Вход через социальные сети

Показательные и логарифмические уравнения

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- commons_admin 592 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Теория множеств

Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел...

- commons_admin 235 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Системы уравнений и неравенств

Система уравнений

...
- commons_admin 247 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Решение неравенств

Методы решения неравенств

В этом разделе на примере...

- commons_admin 118 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Уравнение и его корни

Квадратное уравнение

...

- commons_admin 89 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы по дифференциальным уравнениям

...
- commons_admin 180 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья FAQ

Ответы на часто задаваемые вопросы

  • ...
- commons_admin 133 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Математическая статистика

Ответы на часто задаваемые вопросы по математической статистике

...
- commons_admin 170 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Методы оптимизации

Частые вопросы по методам оптимизации

...
- commons_admin 198 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
Теоретическая статья Основные понятия мат статистики

Частые вопросы по математической статистике

1. Что такое вариационный ряд...
- commons_admin 39 18.08.2014 at 04:34 by commons_admin
  • 373страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
В этой группе сообщений нет.
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
18 / - KrasPvP 416 17.08.2014 at 09:05 by Маньяк-физик
Учебные материалы для освежения памяти
Здравствуйте, форумчане-математики.

Посоветуйте литературу для изучения математики по...
3 / - b10s 628 14.08.2014 at 00:09 by ARRY
Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
35 / - Александр Амелькин 796 13.08.2014 at 15:26 by bot
решения
Помогите решит уравнение спасибо!

779,72[(T/10)0.58-(T/9)0.58=88....
13 / - Медя 431 08.08.2014 at 17:17 by balans
дифференциал
доброго времени суток) помогите пожалуйста разобраться в понятии дифференциала, т.е. для чего он...
1 / - vicky 181 04.08.2014 at 06:42 by ARRY
LaTeX
Так как в вопросах, обсуждаемых на формумах Портала, используется достаточно много математической...
125 / - AV_77 124 350 02.08.2014 at 13:21 by NT
Задачка по геометрии
В остроугольном треугольнике ...
2 / - GrandCube 198 29.07.2014 at 21:59 by GrandCube
Интересная задача с теории чисел
На доске записаны четыре целых положительных числа m,n,k,p . На каждом шагу их стирают, и...
4 / - primarhus 387 24.07.2014 at 17:48 by primarhus
Метрика на плоскости.
[attachmentid=18197]

Хочу сделать срезы поля под разными углами, с анимацией....
1 / - bliss 280 19.07.2014 at 18:55 by bliss
задание на делимость чисел
Здравствуйте. Вот ещё давно хотела спросить, руки не доходили
Докажите, что
...
3 / - tata00tata 304 17.07.2014 at 22:12 by Sonic86
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные и логарифмические уравнения


Показательные уравнения

Уравнения вида   a f  ( x )  =  b a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f  ( x ) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида  

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( t ) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Пример 1

Решите уравнение

Показать решение

Так как то, делая замену получаем квадратное уравнение корни которого и Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t  > 0. Получаем уравнение 1-го типа:

Ответ.  


Уравнения вида   a f  ( x )  =  a g  ( x )a  > 0,  a  ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f  ( x ) =  g  ( x ).

Пример 2

Решите уравнение

Показать решение

Так как и то уравнение можно записать в виде Следовательно, исходное уравнение равносильно иррациональному уравнению Имеем:

Отсюда следует, что то есть x  = 25; во втором случае − решений нет.

Ответ. 25.


Пример 3

Решите уравнение

Показать решение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид что равносильно уравнению


Ответ. 1, –1.


Уравнения вида a f  ( x )  =  b g  ( x )a  > 0,  a  ≠ 1,  b  > 0,  b  ≠ 1

Модель 3.3. Решение показательных уравнений

При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b ), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:


А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f  ( x ) и  g  ( x ) – алгебраические выражения.

Пример 4

Решите уравнение

Показать решение

Уравнение легко преобразовать к виду Оно содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 2. Имеем:
Корни этого уравнения и Заметим, что обе части исходного уравнения строго положительны, и поэтому логарифмирование не могло привести ни к потере корней, ни к появлению новых.


Замечание . Рассмотренный приём перехода от уравнения a f  ( x )  =  b g  ( x ) к уравнению f  ( x ) =  g  ( x ) log a   b или, в общем случае, переход от уравнения
F  ( x ) =  G  ( x ) (1) к уравнению
log a   F  ( x ) = log b   G  ( x ) ( a  > 0,  a  ≠ 0) (2) называется логарифмированием.

Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

Например, логарифмирование обеих частей уравнения x  =  x 3, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg  x  = lg  x 3 (область определения сузилась). Действительно,

Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа a f  ( x )  =  b g  ( x ) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.


Логарифмические уравнения

Уравнения вида  log a   f  ( x ) =  b a  > 0,  a  ≠ 1

Здесь предполагается, что f  ( x ) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f  ( x ) =  a b . Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a b – это число.

Уравнения вида  

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

  • С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F  ( x ) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

  • Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5

Решите уравнение

Показать решение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7.

а) Корень последнего уравнения с учётом ограничения x  > 1 есть x  = 3.

б)

Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x  = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ. 0, 3, −7.


Пример 6

Решите уравнение

Показать решение

ОДЗ данного уравнения: Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.




1) 3 x  – 4 = 0, − входит в ОДЗ.

2) ( x  + 1 > 0 в ОДЗ),
x  = 0 − не входит в ОДЗ.

x  = 3 − входит в ОДЗ.

Ответ. 3,


Уравнения вида  log a   f  ( x ) = log a   g  ( x ),  a  > 0,  a  ≠ 1

Модель 3.1. Решение логарифмических уравнений

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f  ( x ) и  g  ( x )). На практике, как правило, проще решить уравнение f  ( x ) =  g  ( x ) и проверить для его корней положительность одной из функций: f  ( x ) > 0 или g  ( x ) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения log a   f  ( x ) = log a   g  ( x ) к уравнению f  ( x ) =  g  ( x ) называется потенцированием .

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x , для которых определены функции f  ( x ) и  g  ( x ), а первое − только при тех x , для которых f  ( x ) > 0 и g  ( x ) > 0.

Пример 7

Решите уравнение

Показать решение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: или Потенцируя по основанию 10, имеем откуда x  = –8,  x  = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x  = –10 является корнем.

Ответ.   x  = –10.


Пример 8

Решите уравнение

Показать решение

Очевидна замена 6 sin  x  + 4 =  t  > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся логарифм). Перейдём к равносильному уравнению:

Ответ.  


0 up down