Натуральные Гамильтоновы системы

Главная
Группы
Математический анализ
Натуральные Гамильтоновы системы

Правила форума
по Математический анализ

cupuyc
Комментарии: 1027
Репутация:39
08.01.2014, 12:09
0 up down

Здравствуйте. Может быть, больше относится к физике, но, думаю, математики смогут помочь в большей степени.

Есть натуральная гамильтонова система

$\dot{p}=-H_{q}$
$\dot{q}=H_{p}$

$\dot{q}\in\mathbb{R}^{n}$ с некоторым гамильтонианом $H\left(q,p\right)=T\left(q,p\right)-U\left(q\right)$ , $T > 0$ . У данной системы в начале координат фазового пространства есть положение равновесия

$H_{q}\left(0,0\right)=0$
$H_{p}\left(0,0\right)=0$

Причём, данная точка НЕ является точкой локального минимума потенциальной энергии $U$ . Собственно, вопрос: могут ли существовать в некоторой окрестности этой точки замкнутые фазовые траектории?

В книге Арнольда по классической механике есть достаточно неожиданное замечание:

Мне кажется, что даже неустойчивость положения равновесия для многомерной системы не означает отсутствие замкнутых фазовых траекторий. Я ошибаюсь?
OFF

Ученые

Теоретические статьи

Ian
- Комментарии: 5498
- Репутация:1017
09.01.2014, 15:42
0 up down

Сообщение 1

cupuyc в 8.1.2014, 11:09 написал(а): link

вопрос: могут ли существовать в некоторой
[сколь угодно малой]
окрестности этой точки замкнутые фазовые траектории?
Могут (но не будут охватывать точку) . Все траектории -это линии уровня гамильтониана. Почему бы им не быть такими, при дважды дифференцируемом по всем переменным гамильтониане.

А про энергию ничего не скажу, и вообще насколько жизненна такая ситуация
OFF
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

cupuyc
- Комментарии: 1027
- Репутация:39
09.01.2014, 17:40
0 up down

Сообщение 2

Ian, достаточно неожиданно, что колебания происходят не вокруг положения равновесия. Это на самом деле ещё более интересно.

Хочу спросить о методах поиска таких решений гамильтоновых систем. Как-то в процессе чтения первого тома "Современной Геометрии" Дубровина и "Классической Механики" Арнольда немного сталкивался с теорией гомологий, симплектической геометрией. Я с этими разделами математики совершенно не знаком, но сложилось ощущение, что там содержатся ответы на некоторые из моих вопросов. Стоит ли лезть в эту область?

Так же достаточно интересно использование топологии в решении задач механики:
OFF
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Численно решить дифур
Натуральные Гамильтоновы системы
Написать уравнение касательной прямой к графику функции./

Натуральные Гамильтоновы системы

Правила форума по Математический анализ

Ученые

Теоретические статьи

Правила форума
по Математический анализ