Вход через социальные сети

  • 07.01.2014, 00:02
    0 up down
    Сообщение
    А почему бы 1е уравнение на косинус не сократить, в 0 он не обращается.
    Действительно,лучше новые координаты u,\theta , где u(t)= этому первому интегралу, и значит, одно из уравнений превратится в \dot u =0 его можно не решать а считать u параметром, определяемым начальными условиями. В любое из двух уравнений подставить выражение \dot x через u,\theta из квадратного уравнения, разобравшись, который из его корней нужен
    Решать с начальным условием \displaystyle u=-g\cos\theta (0)-задать какое Вам нужно, \dot\theta (0)=0
    как уравнение 2-го порядка, Рунге-Куттой
  • 07.01.2014, 15:48
    0 up down
    Сообщение
    Ian в 7.1.2014, 0:02 написал(а): link

    А почему бы 1е уравнение на косинус не сократить, в 0 он не обращается.
    Действительно,лучше новые координаты u,\theta , где u(t)= этому первому интегралу, и значит, одно из уравнений превратится в \dot u =0 его можно не решать а считать u параметром, определяемым начальными условиями. В любое из двух уравнений подставить выражение \dot x через u,\theta из квадратного уравнения, разобравшись, который из его корней нужен
    Решать с начальным условием \displaystyle u=-g\cos\theta (0)-задать какое Вам нужно, \dot\theta (0)=0
    как уравнение 2-го порядка, Рунге-Куттой

    Спасибо за идею. Попытался реализовать, но всё-равно не получилось избавиться от сингулярности.

    Ввожу переменную

    \displaystyle h=\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\dot{\vartheta}^{2}+\dot{x}\dot{\vartheta}\cos\vartheta-g\cos\vartheta

    выражаю \dot{x}:

    \displaystyle \dot{x}=\frac{-\dot{\vartheta}\cos\vartheta\pm\sqrt{\dot{\vartheta}^{2}\cos^{2}\vartheta-4\left(-g\cos\vartheta-h+\frac{1}{2}\dot{\vartheta}^{2}\right)}}{2}

    дифференцирую по времени, чтобы получить \ddot{x} и подставить его во второе уравнение -- в результате, как нетрудно видеть, в знаменатель попадает корень.

    \displaystyle \ddot{x}=-\frac{1}{2}\cos\vartheta\ddot{\vartheta}+\frac{1}{2}\sin\vartheta\dot{\vartheta}^{2}\pm\frac{1}{2}\frac{\dot{\vartheta}\ddot{\vartheta}\left(\cos^{2}\vartheta-2\right)-\cos\vartheta\sin\vartheta\dot{\vartheta}^{3}-2g\sin\vartheta\dot{\vartheta}}{\sqrt{\dot{\vartheta}^{2}\left(\cos^{2}\vartheta-2\right)+4g\cos\vartheta+4h}}

    В начальный момент \dot{\vartheta}_{0}=0 и корень равен нулю, т.к. выбираем h=-g\cos\vartheta_{0}. Особенность, конечно же, устранимая (в числителе стоит выражение, умноженное на \dot{\vartheta}), но проинтегрировать численно не получается.
  • 07.01.2014, 17:00
    0 up down
    Сообщение
    cupuyc в 7.1.2014, 14:48 написал(а): link
    Особенность, конечно же, устранимая
    Мне тоже так показалось. Хотя сходу найти предел не получилось. Попробуйте, и я попробую в свободное время.
    После устранения доопределением проблем уже нет. можно первый шажок интегрирования делать отдельно(если делает матпакет).Либо вставить его в программу.Либо функцию в правой части уравнения определить через if
  • 07.01.2014, 21:04
    0 up down
    Сообщение
    Здравия Вам желаю.
    Попытался совместить уравнения.
    
\begin{pmatrix}
2& cos \theta \\	
cos \theta	& 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\ddot{x} \\	
\ddot{\theta}\\
\end{pmatrix} =
sin \theta \begin{pmatrix}
\dot{\theta}^2-2g \dot{\theta}/ \dot{x}\\	
g\\
\end{pmatrix}
    и
    
\begin{pmatrix}
\dot{x}&
\dot{\theta}&
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2& cos \theta \\	
cos \theta	& 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\dot{x} \\	
\dot{\theta}\\
\end{pmatrix} =2g(cos\theta -cos\theta_0)

    Получилось
    \dot{\theta}\dot{x}=g
    Возможно где-то я допустил ошибка.
  • 08.01.2014, 08:25
    0 up down
    Сообщение
    ravnovesie в 7.1.2014, 23:04 написал(а): link

    Возможно где-то я допустил ошибка.

    Уравнения сходятся. Как обычно, ляпну с бодуна ...
  • 08.01.2014, 11:12
    0 up down
    Сообщение
    Ian, какая-то ерунда получилась. Попробовал вычислить предел \frac{\dot{\vartheta}}{\dot{x}}. Как я понимаю, этот предел при \dot{x}\to0, \dot{\vartheta}\to0 будет равен \frac{\ddot{\vartheta}}{\ddot{x}} по теореме Лопиталя. Подставил в уравнения, решил -- получил комплексное число.
  • 08.01.2014, 15:35
    0 up down
    Сообщение
    Там не обязательно комплексное. А \sin\theta _0 меньше нуля или больше?
  • 08.01.2014, 20:36
    0 up down
    Сообщение
    Извините, что вмешиваюсь. Пытаюсь ковырнуть в матаппарате.
    \frac {\dot{\theta}^2-2g \alpha-g cos \theta} {-cos \theta \dot{\theta}^2+2g cos \theta \alpha+2g}=\frac {\ddot{x}} {\ddot\theta} }

    где \alpha =\frac {\dot{\theta}} {\dot{x}}

    Учитывая, что \dot {\theta}=0 и правило Лопиталя, получилось

    \frac {-2g \alpha-g cos \theta} {2g cos \theta \alpha+2g}=\frac {1} {\alpha}
    Далее квадратное уравнение
    2\alpha^2+3cos\theta \alpha+2=0
    дискриминант которого
    D=9 cos^2\theta -16 <0.

    Получается, что комплексных чисел не избежать. Все ли верно?
  • 08.01.2014, 23:01
    0 up down
    Сообщение
    Я так понял что вы оба одним путем шли. Да, у меня тоже это противоречие выходит в нуле, что показывает, что \dot\theta (0)=0,\dot x(0)=0 невозможно кроме случая \theta_0=0, тогда получаются
    \ddot\theta (0)=0,\ddot x(0)=0. И если такой расклад Вам нужен, то стартуйте с \Delta t и каких-то малых, но ненулевых начальных условий Рунге-Куттой
  • 09.01.2014, 13:18
    0 up down
    Сообщение
    Ian, нет, такое решение мне неинтересно. В общем-то всё ясно, мой подход к решению задачи не работает Sad Зря потратили время.