го порядка:
http://www.stereo.ru/whatiswhat.php?article_id=254
Цитата из этой статьи:

”Главной новинкой платформы ЖК-телевизоров Toshiba является алгоритм «магического квадрата». Для гладкой передачи серой шкалы требуется 1024 градации, обеспечиваемые 10-битным преобразованием. Однако в ЖК-панелях используется только 8-битное преобразование, которое обеспечивает всего 256 градаций серого. Для увеличения градаций в панелях Toshiba используется принцип временной модуляции засветки пикселей. Идея основана на способности человеческого глаза интегрально оценивать последовательность коротких вспышек света. Если сначала глаз видит четыре вспышки одного или группы пикселей, затем две и, наконец, одну, то он воспринимает их не раздельно, а как изменение яркости источника. Уменьшение числа импульсов вдвое приводит к кажущемуся двукратному уменьшению яркости. Увеличение градаций серой шкалы с помощью подобного алгоритма происходит благодаря увеличению или уменьшению времени свечения пикселей. Так называемый «магический квадрат» образует группа из 16 пикселей (квадрат 4 на 4), в котором в каждый момент времени (с интервалом 1/60 с для NTSC) зажигается одно и то же число разных пикселей по горизонтали, вертикали и диагонали (см. рис. 1). Благодаря временной модуляции свечения каждого пикселя в этом квадрате алгоритм позволяет учетверить число градаций, подняв их число с восьмибитных 256 до десятибитных 1024. При этом надо еще учесть, что увеличение до 1024 градаций происходит для каждого из первичных цветов (красного, синего и зеленого), что дает в итоге более 1,07 млн. цветов и оттенков. Это обеспечивает плавные цветовые переходы, полностью устраняя видимые границы на больших однотонных полях изображения”.

Иллюстрация из статьи:



Что скажете, господин Munin? Это "художественный свист"? Или это реальный факт?
Интересно послушать и мнение других участников форума. Что скажете вы, IRINA? Вам известно о таком интересном применении магических квадратов 4-го порядка? Если известно, зачем же говорить, что квадраты никому не нужны? Если неизвестно, тем более нельзя так говорить! Незнающий обычно помалкивает...

Сообщение отредактировал Nataly-Mak - 1.8.2009, 16:25

[ALEX165]

Объясните пожалуйста уважаемая Nataly-Mak, что общего у Ваших магических квадратов и этих кроме названия? Тогда и миноры определителей можно отнести к магическим квадратам?

Сообщение отредактировал ALEX165 - 1.8.2009, 16:54

[Nataly-Mak]

Объясните пожалуйста уважаемая Nataly-Mak, что общего у Ваших магических квадратов и этих кроме названия? Тогда и миноры определителей можно записать в магические квадраты?

Извините, я не поняла вопрос.
Разве в моём сообщении говорится о каких-то "моих" магических квдаратах и "этих" магических квадратах? По-моему, в сообщении говорится о всем хорошо известных (и впервые построенных Френиклем) магических квадратах 4-го порядка. Как мне кажется, описанный в статье принцип основан именно на этих магических квадратах (см. цитату). Они же изображены и на иллюстрации. Это совершенные (то есть пандиагональные) магические квадраты.
Или это всё не так?
"Мои" магические квадраты отличаются от "этих" магических квадратов порядком. Я научилась строить пандиагональные, идеальные, совершенные магические квадраты любого порядка (для которого данные виды квадратов существуют).

[ALEX165]

Из цитаты совершенно не понятно при чём здесь магические квадраты. Что означают числа в клетках? Какой смысл выбирать те комбинации пикселей, что лежат в разных колонках и рядах?

Сообщение отредактировал ALEX165 - 1.8.2009, 14:59

[Nataly-Mak]

Давайте по порядку:

Главной новинкой платформы ЖК-телевизоров Toshiba является алгоритм "магического квадрата"

Вы с этой цитатой согласны? Здесь ясно написано, что принцип основывается на алгоритме магического квадрата.
Далее на иллюстрации я вижу сами магические квадраты.
Читайте внимательно цитату... Зайдите, наконец, в статью по указанной ссылке и прочтите её полностью.
О физическом смысле процесса спросите у физиков.

[ALEX165]

Внимательно прочитал статью. Какое отношение к сути дела имеют магические квадраты не понял. Формально они прилеплены "с потолка". Физика процессов не важна, объясните пожалуйста смысл этого алгоритма. То есть как то, что пикселям приписаны указанные числа, влияет на ..., да и на что влияет? В чём вообще смысл тех картинок?

[Nataly-Mak]

...Физика процессов не важна...

???

Ой ли?
***
Уж не Георгий ли здесь руку приложил, прилепив квадраты "с потолка"?

Сообщение отредактировал Nataly-Mak - 1.8.2009, 15:26

[vvvv]

...Физика процессов не важна...

???

Ой ли?
***
Уж не Георгий ли здесь руку приложил, прилепив квадраты "с потолка"?

ALEX165, зачем вы цепляетесь к женщине.Цепляйтесь к тому- откуда цитата
Всем, что в математике имеет логический смысл (а не только сегодняшний утилитарный) заниматься полезно, рано или поздно оно найдет себе приложение.Так уж устроены природа и математика.

[ALEX165]

ALEX165, зачем вы цепляетесь к женщине.Цепляйтесь к тому- откуда цитата
Всем, что в математике имеет логический смысл (а не только сегодняшний утилитарный) заниматься полезно, рано или поздно оно найдет себе приложение.Так уж устроены природа и математика.

И ни к кому я "не цепляюсь", хочу просто понять смысл сказанного (если он есть). Что касается математики и логического смысла, тут Вы ошибаетесь, существуют стройные логические теории (только не заставляйте искать примеры, лень), развитые в некоторых диссертациях, абсолютно никому не нужные ни сейчас и никогда. Это ни в малейшей степени не относится к математике вообще и к той, что ещё не нашла применения. Но это тема не здесь, а где-нибудь во флейме.

Сообщение отредактировал ALEX165 - 1.8.2009, 18:08

[Mipter]

Незнающий обычно помалкивает...

Вам удаётся доказать, что и из этого правила есть исключения.

[Nataly-Mak]

Незнающий обычно помалкивает...

Вам удаётся доказать, что и из этого правила есть исключения.

Примеры приведите, пожалуйста! Голословное утверждение равносильно клевете.
***
Да, я не знаю физического смысла процесса. Но моё сообщение не о физическом смысле (и не в разделе "Физика"), а о применении магических квадратов. Кроме того, я ничего пока не утверждаю, привела цитату из статьи и предлагаю высказать мнения.
Если в этой статье написана лажа и магические квадраты здесь действительно прилеплены "с потолка", как утверждает ALEX165, пусть об этом скажут другие участники форума. Меня, например, мнение ALEX165 не убеждает. Я вижу, что в статье написано о применении алгоритма магического квадрата, вижу, что на иллюстрации нарисованы эти самые магические квадраты. Зачем их надо было сюда прилеплять, если они не имеют никакого отношения к данному физическому процессу?
Mipter, может быть, вы выскажетесь по существу вопроса?


Сообщение отредактировал Nataly-Mak - 1.8.2009, 17:34