Вход через социальные сети

Погрешность измерения величин

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Неравенство

3 / - boroda33 73 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Тема форума Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 1 131 13.09.2014 at 13:22 by folk
Тема форума неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24<=0

Найти все значения...

1 / - tata00tata 96 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- adminus 3 949 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Теория множеств

Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел...

- adminus 560 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Системы уравнений и неравенств

Система уравнений

...
- adminus 720 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Решение неравенств

Методы решения неравенств

В этом разделе на примере...

- adminus 387 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Уравнение и его корни

Квадратное уравнение

...

- adminus 289 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы по дифференциальным уравнениям

...
- adminus 597 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья FAQ

Ответы на часто задаваемые вопросы

  • ...
- adminus 421 18.08.2014 at 04:34 by adminus
  • 373страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
В этой группе сообщений нет.
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Неравенство

3 / - boroda33 73 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 1 131 13.09.2014 at 13:22 by folk
неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24<=0

Найти все значения...

1 / - tata00tata 96 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Учебные материалы для освежения памяти
Здравствуйте, форумчане-математики.

Посоветуйте литературу для изучения математики по...
3 / - b10s 695 14.08.2014 at 00:09 by ARRY
Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
35 / - Александр Амелькин 1 068 13.08.2014 at 15:26 by bot
решения
Помогите решит уравнение спасибо!

779,72[(T/10)0.58-(T/9)0.58=88....
13 / - Медя 516 08.08.2014 at 17:17 by balans
дифференциал
доброго времени суток) помогите пожалуйста разобраться в понятии дифференциала, т.е. для чего он...
1 / - vicky 219 04.08.2014 at 06:42 by ARRY
LaTeX
Так как в вопросах, обсуждаемых на формумах Портала, используется достаточно много математической...
125 / - AV_77 124 941 02.08.2014 at 13:21 by NT
Задачка по геометрии
В остроугольном треугольнике ...
2 / - GrandCube 247 29.07.2014 at 21:59 by GrandCube
Интересная задача с теории чисел
На доске записаны четыре целых положительных числа m,n,k,p . На каждом шагу их стирают, и...
4 / - primarhus 459 24.07.2014 at 17:48 by primarhus
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9

Погрешность измерения величин

Погрешность измерения величин

Пусть x – приближённое значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), а x 0 – её точное значение.

 

Абсолютной погрешностью величины называется разность
Δ x  = | x  –  x 0 |.

Пример 1

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, а при округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4.

Пример 2

Определите абсолютную погрешность измерения длины точной миллиметровой линейкой.

Показать решение

Вообще, если систематические ошибки, возникающие при измерении каким-либо прибором, значительно меньше, чем деления шкалы этого прибора, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления.

 

Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу:

Пример 3

В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность или 0,3 %.

В научных экспериментах многие величины определяются не непосредственно, а косвенным путём – измерением значений других величин. Так, чтобы найти плотность тела, ученые измеряют его массу, взвешивая на весах, после чего определяют объём тела, погружая его в жидкость. Плотность выражается через массу и объём тела. Масса и объём, входящие в эту формулу, измеряются с некоторой погрешностью; это означает, что и плотность будет вычислена по формуле с некоторой погрешностью.

Выведем несколько правил, позволяющих рассчитывать погрешности величин.

Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых:
Δ( x  +  y ) = Δ x  + Δ y .

Доказательство
 

Пусть x  =  x 0 ± Δ x y  =  y 0 ± Δ y .

Тогда x  +  y  =  y 0  +  x 0 ± Δ x  ± Δ y  = ( y 0  +  x 0 ) ± (Δ x  + Δ y ).

( x  +  y ) – ( x 0  +  y 0 ) = ±(Δ x  + Δ y ), откуда

Δ( x  +  y ) = Δ x  + Δ y .

Отметим, что в отдельных измерениях может случиться, что ошибки в измерении величин x  и  y скомпенсируют друг друга, и величина x  +  y будет измерена точно. Однако в других случаях эти ошибки усилят друг друга; при оценке же погрешностей измерения нужно рассматривать самый худший из вариантов.

Аналогично можно показать, что то же самое верно для разности двух погрешностей.

Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого:
Δ( x  –  y ) = Δ x  + Δ y .

Пример 4

Вычислите сумму и разность приближённых чисел 0,123 и 0,526.

Показать решение

Сложение даёт 0,649. Абсолютная погрешность каждого слагаемого равна 0,0005, значит, абсолютная погрешность суммы 2 ∙ 0,0005 = 0,001. Следовательно, в найденной сумме возможна ошибка на 1 единицу в третьем знаке после запятой. Вычитание данных чисел даёт: 0,123 – 0,526 = –0,403. Абсолютная погрешность разности также равна 0,001.


Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя. Рассмотрим поучительный пример.

Пример 5

Измерения цилиндрической полой изнутри трубы показали, что ее внешний радиус равен 100 см, а внутренний радиус – 95 см. Чему равна толщина стенок трубы?

2
Решение

Если R 1  = 100 см,  R 2  = 98 см, то  h  = 2 см. Абсолютные погрешности при определении радиусов одинаковы и равны Δ ( R 1 ) = Δ ( R 2 ) = 0,5 см (если в условии задачи не уточнено, то абсолютная погрешность измерения принимается равной половине последнего знака величины). Абсолютная погрешность расчёта толщины стенки определяется формулой Δ ( h ) = Δ ( R 1 ) + Δ ( R 2 ) = 1 см.

Рассчитаем теперь относительные погрешности всех трёх величин: Если оба радиуса были измерены с погрешностью порядка 0,5 %, то погрешность при вычислении их разности – толщины стенок трубы – возросла в 100 раз и составила 50 %!


Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей:

Доказательство
 

Пусть x  =  x 0 ± Δ x y  =  y 0 ± Δ y . Тогда x  ·  y  = ( x 0 ± Δ x )( y 0 ± Δ y ) =  y 0 ·  x 0 ±  y 0 Δ x  ±  x 0 Δ y  ± Δ x Δ y .

Последним членом можно пренебречь, так как и Тогда

x  ·  y  =  y 0 ·  x 0 ±  y 0 Δ x  ± x 0 Δ y ,

x  ·  y  –  y 0 ·  x 0  = ± y 0 Δ x  ±  x 0 Δ y ,

Δ( x  ·  y ) =  y 0 Δ x  +  x 0 Δ y .

Можно расширить это правило, расписав его для произведения n сомножителей.

Относительная погрешность n -й степени приближённого числа примерно в | n | раз больше относительной погрешности исходного числа:

Расчёты показывают, что это соотношение верно не только для натуральных, но и для любых вещественных степеней n .

В частности,

Пример 6

Вычислите относительную погрешность произведения 0,123 и 0,526, если относительные погрешности этих чисел соответственно равны 2 % и 4 %.

Показать решение

Относительная погрешность произведения 0,123 ∙ 0,526 = 0,064698 приближённо равна 4 % + 2 % = 6 %.


0 up down