Вход через социальные сети

Разложение выражений на множители

Тип Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Тема форума Неравенство

3 / - boroda33 64 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Тема форума Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 1 069 13.09.2014 at 13:22 by folk
Тема форума неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24<=0

Найти все значения...

1 / - tata00tata 93 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Теоретическая статья Общие приёмы решения уравнений

Решение уравнения

...

- adminus 3 781 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Теория множеств

Теория множеств

Тео́рия мно́жеств — раздел...

- adminus 548 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Системы уравнений и неравенств

Система уравнений

...
- adminus 693 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Решение неравенств

Методы решения неравенств

В этом разделе на примере...

- adminus 382 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Уравнение и его корни

Квадратное уравнение

...

- adminus 280 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы по дифференциальным уравнениям

...
- adminus 590 18.08.2014 at 04:34 by adminus
Теоретическая статья FAQ

Ответы на часто задаваемые вопросы

  • ...
- adminus 412 18.08.2014 at 04:34 by adminus
  • 373страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
В этой группе сообщений нет.
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
Название темы Ответов Автор Просмотров Последнее сообщение
Неравенство

3 / - boroda33 64 14.09.2014 at 11:22 by Ian
Математика. 11 класс
Доброго времени суток, форумчане!
Интересует такой вопрос: я всю школьную жизнь был лентяем,...
22 / - KrasPvP 1 069 13.09.2014 at 13:22 by folk
неравенство с параметром

Здравствуйте! 

||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24<=0

Найти все значения...

1 / - tata00tata 93 11.09.2014 at 16:56 by zam2
Учебные материалы для освежения памяти
Здравствуйте, форумчане-математики.

Посоветуйте литературу для изучения математики по...
3 / - b10s 691 14.08.2014 at 00:09 by ARRY
Как доказать что корень из 2-х иррациональное число?
Как доказать что ...
35 / - Александр Амелькин 1 064 13.08.2014 at 15:26 by bot
решения
Помогите решит уравнение спасибо!

779,72[(T/10)0.58-(T/9)0.58=88....
13 / - Медя 513 08.08.2014 at 17:17 by balans
дифференциал
доброго времени суток) помогите пожалуйста разобраться в понятии дифференциала, т.е. для чего он...
1 / - vicky 217 04.08.2014 at 06:42 by ARRY
LaTeX
Так как в вопросах, обсуждаемых на формумах Портала, используется достаточно много математической...
125 / - AV_77 124 911 02.08.2014 at 13:21 by NT
Задачка по геометрии
В остроугольном треугольнике ...
2 / - GrandCube 245 29.07.2014 at 21:59 by GrandCube
Интересная задача с теории чисел
На доске записаны четыре целых положительных числа m,n,k,p . На каждом шагу их стирают, и...
4 / - primarhus 456 24.07.2014 at 17:48 by primarhus
  • 338страниц:
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9

Разложение выражений на множители

Разложение выражений на множители

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f  ( x ) =  g  ( x ) в виде
F 1  ( x ) ·  F 2  ( x ) · ... ·  F n  ( x ) = 0, (5)

где выражения F k  ( x ),  k  = 1, ...,  n «проще» функций f  ( x ) и  g  ( x ), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители F k  ( x ) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.

Пример 1

Разложить на множители многочлен x 5  – 2 x 3  +  x 2.

Показать решение

Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x 2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x 5  – 2 x 3  +  x 2  =  x 2 ( x 3  – 2 x  + 1).


2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

Пример 2

Разложить на множители многочлен ( x  – 2) 4  – (3 x  + 1) 4.

Показать решение

Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:


3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.

Пример 3

Разложить на множители многочлен x 4  + 4 x 2  – 1.

Показать решение

Имеем


4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

  • Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  • Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  • Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x  → +∞ и  x  → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox .

Пример 4

Разложить на множители многочлен 3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1.

Показать решение

Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x  –  p и ax 2  +  bx c такие, что справедливо равенство
3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 = ( x  –  p )( ax 2  +  bx  +  c ) =  ax 3  + ( b  –  ap ) x 2  + ( c  –  bp ) x  –  pc .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:
Решая эту систему, получаем: a  = 3,  p  = –1, b  = 2,  c  = –1.

Итак, многочлен 3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 разлагается на множители:
3 x 3  –  x 2  – 3 x  + 1 = ( x  – 1)(3 x 2  + 2 x  – 1).


6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x  = α угадан, многочлен P n  ( x ) представим в виде P n  ( x ) = ( x  – α) ·  P n  – 1  ( x ), где P n  – 1  ( x ) − многочлен степени на 1 меньше, чем P n  ( x ).

Пример 5

Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.

Показать решение

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть
x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16 = ( x  – 2) ·  Q  ( x ), где Q  ( x ) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых ( x  – 2).


7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.

Пример 6

Разложить на множители многочлен x 4  – 10 x 2  –  x  + 20.

Показать решение

Преобразуем данный многочлен:
x 4  – 10 x 2  –  x  + 20 =  x 4  – 5 · 2 x 2  –  x  + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x

Рассмотрим теперь многочлен a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x , который при a  = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:
a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x  =  a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x ( x 3  – 1) =  a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x ( x  – 1)( x 2  +  x  + 1). Следовательно, a 1  =  x ( x  – 1),  a 2  =  x 2  +  x  + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a 2  –  a (1 + 2 x 2 ) +  x 4  –  x  = ( a  – ( x 2  –  x ))( a  – ( x 2  +  x  + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a  = 5. Получим:
x 4  – 10 x 2  +  x  + 20 = (5 –  x 2  +  x )(5 –  x 2  –  x  – 1) = ( x 2  –  x  – 5)( x 2  +  x  – 4).


0 up down