Вход через социальные сети

Вписанные и описанные четырехугольники

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- commons_admin 727 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Теория множеств

Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел...

- commons_admin 307 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Системы уравнений и неравенств

Система уравнений

...
- commons_admin 305 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Решение неравенств

Методы решения неравенств

В этом разделе на примере...

- commons_admin 175 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Уравнение и его корни

Квадратное уравнение

...

- commons_admin 158 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы по дифференциальным уравнениям

...
- commons_admin 220 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья FAQ

Ответы на часто задаваемые вопросы

  • ...
- commons_admin 204 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Математическая статистика

Ответы на часто задаваемые вопросы по математической статистике

...
- commons_admin 229 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Методы оптимизации

Частые вопросы по методам оптимизации

...
- commons_admin 236 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Основные понятия мат статистики

Частые вопросы по математической статистике

1. Что такое вариационный ряд...
- commons_admin 65 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
  • 373страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
В этой группе сообщений нет.
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
18 / - KrasPvP 462 17.08.2014 at 09:05 by Маньяк-физик
Учебные материалы для освежения памяти
Здравствуйте, форумчане-математики.

Посоветуйте литературу для изучения математики по...
3 / - b10s 638 14.08.2014 at 00:09 by ARRY
Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
35 / - Александр Амелькин 848 13.08.2014 at 15:26 by bot
решения
Помогите решит уравнение спасибо!

779,72[(T/10)0.58-(T/9)0.58=88....
13 / - Медя 444 08.08.2014 at 17:17 by balans
дифференциал
доброго времени суток) помогите пожалуйста разобраться в понятии дифференциала, т.е. для чего он...
1 / - vicky 186 04.08.2014 at 06:42 by ARRY
LaTeX
Так как в вопросах, обсуждаемых на формумах Портала, используется достаточно много математической...
125 / - AV_77 124 447 02.08.2014 at 13:21 by NT
Задачка по геометрии
В остроугольном треугольнике ...
2 / - GrandCube 202 29.07.2014 at 21:59 by GrandCube
Интересная задача с теории чисел
На доске записаны четыре целых положительных числа m,n,k,p . На каждом шагу их стирают, и...
4 / - primarhus 410 24.07.2014 at 17:48 by primarhus
Метрика на плоскости.
[attachmentid=18197]

Хочу сделать срезы поля под разными углами, с анимацией....
1 / - bliss 293 19.07.2014 at 18:55 by bliss
задание на делимость чисел
Здравствуйте. Вот ещё давно хотела спросить, руки не доходили
Докажите, что
...
3 / - tata00tata 322 17.07.2014 at 22:12 by Sonic86
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9

Вписанные и описанные четырехугольники

7.5. Вписанные и описанные четырехугольникb

Модель 7.1. Четырехугольник.

Четырехугольник называется вписанным , если все его вершины лежат на окружности.

Модель 7.2. Вписанные и описанные четырехугольники.

Четырехугольник называется описанным , если все его стороны касаются некоторой окружности.

Теорема 7.13. 

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась 180°.

Доказательство

Необходимость. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O .

По теореме 6.1 Аналогично

Достаточность. Пусть ABCD – данный четырехугольник и Существует окружность, проходящая одновременно через три точки A , B и D (теорема 6.5). Пусть точка C лежит внутри окружности. Прямая ( BC ) пересекает окружность в точке Тогда четырехугольник – вписанный в окружность и в соответствии с необходимым условием Но как внешний к углу Тогда что противоречит условию. Следовательно, C лежит на окружности, и данный четырехугольник вписанный. Аналогично рассматривается случай, если предположить, что точка C лежит вне окружности. Теорема доказана.

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны.

Доказательство

Необходимость. Пусть четырехугольник ABCD описанный, и M P L N – точки касания его сторон. Имеем BM  =  BN CM  =  CP DP  =  DL AL  =  AN (отрезки касательных, проведенных из одной точки равны). Отсюда BM  +  MC  +  AL  +  LD  =  BN  +  AN  +  CP  + PD .

Достаточность. Пусть в четырехугольнике ABCD выполнено равенство AB  +  CD  =  BC  +  AD . Биссектрисы углов ( BAD ) и ( ABC ) пересекаются в точке O . Точка O одинаково удалена от прямых AB , BC и AD . Пусть ω ( O r ) – окружность, касающаяся сторон AB , BC и AD , а сторона CD пересекает окружность ω. Проведем касательную к окружности ω из точки C , и пусть она пересекает прямую AD в точке D 1. Тогда из необходимого условия – AB  +  CD 1  =  BC  +  AD 1. Вычитая из данного равенства равенство в условиях теоремы получаем CD 1  –  CD  =  AD 1  –  AD или CD 1  –  CD  =  DD 1, CD 1  =  CD  +  DD 1. Мы пришли к противоречию, так как CD 1  <  CD  +  DD 1. В случае, если прямая CD не пересекает окружность ω, доказательство аналогично. Теорема доказана.

Описанный параллелограмм является ромбом.

0 up down