Вход через социальные сети

Монотонность функций

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- commons_admin 671 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Теория множеств

Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел...

- commons_admin 298 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Системы уравнений и неравенств

Система уравнений

...
- commons_admin 289 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Решение неравенств

Методы решения неравенств

В этом разделе на примере...

- commons_admin 173 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Уравнение и его корни

Квадратное уравнение

...

- commons_admin 156 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы по дифференциальным уравнениям

...
- commons_admin 212 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья FAQ

Ответы на часто задаваемые вопросы

  • ...
- commons_admin 190 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Математическая статистика

Ответы на часто задаваемые вопросы по математической статистике

...
- commons_admin 217 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Методы оптимизации

Частые вопросы по методам оптимизации

...
- commons_admin 232 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Основные понятия мат статистики

Частые вопросы по математической статистике

1. Что такое вариационный ряд...
- commons_admin 65 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
  • 373страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
В этой группе сообщений нет.
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
18 / - KrasPvP 459 17.08.2014 at 09:05 by Маньяк-физик
Учебные материалы для освежения памяти
Здравствуйте, форумчане-математики.

Посоветуйте литературу для изучения математики по...
3 / - b10s 635 14.08.2014 at 00:09 by ARRY
Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
35 / - Александр Амелькин 840 13.08.2014 at 15:26 by bot
решения
Помогите решит уравнение спасибо!

779,72[(T/10)0.58-(T/9)0.58=88....
13 / - Медя 439 08.08.2014 at 17:17 by balans
дифференциал
доброго времени суток) помогите пожалуйста разобраться в понятии дифференциала, т.е. для чего он...
1 / - vicky 184 04.08.2014 at 06:42 by ARRY
LaTeX
Так как в вопросах, обсуждаемых на формумах Портала, используется достаточно много математической...
125 / - AV_77 124 432 02.08.2014 at 13:21 by NT
Задачка по геометрии
В остроугольном треугольнике ...
2 / - GrandCube 202 29.07.2014 at 21:59 by GrandCube
Интересная задача с теории чисел
На доске записаны четыре целых положительных числа m,n,k,p . На каждом шагу их стирают, и...
4 / - primarhus 406 24.07.2014 at 17:48 by primarhus
Метрика на плоскости.
[attachmentid=18197]

Хочу сделать срезы поля под разными углами, с анимацией....
1 / - bliss 290 19.07.2014 at 18:55 by bliss
задание на делимость чисел
Здравствуйте. Вот ещё давно хотела спросить, руки не доходили
Докажите, что
...
3 / - tata00tata 319 17.07.2014 at 22:12 by Sonic86
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9

Монотонность функций


Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.3. Числовые функции

1.3.5. Монотонность функций

Функция f  ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1  <  x 2, выполняется неравенство f  ( x 1 ) <  f  ( x 2 ).

Функция f  ( x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1  <  x 2, выполняется неравенство f  ( x 1 ) >  f  ( x 2 ).

Рисунок 1.3.5.1. На показанном на рисунке графике функция y  =  f  ( x ), возрастает на каждом из промежутков [ a x 1 ) и ( x 2 b ] и убывает на промежутке ( x 1 x 2 ). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ a x 1 ) и ( x 2 b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D  ( f  ( x )), то уравнение f  ( x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 – корни этого уравнения на промежутке D  ( f ( x )), то f  ( x 1 ) =  f  ( x 2 ) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

  • Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
  • Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
  • Если функция f возрастает, то функции cf  ( c  > 0) и f  +  c также возрастают, а функция cf  ( c  < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
  • Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
  • Если функция f возрастает и неотрицательна, то  где , также возрастает.
  • Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f   n также возрастает.
  • Композиция g  ( f  ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Модель 1.9. Свойства функции.

Точка a называется точкой максимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≥  f  ( x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f  ( a ) ≤  f  ( x ).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого  ( x  ≠  a ) выполняется неравенство f  ( x ) ≤  f  ( a   то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :

Если для любого  ( x  ≠  b ) выполняется неравенство f  ( x ) >  f  ( b   то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D .

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

График 1.3.5.1. График 1.3.5.2. График 1.3.5.3.

Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f  ( x ) ≤  C , то функция f называется ограниченной сверху на множестве D .

Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f  ( x ) ≥  c , то функция f называется ограниченной снизу на множестве D .

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D . Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y  =  f  ( x ), лежит в полосе c  ≤  y  ≤  C .

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y  =  x 2. Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y  = 1/ x . Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y  = sin  x .

0 up down